Роботи систем автоматичного керування

Мета роботи: придбання практичних навичок за математичним описом елементів автоматичних систем на базі розглянутих виконавчих пристроїв механічних приводів технологічного обладнання та дослідження їх динамічних характеристик на базі ЕОМ.

 

4.1 Загальні положення

 

4.1.1 Розрахункові схеми виконавчих пристроїв

 

Більшість технологічних машин мають виконавчий механізм, який представляє собою механічну систему з декількох інерційних елементів, з’єднаних між собою за допомогою пружних зв’язків. При дослідженні, наприклад, привода подач шліфувального верстата його представляють у вигляді одномасової системи з одним степенем вільності (рис. 4.1), де маса m моделює приведену до шліфувальної бабки масу привода; с – жорсткість привода подач; Т – технологічне навантаження на привод; Х – потокова координата маси m шліфувальної бабки.

При необхідності дослідити коливання супорту токарно-гвинторізного верстату маса m моделює супорт (рис. 4.2), якому надається рух через ходовий гвинт. Частина гвинта жорсткістю С₁ знаходиться зліва від супорта, а друга частина жорсткістю С₂ – з правого боку, опираючись на радіально-упорний підшипник. Така модель привода токарно-гвинторізного верстата отримана на основі припущення про незначний вплив коливань в коробці подач на рух супорта. При більш уточнених розрахунках складається модель привода з врахуванням всіх елементів. Кожній шестерні або валу відповідає елемент в схемі з масою m₁ або моментом інерції І₁. Кожний елемент взаємодіє з іншим через пружні зв’язки з жорсткістю, яка дорівнює контактній жорсткості зубчастого зачеплення, жорсткості валу і т. і.

В дослідженнях крутних коливань кінематичного ланцюга із зубчастими передачами її модель можна зобразити у вигляді, вказаному на (рис. 4.3)

Рух Ώ₀ задається, наприклад, від двигуна через вхідний вал (моделюється пружиною із жорсткістю С₁) на ведучу шестерню з моментом інерції І₁. Пружина С₂ моделює контактну жорсткість зачеплення, І₂ – момент інерції веденого зубчастого колеса, а пружина С₃ – вихідний вал. Моментом інерції валів можна знехтувати або представити його у вигляді зосередженого моменту, який розрахований за формулою Релея.

 

При складності математичної моделі механізму використовують другу аксіому динаміки (принцип Ейлера – Даламбера): векторний додаток сил рушійних, інерції та опору, які прикладені до будь-якого елементу механізму привода, дорівнює нулю.

 

4.1.2 Сили, які діють на елементи виконавчих пристроїв

 

Передавання зусиль та переміщень між тілами може відбуватись при їх пружній взаємодії або посередництвом поля. Передавання зусиль та переміщень між елементами механізмів відбувається за рахунок їх пружної взаємодії. Графік залежності Р_упр. пружної взаємодії (сили пружності) від деформації пружного зв’язку ΔХ показано на (рис. 4.4).

Залежність сили пружності від деформації пружного зв’язку має нелінійний характер. В межах деформації від –ΔХ₁ до +ΔХ₁ залежність прямо пропорційна з коефіцієнтом пропорційності tgα = C, який називають жорсткістю пружного зв’язку (пружністю).

Ділянка характеристики в межах деформації [–ΔХ₁, +ΔХ₁] називається лінійною. За межами цієї ділянки лінійність характеристики порушується. Перегин характеристики при деформаціях +ΔХ₁ відповідає стисканню пружини (рис. 4.4) до дотику витків, після чого жорсткість різко збільшується. Перегин характеристики при деформації –ΔХ₁ відповідає розтягу пружності у дріт.

