Енергетичні методи визначення переміщень в стержньових системах

Інтеграл Максвелла – Мора

Розглянемо довільну плоску стержньову систему (балку, раму, ферму), навантажену заданими зовнішніми силами (рис. 1а).

Зусилля в довільному перерізі системи позначимо через . Визначимо переміщення (узагальнене) будь-якої точки системи в напрямі m-m. Введемо допоміжний стан (рис. 1б), що є заданою системою, навантаженою лише однією одиничною силою (узагальненою) , прикладеною в тій самій точці і в напрямі шуканого переміщення . Зусилля в довільному перерізі допоміжного стану, спричинені дією одиничної сили , позначимо .

 

Застосуємо початок можливих переміщень для допоміжного стану, ввівши як можливі дійсні переміщення заданої системи [1]:

 

(1.1)

 

де – кількість ділянок розрахункової схеми, k – коефіцієнт форми перерізу.

Вираз (1.1) є загальною формулою для пружного переміщення плоскої стержньової системи.

Якщо виходити з виразу початку можливих переміщень [1], то у загальному випадку просторової стержньової системи при довільному навантаженні загальна формула для визначення пружного переміщення містить шість додатків і її можна записати і вигляді:

 

(1.2)

 

Індекси “x”, “y” в формулі (1.2) позначають головні осі перерізу ділянки стержня, індекс “к” – крутний момент. Зазначимо, що наведені формули можна застосовувати і для криволінійних стержнів малої кривизни.

Формули (1.1) та (1.2) вперше були виведені Максвеллом (для поздовжніх переміщень) і Мором. Визначення переміщень за цими формулами часто називають методом Максвелла – Мора. Зазначимо, що метод Максвелла – Мора – це найзагальніший метод визначення переміщень стержньових систем.

Здебільшого при визначенні переміщень у балках, рамах та криволінійних брусах можна знехтувати впливом поздовжніх деформацій і деформацій зсуву, враховуючи лише переміщення, спричинені згинанням і крученням. При цьому для балок та плоских рам впливом поперечних та поздовжніх сил, як правило, нехтують і враховують лише згинальні моменти . Однак, визначаючи переміщення в балках, для яких відношення висоти перерізу до довжини прольоту поперечні сили враховувати обов’язково. При визначенні переміщень в рамах з великими зазначеними відношеннями похибка, спричинена неврахуванням інтегралів поздовжніх та поперечних сил, також може стати істотною. Слід мати на увазі, що в реальних балочних та рамних конструкціях величина відношення , як правило, менше за . Тому при обчисленні переміщень у загальній формулі Максвелла – Мора цілком допустимо зберегти інтеграл, що враховує лише згинальні моменти [1].

Тоді формула (1.1) для плоскої системі набирає вигляду

 

, (1.3)

 

і називається інтегралом Мора.

При просторовому навантажуванні, згідно з формулою (1.2),

 

(1.4)

 

При визначенні переміщень вузлів шарнірних ферм, що складаються з прямих стержнів, які працюють лише на розтягання – стискання у формулі Мора зберігається тільки один додаток:

 

(1.5)

 

Ця формула має назву формули Максвелла.

Можна запропонувати таку послідовність визначення переміщень за допомогою інтеграла Максвелла – Мора:

Будують допоміжну систему, яку навантажують одиничним навантаженням у точці, де треба визначити переміщення і в напрямку, в якому треба визначити переміщення. Визначаючи лінійні переміщення, у заданому напрямі прикладають одиничну силу, визначаючи кутові переміщення, - одиничний момент.

Для кожної ділянки системи записують вирази силових факторів у довільному перерізі заданої і допоміжної систем.

Обчислюють інтеграли Максвелла - Мора (по ділянках в межах всієї системи). Як вже зазначалося, при розрахунку плоских балок, рам і арок виходять з формули (1.3), просторових систем – (1.4), ферм – (1.5).

Якщо обчислене переміщення позитивне, то це означає, що його напрям збувається з вибраним напрямом одиничної сили. Негативний знак свідчить про те, що дійсний напрям переміщення, що визначається, протилежний напряму одиничної сили.

 

1.2 Обчислення інтегралів Мора способом перемноження епюр (способом Верещагіна).

Обчислення інтегралів Мора істотно спрощується, якщо одна з епюр прямолінійна. Ця умова виконується для систем, що складаються з прямих стержнів, оскільки при цьому епюри внутрішніх сил від одиничного навантаження (зосередженої сили або пари) завжди обмежені прямими лініями.

Обчислимо інтеграл для випадку, коли епюра від заданого навантаження має довільну форму, а від одиничного – прямолінійна (рис. 2).

Позначимо через площу епюри , С – її центр ваги, – ординату епюри від одиничного навантаження під центром ваги епюри . Очевидно, що є диференціалом площі епюри , а . Тоді шуканий інтеграл (1.6)

Інтеграл у правій частині рівняння є статичним моментом площі епюри відносно осі О-О:

 

 

де – абсциса центра ваги епюри .

Тоді , оскільки .

Отже, інтеграл Мора дорівнює добутку площі епюри від зовнішнього навантаження на ординату одиничної епюри , розташованої під центром ваги епюри від заданого зовнішнього навантаження. Загальна формула (1.3) для визначення переміщень у системах з прямих стержнів набирає вигляду:

 

(1.7)

 

Графоаналітичний спосіб визначення інтеграла Мора був запропонований О.М.Верещагіним і має назву способу Верещагіна. Обчислення за цією формулою виконують по ділянках, на кожній з яких епюра від одиничного навантаження повинна бути прямолінійною. Тоді, коли обидві епюри прямолінійні, можна множити площу будь-якої з них на ординату іншої під центром ваги першої.

Якщо епюра має складний вигляд, то її слід розбити на прості фігури, для яких легко визначити площу і положення центра ваги. При цьому кожну з площ треба множити на ординату одиничної епюри під центром ваги відповідної площі. Ординати в цьому разі зручно позначати замість літерами , де .

Отже,

 

(1.8)

 

Користуючись способом Верещагіна, необхідно пам'ятати, що добуток епюр позитивний, якщо ординати обох епюр відкладені з одного боку від осі стержня рами, і негативний, якщо ординати епюр відкладені з різних сторін. В тих випадках, коли одна з епюр криволінійна, береться площа криволінійної епюри, а ордината під центром ваги з прямолінійної епюри. При цьому треба враховувати правило знаків: Якщо епюри, що перемножуються, лежать по одну сторону (обидві нагорі або внизу), добуток позитивний; якщо епюри, що перемножуються, лежать по різні сторони - добуток негативний. Якщо одна або обидві епюри перетинають в межах дільниці нульову ось, то слідує перемножувати епюри по частинам. Особливості застосування правила Верещагіна видно з рис. 3а,б.

Рис. 3

Переміщення від дії осьових і поперечних сил, а також крутних моментів виражаються аналогічно:

 

(1.9)

 

де - площа епюри , - площа епюри , - площа епюри від заданого навантаження; - ординати відповідних епюр осьових, поперечних сил і крутних моментів від одиничного навантаження, взяті під центрами ваги епюр , , .

Зазначимо, що епюри внутрішніх силових факторів від зовнішнього та одиничного навантажень на окремих ділянках стержня складаються з досить простих фігур: прямокутник, трикутник, парабола і т.д. Тоді для використання способу Верещагіна (1.8), (1.9) необхідно визначити площу та координату центра ваги цих простих фігур:

Таблиця 1

 

Трикутник	Трикутник
Прямокутник	Парабола (квадратна) з вершиною в т. А
Парабола (квадратна) з вершиною в т.А	Парабола (кубічна) з вершиною в т.А

 

Продовження таблиці 1

 

Парабола (квадратна) з вершиною в т.А	Парабола (кубічна) з вершиною в т.А