Расчет и определение параметров пассивных четырехполюсников.

 

Дан Т или П – образный симметричный четырехполюсник, схема которого представлена на рис.3 (а,б), а величины полных сопротивлений и при частоте 50 Гц указаны в таблице 3.

Требуется:

1. Определить параметры элементов цепи ( и ) и изобразить заданную электрическую схему, включая вместо и элементы , и .

2. Определить сопротивление холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника.

3. По найденным сопротивлениям найти коэффициенты четырехполюсника в форме А (т.е. коэффициенты А,В,С,D или ) и проверить соотношение между ними ().

4. Определить напряжение , токи и , мощности и и КПД четырехполюсника при значениях напряжения и активном сопротивлении нагрузки (подключено к клеммам ), указанных в таблице 3.1.

5. Определить характеристическое сопротивление четырехполюсника и проверить его расчетом, приняв сопротивление нагрузки , а также определить постоянную передачи четырехполюсника.

а) б)

Рис.3 – Т (а) и П (б) – образный симметричный четырехполюсник

 

Таблица 3 – Исходные данные для расчета

Вариант	Рисунок	Исходные данные
В	Ом
	3а		12+ j8	10 – j8
	3б		10 – j8	13 + j15
	3а		13 + j15	11 – j5
	3б		11 – j5	12 + j12
	3а		12 + j12	10 – j15
	3а		10 – j15	10 + j15

Продолжение таблицы 3

 

Вариант	Рисунок	Исходные данные
В	Ом
	3б		10 + j15	9 – j14
	3а		9 – j14	9 + j7
	3б		9 + j7	17 - j15
	3а		17 - j15	15+ j18
	3а		15+ j18	10 – j12
	3б		10 – j12	12 + j15
	3а		12 + j15	6 + j8
	3б		6 + j8	12 – j15
	3а		12 – j15	10 + j10
	3а		10 + j10	14 – j12
	3б		14 – j12	11 – j20
	3а		11 – j20	6 + j8
	3б		6 + j8	10 – j8
	3а		10 – j8	13 + j15
	3а		13 + j15	13 + j15
	3б		13 + j15	11 – j5
	3а		11 – j5	10+ j12
	3б		10+ j12	10 – j15
	3а		10 – j15	10 + j15
	3а		10 + j15	9 – j14
	3б		9 – j14	9 + j7
	3а		9 + j7	17 – j8
	3б		17 – j8	13 + j18
	3а		13 + j18	10 – j8
	3а		10 – j8	13 + j15
	3б		13 + j15	11 – j5
	3а		11 – j5	12 + j12
	3б		12 + j12	10 – j8
	3а		10 – j8	10 – j8

 

Методические указания

и пример выполнения задачи № 1

Приведем пример расчета сложной цепи постоянного тока.

Дано: задана электрическая цепь (рис.1.1), заданы величины сопротивлений , Э.Д.С. и ток источника : ; ; ; ; ; ; ; .

 

Рис.1.1 Рис.1.2

Решение:

1. Составим расчетную схему цепи. Для этого заменим источник тока на ЭДС и изобразим полученную схему цепи (рис.1.2):

2. Запишем систему уравнений необходимых для определения токов ветвей по законам Кирхгофа.

Для этого:

2.1 Выберем произвольно направления токов в ветвях схемы и направление обхода контуров по часовой стрелке (рис.1.3).

2.2 Определим число уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа. Общее число уравнений должно соответствовать числу неизвестных токов, в нашем случае - шести.

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, определяем по формуле и по второму закону Кирхгофа по формуле , где - число узлов, - число ветвей рассчитываемой цепи (рис 1.3).

2.3 Составляем систему из трех уравнений по первому закону Кирхгофа (для узлов 1, 2 и 3) и из трех уравнений по второму закону Кирхгофа (контуры I, II и III). Система имеет вид:

Рис.1.3

3. Для определения токов ветвей воспользуемся методом контурных токов (МКТ). Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа. Введение обобщенных переменных - контурных токов позволяет значительно сократить общее число решаемых уравнений. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

3.1 Так как число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа равно трем, то и число неизвестных контурных токов в нашем случае - три. Обозначим контурные токи: . (рис.1.4)

3.2 Выберем направление контурных токов совпадающим с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных токов.

3.3 Составим систему из трех уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтем падение напряжения на резистивных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему. На резистор действуют по одному контурному току, а на резисторы оказывают действие по два контурных тока.