Зрушуванню тіла з місця та подальшому просуванню перешкоджають сили сухого та в’язкого тертя (демпфування). Вони є дисипативними, тому що розсіюють енергію у простір. Поки маса нерухома, сили в’язкого тертя відсутні, а сила сухого тертя є реакцією на рушійну силу, рівна їй за модулем та протилежна за напрямком. Маса знаходиться у спокої до моменту, коли рушійна сила не перевищить силу тертя спокою. Граничне значення сили тертя спокою залежить від тривалості нерухомого контакту τ та швидкості тангенційного навантаження dP / dt в момент початку руху. На рис. 4.5 та 4.6 показано залежність сили тертя від тривалості нерухомого контакту та швидкості тангенційного навантаження. Із збільшенням тривалості нерухомого контакту сила тертя спокою збільшується, але через декілька секунд наступає насичення і при подальшому зростанні тривалості нерухомого контакту сила тертя не збільшується. Із збільшенням швидкості тангенційного навантаження сила тертя зсуву зменшується (рис. 4.6)

В момент зсуву сила тертя спокою стрибкоподібно падає до сили тертя руху, яка змінюється в залежності від швидкості ковзання маси в напрямних за законом, вказаному на рис. 4.7 (для тертя пари сталь - чавун)

Для невеликих швидкостей ковзання сила в’язкого тертя стає пропорційною швидкості в другій та більш великій степенях

 

F_в.тр. = βVⁿ або F_в.тр. = βy^',

де y^' – похідна від координати маси в часі.

 

Після зсуву швидкість руху маси збільшується, тобто виникає прискорення, напрямок якого колінеарний вектору рушійної сили. Величина сили інерції визначається за другим законом Н’ютона F_ін = ma = m y^'', а її напрямок протилежний вектору прискорення.

Сила в’язкого тертя або демпфування F_в.тр. пропорційна швидкості V руху та протилежна їй за напрямком.

 

4.1.3 Складання математичної моделі виконавчого пристрою

 

Приклад 1. Розглянемо методику складання математичної моделі системи, яку показано на рис. 4.8.

Керуючий сигнал у вигляді переміщення X задається лівому торцю пружини жорсткістю С₁, яка деформується, створюючи силу, яка діє на масу m₁. Величина пружної сили P_{упр .} дорівнює добутку коефіцієнта жорсткості С₁ на деформацію пружності Δ x₁ = x - y_1.

Пружна сила P_{упр .} = С₁ (x - y₁) є для маси m₁ рушійною і спрямована зліва направо. Під дією сили P_упр. маса m₁ починає рух з прискоренням за напрямком дії рушійної сили. Сила інерції F_ін1 = m₁ y₁^'', де y₁^'' –друга похідна від координати y₁ маси m₁ за часом. Напрямок сили інерції протилежний вектору рушійної сили. Сила, яка створює опір руху, включає дві складові: сили сухого та в’язкого тертя.

Сила в’язкого тертя F_в.тр пропорційна швидкості відносного ковзання інерційної маси і спрямована проти швидкості руху F_в.тр.1 = β₁y₁^'

Напрямок сили сухого тертя також протилежний швидкості ковзання маси і є складовою функцією від матеріалу пар тертя, стану тертьових поверхонь, змащування, швидкості ковзання, тривалості нерухомого контакту перед початком руху, швидкості тангенційного навантаження контакту перед початком руху.

Сила пружності пружини С₂ дорівнює:

 

P_упр2 = С₂ (y₁ - y₂).

Рівняння руху маси має вигляд:

P_упр2 = F_ін1 + F_в.тр.1 + F_с.тр.1 + F_упр2 або

С₁ (x - y₁) = m₁ y₁^'' + β₁y₁^' + F_с.тр.1 + С₂ (y₁ - y₂).

 

Аналогічно складається рівняння руху маси m₂. Рушійною силою для маси m₂ є пружна сила пружини С₃.

Тоді:

С₃ (y₄ - y₂) = m₂ y₂^'' + β₂y₂^' + F_с.тр.2 + Т + С₁y₂ .

Запишемо рівняння рівноваги важеля:

 

P_упр2(l₁ + l₂ ) = P_упр3 l₂ або

С₂ (y₁ - y₃) (l₁ + l₂ ) = С₃ (y₁ - y₂) l₂ .

Рівняння пропорційності переміщень y₃ та y₄ довжинами плеч:

 

y₁ /(l₁ + l₂ ) = y₃ / l₂.

