Приклади визначення переміщень.

Приклад 1.

Для консольної балки, навантаженої силою та розподільним навантаженням на ділянці довжиною визначити лінійне вертикальне переміщення перерізу - . Дано: . Визначаємо опорні реакції для навантаження зовнішніми зусиллями (рис. 7а).

 

.

 

Допоміжну систему навантажуємо одиничною силою у точці А, де треба визначити переміщення і визначаємо опорні реакції (рис. 7б).

 

 

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках балки.

 

Формуємо інтеграл Максвелла – Мора і визначаємо переміщення в перерізі А.

 

 

- Для визначення прогину в перерізі А за допомогою графоаналітичних методів необхідно мати епюри згинального моменту від зовнішнього (рис. 7в) та одиничного (рис. 7г) навантажень. На ділянці, де - квадратична парабола необхідно використовувати правило Сімпсона – Карнаухова, на ділянках епюр з лінійними залежностями – правило трапецій:

 

Додатне значення прогину зазначує, що переріз А переміщується в напрямку дії одиничного зусилля .

 

Приклад 2.

Для шарнірно обпертої балки, навантаженою згинальним моментом та силою , визначити кутове переміщення в точці - . Дано: Визначаємо опорні реакції для навантаження зовнішніми зусиллями (рис. 8а).

Допоміжну систему навантажуємо одиничним моментом в перерізі А, де треба визначити кутове переміщення і визначаємо опорні реакції (рис.8б).

 

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках балки.

 

 

Формуємо інтеграл Мора і визначаємо кутове переміщення в перерізі А.

 

- Для визначення кутового переміщення в перерізі А за допомогою графоаналітичних методів необхідно мати епюри згинального моменту від зовнішнього (рис. 8в) та одиничного (рис. 8г) навантажень. На ділянках 2,3 використаємо правило Верещагіна, на ділянці 1 – правило трапецій.

 

Негативне значення кута повороту зазначає, що переріз А повертається в напрямку протилежному дії одиничного моменту , тобто в напрямку обертання часової стрілки.

Приклад 3.

Для рамної конструкції, шарнірно обпертої в точках і , визначити повне лінійне переміщення в точці - . Дано:

 

Визначаємо опорні реакції при навантаженні рами зовнішніми зусиллями (рис. 9а).

 

Визначення повного переміщення точки А складається з двох частин: знаходження вертикального та горизонтального переміщень.

 

Для визначення вертикального переміщення допоміжну систему (рис. 9б) навантажуємо одиничною вертикальною силою у точці А, де треба визначити це переміщення і визначаємо опорні реакції

 

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках балки.

 

Формуємо інтеграл Мора і визначаємо вертикальне переміщення в перерізі А.

 

 

- Для визначення вертикального переміщення в перерізі А за допомогою графоаналітичних методів необхідно мати епюри згинального моменту від зовнішнього (рис. 9в) та одиничного (рис. 9г) навантажень.

 

 

Для визначення горизонтального переміщення допоміжну систему навантажуємо одиничною горизонтальною силою у точці А, де треба визначити це переміщення і визначаємо опорні реакції (рис. 9д).

 

 

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках балки.

 

Формуємо інтеграл Мора і визначаємо горизонтальне переміщення в перерізі А.

 

- Для визначення горизонтального переміщення в перерізі А за допомогою графоаналітичних методів необхідно мати епюри згинального моменту від зовнішнього (рис. 9в) та одиничного (рис. 9е) навантажень.

 

 

 

Вектор повного переміщення дорівнює векторній сумі вертикального та горизонтального переміщень (рис. 9а) та визначається за формулою:

 

Приклад 4.

Для консольної просторової рами (рис. 10а) навантаженої розподільним навантаженням на ділянці довжиною визначити повне лінійне переміщення перерізу А - .

 

Дано:

 

У випадку консольної просторової рами, навантаженої зовнішніми зусиллями на одній чи кількох ділянках, вирази для внутрішніх силових факторів, а також і епюри цих внутрішніх силових факторів можна записати без визначення опорних реакцій. При цьому перерізи для визначення виразів внутрішніх зусиль треба вибирати починаючи з вільного кінця рами і далі до місця закріплення.

Для просторової рами визначення переміщення складається з визначення переміщень в напрямку кожної осі ( - в напрямку осі ; - в напрямку осі ; - в напрямку осі ).

 

1. Визначення переміщення точки А в напрямку осі (рис. 10а,г).

 

 

- Запишемо вирази для згинальних і крутних моментів – від зовнішніх навантажень

 

- Запишемо вирази для згинальних і крутних моментів – від одиничного навантаження.

 

 

 

Формуємо інтеграл Мора і визначаємо - переміщення точки А в напрямку осі .

Визначення переміщення точки А в напрямку осі також проводимо за допомогою перемноження епюр згинальних і крутних моментів: – від зовнішніх навантажень (рис. 10б,в) і – від одиничного навантаження (рис. 10д,е).

 

 

2. Визначення переміщення точки А в напрямку осі (рис. 10а,ж).

 

 

- Запишемо вирази для згинальних і крутних моментів – від зовнішніх навантажень:

 

- Запишемо вирази для згинальних і крутних моментів – від одиничного навантаження:

 

 

 

Формуємо інтеграл Мора і визначаємо - переміщення точки А в напрямку осі .

 

Визначення переміщення точки А в напрямку осі також проводимо за допомогою перемноження епюр згинальних і крутних моментів: – від зовнішніх навантажень (рис. 10б,в) і – від одиничного навантаження (рис. 10з,и).

 

3. Визначення переміщення точки А в напрямку осі (рис. 10а,к).

 

 

- Запишемо вирази для згинальних і крутних моментів - від зовнішніх навантажень:

 

- Запишемо вирази для згинальних і крутних моментів – від одиничного навантаження:

 

 

 

Формуємо інтеграл Мора і визначаємо - переміщення точки А в напрямку осі .

 

 

Визначення переміщення точки А в напрямку осі також проводимо за допомогою перемноження епюр згинальних і крутних моментів: – від зовнішніх навантажень (рис. 10б,в) і – від одиничного навантаження (рис. 10л,м).

 

 

4. Вектор повного переміщення точки А просторової рами визначається як векторна сума трьох складових (рис.11) і має відповідну довжину: