Система пропорционирования равносторонних треугольников

Система вписанных равносто­ронних треугольников дает ряд на основе двух чередующихся отноше­ний: стороны треугольника к высо­те (2/ V 3) и высоты к половине сто­роны (v'a). Пропорциониро-вание на основе равностороннего треугольника особенно широко при­менялось в средневековье» где сис­тема триангулирования пронизыва­ла всю структуру готических собо­ров (рис.97), однако отношения, свойственные этой системе, могут быть обнаружены и в архитектуре других эпох, например, в архитек­туре Древней Греции.

 

35)

золотая логарифмическая спираль

36) Наиболее известным и в то же время загадочным рядом средних чисел является так называемое от­ношение золотого сечения. Термин "золотое сечение" был введен Лео­нардо да Винчи для известного еще пифагорейцам описанного Эвкли- дом деления отрезка в так называе­мом "крайнем и среднем отноше­нии", при котором большая его часть является средней пропорцио­нальной между всем отрезком и меньшей частью.Если дли­ну отрезка принять за единицу, то его части будут выражаться ирра­циональными числами X = 0,618, а — х = 0,382. На основе этих чи­сел может быть получен геометри­ческий ряд... — 0,146 — 0,236 — 0,382 — 0,618 — 1 — 1,618 — 2,618 — 4,236 — 6,854 —..., обна­руживаемый при рассмотрении са­мого широкого круга явлений при­роды, искусства и архитектуры. Не случайно знаменитый итальянский философ и математик Фра Лука Паччоли называл золотое сечение "божественной пропорцией", а не­мецкий ученый А.Цейзинг провозг­ласил золотое сечение универсаль­ной пропорцией, равно характер­ной для современных творений природы и искусства. Золотое сече­ние использовал в своем творчестве И.В.Жолтовский, а Ле Корбюзье положил его в основу своего "Моду- лора".

Золотое сечение выражают обычно числом 1,618 или обратным ему числом 0,618, для которых по предложению Т.Куба и М.Бара приняты символы Ф и 1/Ф. Эти числа являются знаменателями - возрастающего (Ф) и убывающего, (l/Ф) рядов золотого сечения.ч Ин­тересной особенностью этих чисел является их способность при сложе­нии с единицей (для Ф) и при вы­читании из единицы, (для 1/Ф) да­вать квадраты самих себя, т.е. 1 + Ф + Ф²; 1 — 1/Ф = (1/Ф)². Золотое сечение — это единственная геомет­рическая прогрессия, обладающая признаком аддитивного ряда (Ф₃ = Ф₁ + Ф₂).

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине. Отношение большей части к меньшей в этой пропорции выражается квадратичной иррациональностью

и, наоборот, отношение меньшей части к большей

Число называется также золотым числом.

 

 

Настя ГР

Настя ГР.

Настя ГР.

Посліідовність Фібоніччі

Послідо́вність Фібона́ччі, чи́сла Фібона́ччі — числова послідовність задана рекурентним співвідношенням другого порядку

і т.д. Ця послідовність виникає у найрізноманітніших математичних ситуаціях - комбінаторних, числових, геометричних.

В природі числа Фібоначчі часто трапляються в різних спіральних формах. Так, черешки листя примикають до стебла по спіралі, що проходить між двома сусідніми листками: 1/3 повного оберту в ліщини, 2/5 - у дуба, 3/8 - у тополі і груші, 5/13 - у верби; лусочки на ялиновій шишці, насіння соняшника розташовані спіралями, причому кількості спіралей кожного напрямку також, як правило, числа Фібоначчі.

Числа Фібоначчі щільно пов'язані з золотим перетином

 

Ідея полягає в наступному.

F_n = F_(n-1) + F_(n-2)

F_(n+1) = F_n + F_(n-1) = 2*F_(n-1) + F_(n-2)

Покладемо F₀ = 0, при цьому співвідношення при n = 2 залишиться істинним. Таким чином утворюється послідовність

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,..

За свідченням Месселя, античні зодчі в якості джерела гармонії архітектурних будівель незмінно використовували геометричні проекції п'яти так званих «Платонових тіл», що відображають відповідно до їхніх представлень загальну гармонію світу. Це вписані в сферу правильні багатогранники з числом граней 4, 6, 8, 12, 20.

Е. Мессель, зокрема, особливо виділяє пропорції, засновані на вписаному в коло правильному десятіугольніке. Ставлення радіусу кола до сторони багатокутника виражається ірраціональним числом (√ 5 +1) / 2 = 1,61 8 і дає пропорцію так званого «золотого перетину».