Регрессионный анализ в Mathcad

В MathCAD существует пять способов определения параметров эмпирической кривой (формулы):

1) Линейная регрессия: обнаружение линии, которая наилучшим образом приближается к исходным данным.

2) Параболическая регрессия: нахождение многочлена, который наилучшим образом приближается к исходным данным.

3) Многомерная параболическая регрессия: определение полиномиальной поверхности.

4) Линейная комбинация функций.

5) Приспособление произвольных функций к данным: обнаружение параметров, которые делают функциональный метод наилучшего приближения набором знаков - символов.

Линейная регрессия

Для проведения линейной регрессии в систему встроен ряд приведенных ниже функций:

corr( VX, VY ) – возвращает скаляр – коэффициент корреляции Пирсона;

intercrpt( VX, VY ) – возвращает значение параметра а (смещение линии регрессии по вертикали);

slope( VX, VY ) – возвращает значение параметра b (наклона линии регрессии).

Эти функции возвращают угловые коэффициенты линии с наименьшей площадью отклонений. Если Вы размещаете ваши значения x в вектор Vx, а значения y в Vy, получается линия:
y = slope(Vx, Vy)*x + intercept(Vx, Vy).

Обозначения: Vx - вектор реальных значений данных в восходящем порядке для функции отрезка, отсекаемого на координатной оси. (Значения в Vx соответствуют значениям x; Vy - вектор реальных значений данных). Они соответствуют значениям y, число элементов то же самое, что и у Vx.

Параболическая регрессия

Введена в MathCAD и функция для обеспечения полиномиальной (параболической)регрессии при произвольной степени полинома регрессии regress( VX,VY,n ). Она возвращает вектор VS, запрашиваемый функцией interp (VS,VX,VY,x), содержащий коэффициенты многочлена п-й степени, который наилучшим образом приближает “облако” точек с координатами, хранящимися в векторах VX и VY. На практике не рекомендуется делать степень аппроксимирующего полинома выше четвертой - шестой, поскольку погрешности реализации регрессии сильно возрастают.

Функция regress создает единственный приближающий полином, коэффициенты которого вычисляются по всей совокупности заданных точек, т.е. глобально.

Иногда полезна другая функция полиномиальной регрессии, дающая локальные приближения отрезками полиномов второй степени,
loess( VX, VY,span). Эта функция возвращает используемый функцией interp( VS,VX,VY,x ) вектор VS, дающий наилучшее приближение данных (с координатами точек в векторах VX и VY) отрезками полиномов второй степени. Аргумент span>0 указывает размер локальной области приближаемых данных (рекомендуемое начальное значение - 0,75). Чем больше span, тем сильнее сказывается сглаживание данных. При больших span эта функция приближается к regress( VX,VY,2 ).

Многомерная параболическая регрессия

Mathcad позволяет выполнять также многомерную регрессию, самый типичный случай которой - приближение трехмерных поверхностей. Их можно характеризовать массивом значений высот z, соответствующих двумерному массиву Мху координат точек (х, у) на горизонтальной плоскости.

Для этого используются уже описанные функции в несколько иной форме:

regress( Mxy,Vz,n) - возвращает вектор, запрашиваемый функцией;

interp ( VS,Mxy,Vz,V ) для вычисления многочлена n-v. степени, который наилучшим образом приближает точки множества Мху и Vz. Мху - матрица т-2, содержащая координаты х и у. Vz - т -мерный вектор, содержащий z-координат, соответствующих т точкам, указанным в Мху;

loes( Mxy,Vz,span ) - аналогична loes( VX,VY,span), но в многомерном случае;

interp( VS, Mxy,Vz,V ) - возвращает значение z по заданным векторам VS (создается функциями regress или loess) и Мху, Vz и V (вектор координат х и у заданной точки, для которой находится z).

Линейная комбинация функций

При выполнении в Mathcad линейной регрессии общего вида заданная совокупность точек приближается функцией вида

F(x, К1,К2,., Kn)= K1, F1(x)+K2 F2(x)+ +КnFn(x)

Таким образом, функция регрессии является линейной комбинацией функций F1(x), F2(x),., Fn(x), причем сами эти функции могут быть нелинейными, что резко расширяет возможности такой аппроксимации и распространяет ее на нелинейные функции.

Для реализации линейной регрессии общего вида используется функция linfit( VX,VY,F ). Эта функция возвращает вектор коэффициентов линейной регрессии общего вида К, при котором среднеквадратичная погрешность приближения облака исходных точек, если их координаты хранятся в векторах VX и VY, оказывается минимальной. Вектор F должен содержать функции F1(x), F2(x),, Fn(x), записанные в символьном виде.

Расположение координат точек исходного массива может быть любым, но вектор VX должен содержать координаты, упорядоченные в порядке их возрастания, а вектор VY ординаты, соответствующие абсциссам в векторе VX.