Первое уравнение соответствует первому контуру, второе - второму и т.д.:

Рис.1.4

Подставим в полученные уравнения величины заданных сопротивлений, ЭДС и получим:

Если в результате решения системы уравнений какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это означает, что в действительности направление контурного тока обратно принятому за положительное.

Решим систему уравнений, используя (например) программу Excel и получим значения контурных токов:

3.4 Используя выбранные в п.2.1 направления токов ветвей выразим их через найденные контурные токи:

Отметим, что при определении токов и учитывалось, что контурный ток, совпадающий по направлению с током ветви, берется со знаком " + ", не совпадающий - со знаком " - ". При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.

4. Правильность расчета проверим по балансу мощностей.

Баланс мощностей вытекает из закона сохранения энергии и сводится к следующему: в любой электрической цепи сумма мощностей отдаваемой источниками энергии равна сумме мощностей потребляемой нагрузками (пассивными элементами электрической цепи).

Для цепей постоянного тока баланс мощностей может быть записан в виде:

,

где - мощность источников; знак плюс у произведения ЭДС на ток берется, если направления стрелок и совпадают, в противном случае берется знак минус, - мощность нагрузок.

Мощность источников определим по формуле, составленной согласно схемы рис. 1.4:

Мощность потребителей (нагрузок) найдем по формуле:

После подстановки значений получим:

Баланс мощности сошелся, следовательно, расчет выполнен верно.

 

5. Построим потенциальную диаграмму для контура abcdea цепи (рис.1.5).

Потенциальная диаграмма представляет собой график изменения потенциала при обходе цепи, построенный в прямоугольной системе координат, в которой по оси абсцисс откладываются в определенном масштабе сопротивления участков цепи, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек.

Примем потенциал точки а равным нулю () и найдем (выразим) потенциалы остальных точек относительно потенциала точки а. При этом учтем (по направлению токов на схеме), что ток течет от большего потенциала к меньшему, а стрелка ЭДС направлена в сторону увеличения потенциала.

С учетом сказанного запишем:

Изобразим потенциальную диаграмму. По оси абсцисс отложим сумму сопротивлений контура (), по оси ординат нанесем соответствующие потенциалы точек (в общем случае потенциалы точек могут быть положительными и отрицательными числами) контура аbсdea, рис.1.6. При этом учтем, что у идеальных источников ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю.

Рис. 1.5 Рис.1.6

 

Нанесенные точки соединим прямыми, на идеальных источниках ЭДС наблюдаются скачки потенциалов на величину ЭДС: ;

Потенциальная диаграмма может быть получена и опытным путем. Для этого достаточно один зажим вольтметра подключить к точке a электрической цепи, а другой зажим подключать поочередно к другим точкам контура, что позволит по показаниям вольтметра определить потенциалы соответствующих точек контура.

6. Для преобразования схемы в двухконтурную необходимо найти сопротивления, включенные по схеме «звезда» или «треугольник» и эквивалентно преобразовать одно в другое. На рис.1.7 показаны такие соединения и формулы эквивалентного перехода.

«Треугольник» «Звезда»

Рис. 1.7

Для получения двухконтурной схемы в вышеизложенной задаче произведем замену треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду . Вычисления произведем по формулам:

;

 

;

 

.

В результате преобразований получим схему, изображенную на рис.1.8. Упростим полученную цепь, заменив последовательно соединенные элементы эквивалентными (рис.1.9).

Рис. 1.8 Рис. 1.9

 

7. Используя полученную схему (рис.1.9), выберем на ней произвольно направления токов и проведем их расчет используя один из заданных методов расчета: метод двух узлов (МДУ) или метод наложения (МН).

7.1 Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. МДУ применяется в тех случаях, когда несколько источников и приемников электрической энергии включены параллельно, при этом в схеме имеются только два узла.

Найдем напряжение между узлами а и b по формуле

,

где знак плюс в числителе берем, если стрелка ЭДС направлена к узлу а, в противном случае берем знак минус; - проводимость к -ой ветви.

Для рассматриваемого примера:

,

где

Используя обобщенный закон Ома, найдем токи в ветвях:

 

Найденное решение проверим по балансу мощностей:

мощность источников

мощность нагрузок

Баланс мощности сошелся, следовательно, расчет выполнен верно

.

Результат совпадает с полученным ранее в п.4. Это указывает на правильность проведения эквивалентных преобразований в цепи.

