Основное уравнение динамики.

Второй закон Ньютона для вращательного движения M=JƐ. По определению угловое ускорение Ɛ=dω/dt и тогда это уравнение можно переписать следующим образом: M=d(Jω)/dt, => M=dL/dt Или Mdt=dL.

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела dL, равно импульсу момента Mdt всех внешних сил, действующих на это тело. Для замкнутой системы тел, не взаимодействующих с другими телами, не включенными в систему, момент внешних сил равен нулю, поэтому для замкнутой системы суммарный момент импульса сохраняется. Это утверждение выражает еще один фундаментальный физический закон − закон сохранения момента импульса.

 

 

Вопрос 15.

Момент импульса.

Векторное произведение радиуса-вектора r_i материальной точки на ее импульс: m_iv_i называют моментом импульса L_i, этой точки относительно точки О (рис.5.4)

L_i=[r_i,m_i,v_i]. Вектор L_i иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы r_i и m_iv_i и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от r_i к m_iv_i происходит против часовой стрелки).

Векторную сумму моментов импульсов L_i всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) L системы относительно точки О:

Векторы r_i и m_iv_i взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому L_i= r_im_iv_isina= r_im_iv_i. С учетом связи линейных и угловых величин L_i=m_ir_i²ω, и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор ω.

Таким образом. L_i=m_ir_i²ω=J_i ω.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е.

Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

Закон сохранения импульса. Выясним, как изменяются импульсы двух тел при их взаимодействии.

Обозначим скорости тел массами m₁ и m₂ до взаимодействия через V₁ и V₂, а после взаимодействия — через V₁’ и V₂’.

По третьему закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению; поэтому их можно обозначить F и -F.

Для изменений импульсов тел при их взаимодействии на основании равенства (16.2) можно записать: Ft=m₁v₁’- m₁v₁ и –Ft=m₂v₂’-m₂v₂, где t — время взаимодействия тел. Из этих выражений получаем: m₁v₁+m₂v₂=m₁v₁’+m₂v₂’

Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

 

 

Вопрос 16.