7.2 Суть метода наложения заключается в том, что в линейной электрической цепи, находят так называемые частичные токи, которые создаются каждым источником ЭДС схемы в отдельности. Реальный ток в ветви представляет собой алгебраическую сумму частичных токов, текущих по этой ветви. Частичные токи находят любым из известных методов расчета, например, по закону Ома.

Рис.1.10 Рис.1.11

Составимрасчетную схему для определения частичных токов от первой ЭДС (рис.1.10). Расчет цепи проведем по закону Ома:

А, где

Ом,

 

напряжение между узлами В, тогда токи параллельных ветвей равны:

А, А.

Оставим в исходной электрической цепи (рис. 1.9) только ЭДС (рис. 1.11), и определим частичные токи используя закон Ома:

А, где

Ом,

В.

Тогда токи параллельных ветвей равны:

А, А.

Токи в ветвях (рис.1.9) определим как алгебраическую сумму соответствующих частичных токов (рис.1.10; рис.1.11).

А,

А,

А.

Найденное решение проверим по балансу мощностей:

Мощность источников

Мощность нагрузок

Баланс мощности сошелся, следовательно, расчет выполнен верно.

.

Результат совпадает с полученным ранее в п.4. Это указывает на правильность проведенных расчетов.

 

Методические указания

и пример выполнения задачи № 2

Принцип расчета сложной цепи переменного тока рассмотрим на примере, приведенном ниже:

Дано: ; ; ; ; ; ; .

 

Решение:

1. Составим расчетную схему цепи, согласно варианта задания (рис.2.1)

Рис.2.1 Рис.2.2

 

2. Определяем реактивные сопротивления элементов цепи:

.

где - угловая частота равная: .

3. Найдем полные комплексные сопротивления ветвей электрической цепи:

Ом,

Ом,

Ом.

4. Изобразим схему замещения (рис. 2.2).

5. Определим число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа по формуле и по второму закону Кирхгофа по формуле , где - число узлов, - число ветвей. Направления обхода контуров показаны на рис.2.2.

В полученные уравнения подставим числовые значения сопротивлений , ЭДС и получим систему:

Решим систему, используя программу Excel, и получим значения токов ветвей.

6. Найденные значения токов запишем в алгебраической и показательной формах:

Запишем мгновенные значения токов ветвей в виде , где - действующее значение тока:

;

;

.

7. Сделаем проверку расчётов по балансу мощностей. Согласно схемы

рис. 2.2, запишем:

здесь - полная мощность источников цепи, - сопряженное значение тока, -активная мощность источников, - реактивная мощность источников.

где - полная мощность нагрузки цепи, - активная мощность нагрузки, - реактивная мощность нагрузки.

Баланс мощности сошелся, т.е. и , погрешность связана с неточностью вычислений.

8. Определим токи ветвей, используя метод контурных токов. Выберем направление контурных токов по часовой стрелке, рис.2.3.

Рис. 2.3 Рис.2.4

 

Тогда система из двух уравнений примет вид:

Сделаем подстановку численных значений и получим:

Решим систему и определим значения контурных токов:

Выразим токи ветвей через контурные токи:

9. Сравним результаты расчетов по п.5 и п.8.

10. Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений, рассчитанную для внешнего контура цепи (рис.2.4). Векторная диаграмма токов - это реализация первого закона Кирхгофа на комплексной плоскости. Топографическая диаграмма - это картина распределения комплексных потенциалов точек электрической цепи на комплексной плоскости.

Определим потенциалы точек внешнего контура цепи. Примем потенциал точки а равным нулю и, относительно него, определим потенциалы остальных точек: тогда

 

Обычно топографическую диаграмму рисуют совмещенной с векторной диаграммой токов (рис.2.5), масштаб по току 0,5 А/см, масштаб по напряжению 20 В/см.

Рис. 2.5

 

Правильность построения топографической диаграммы легко проверяется путем сопоставления векторов падения напряжения на элементах цепи с соответствующими векторами токов. Действительно, напряжение на резистивном элементе совпадает по направлению с током ; напряжение на емкостном элементе отстает от вектора тока по фазе на .

11. Метод эквивалентного генератора применяется для расчета электрических цепей, в которых требуется найти ток в какой - либо одной ветви.

Выделим нагрузку, в которой требуется найти ток, а оставшуюся электрическую цепь примем за активный двухполюсник (или за эквивалентный генератор), затем расчетным путем определим параметры схемы замещения активного двухполюсника (эквивалентного генератора) - -ЭДС эквивалентного генератора и - сопротивление эквивалентного генератора.

Рассчитаем ток второй ветви (рис. 2.6). Согласно данного метода

Рис. 2.6 Рис. 2.7

 

Для определения рассмотрим пассивный двухполюсник. Для этого уберем из схемы нагрузку (элемент, ток которого мы ищем) и все источники. Поскольку идеальные источники ЭДС имеют внутреннее сопротивление равное нулю, то расчетная схема примет вид, показанный на рис. 2.7. Относительно узлов а и с определим эквивалентное сопротивление цепи:

Ом.

Для определения ЭДС эквивалентного генератора рассмотрим активный двухполюсник. Для этого из исходной схемы убираем нагрузку , тогда эквивалентный генератор будет находиться в режиме холостого хода, и напряжение (рис.2.8).

Это напряжение можно определить с помощью расчета тока I:

Зная ток , определяем напряжение . Пусть , тогда

отсюда В.

 

 

Рис. 2.8 Рис.2.9

 

По эквивалентной схеме генератора с подключенной к нему нагрузкой (рис. 2.9), находим ток второй ветви:

 

А.

 

Результат расчета сошелся с полученным ранее, следовательно, вычисления выполнены верно.

 

Методические указания

и пример выполнения задачи № 3

 

Принцип расчета симметричного Т-образного четырехполюсника рассмотрим на примере, приведенном ниже:

 

Дано: ; ; ; ; ;.

Т-образный четырехполюсник (рис.3а).

Решение:

1. Определим параметры элементов цепи ( и ) и составим заданную схему (рис.3.1)

Схема замещения каждого из сопротивлений составляется относительно заданной алгебраической формы записи числа. Так как

то, для чисто активной нагрузки ()

для активно-индуктивной ()

для активно-емкостной ()

 

Рис.3.1

 

При заданном значении частоты , параметры катушки и конденсатора будут иметь значения:

 

2. Определим сопротивления холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника.

Сопротивления четырехполюсника определим со стороны входных () и выходных () полюсов.

 

 

 

Так как четырехполюсник симметричный, то и .

3. По найденным сопротивлениям определим коэффициенты четырехполюсника в форме А (т.е. коэффициенты А,В,С,D или ) и проверим соотношение между ними ().

 

Связь между входными и выходными напряжениями и токами в четырехполюснике описывается уравнениями формы А:

 

или

Коэффициенты связаны между собой соотношением, которое называется уравнением связи:

Для симметричного четырехполюсника, и уравнение связи будет меть вид: .

Для определения коэффициентов достаточно 3-х параметров, например:

; ;

Используя известное выражение определим сначала параметр , а затем

параметры :

 

 

 

 

Сделаем проверку правильности расчетов используя уравнение связи:

 

4. Определим напряжение , токи и , мощности и и КПД четырехполюсника при заданном значении напряжения и активном сопротивлении нагрузки (подключено к клеммам ).

Изобразим расчетную схему цепи (рис.3.2):

Рис.3.2

Определяем полные сопротивления ветвей:

Для расчета цепи используем метод эквивалентных преобразований. Определим эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов :

 

Используя закон Ома определим ток :

 

Для определения тока найдем напряжение на параллельном участке цепи:

тогда

 

Определим напряжение на клеммах :

Потребляемая мощность :

Мощность на нагрузке :

КПД четырехполюсника - :

 

5. Определим характеристическое сопротивление четырехполюсника и проверим его расчетом, приняв сопротивление нагрузки , а также определим постоянную передачи четырехполюсника.

 

Характеристическое сопротивление симметричного четырехполюсника это такое сопротивление нагрузки (), при котором входное сопротивление равняется . Выводы и при этом равнозначны, а

Величина характеристического сопротивления определяется как среднее геометрическое входных сопротивлений при холостом ходе и коротком замыкании на выходе симметричного четырехполюсника:

Примем и определим входное сопротивление:

В результате расчета получили: при нагрузке симметричного четырехполюсника на характеристическое сопротивление, его входное сопротивление повторяет сопротивление загрузки

При рассмотрении четырехполюсника следует знать не только схему, параметры сопротивлений, форму и коэффициенты четырехполюсника, а еще такую характеристику, как функцию передачи, что определяет затухание сигнала и изменение сдвига фаз в четырехполюснике.

Для симметричного четырехполюсника, нагруженного на