Систему рівнянь, яка описує динаміку механізму, називають математичною моделлю. В перетвореному вигляді математична модель записується так:

m₁ y₁^'' + β₁y₁^' + F_с.тр.1 + С₂ (y₁ - y₃) - С₁ (x - y₁) = 0,

m₂ y₂^'' + β₂y₂^' + F_с.тр.2 + Т + С₄y₂ - С₃ (y₄ - y₂) = 0,

С₂ (y₁ - y₃) (l₁ + l₂ ) - С₃ (y₄ - y₂) l₂ = 0,

y₃ /(l₁ + l₂ ) = y₄ / l₂.

В подальшому дослідження та оптимізацію привода машин ведуть за її математичною моделлю аналітично або з використанням ЕОМ.

 

Приклад 2. Скласти математичну модель системи. (рис. 4.9). Сухим тертям знехтувати.

Рівняння руху маси m₁:

 

P = m₁ y₁^'' + β₁y₁^' + С₁ (y₁ - y₂).

Рівняння руху маси m₂:

С₁ (y₁ - y₂) = m₂ y₂^'' + β₂y₂^' + С₂y₂ + С₃ (y₂ - y₃).

 

Рисунок 4.9

 

Рівняння руху маси m₃:

 

С₃ (y₂ - y₃) = m₃ y₃^'' + β₃y₃^' + С₄y₃ .

Математична модель привода має вигляд:

 

m₁ y₁^'' + β₁y₁^' + С₁(y₁ - y₂) – Р(t) = 0,

m₂ y₂^'' + β₂y₂^' + С₃(y₂ - y₃) - С₁(y₁ - y₂) = 0,

m₃ y₃^'' + β₃y₃^' + С₄y₃ - С₃(y₂ - y₃) = 0.

4.1.4 Визначення динамічної стійкості системи

 

При проектуванні автоматичних систем вирішується задача забезпечення їх динамічної стійкості. Для нормальної роботи системи необхідно, щоб перехідні процеси, які викликані зовнішніми діями, з часом затухали.

Під стійкою системою автоматичного регулювання звичайно розуміють властивість повертатися до початкового стану після припинення дії зовнішнього збурення. Фактор стійкості є однією з основних вимог, які висуваються до таких систем, є основою працездатності системи.

Динамічну стійкість САК, користуючись її математичною моделлю, можна визначити, наприклад, за допомогою алгебраїчних критеріїв та графоаналітичного критерію Михайлова.

Після розв'язання системи алгебраїчних рівнянь (попередньо кожне рівняння моделі за допомогою перетворення за Лапласом записуємо в алгебраїчній формі) отримується вираз передаточної функції системи:

 

,

 

де X_вх(S) та X_вих(S) – зображення за Лапласом вхідного та вихідного сигналів, відповідно; S – комплексна Лапласа; S = jω; j – уявна одиниця; ω – колова частота.

 

Приклад 3. Припустимо, що рух системи описано такими диференційними рівняннями:

 

, (4.1)

 

 

або після перетворення за Лапласом:

(4.2)

 

Передаточна функція системи буде мати вигляд:

 

(4.3)

4.1.4.1 Алгебраїчні критерії стійкості

 

Перший алгебраїчний критерій стійкості, який застосовується для систем 3-го порядку, був сформульований російським вченим Вишнєградським в 1876 р.:

для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням:

 

(4.4)

 

необхідно виконання двох умов:

– всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними – необхідна умова;

– добуток середніх коефіцієнтів повинен бути більшим за добуток крайніх коефіцієнтів – достатня умова:

 

а ₁ а ₂ > а ₀ а ₃ .

 

В коефіцієнти характеристичного рівняння входять лише значення параметрів системи, тому стійкість останньої визначається тільки параметрами і не залежить від її стану.

 

Приклад 4. Для характеристичного рівняння вигляду (4.4) визначити стійкість системи, якщо коефіцієнти рівняння мають такі чисельні значення: а ₃ = 10; а ₂ = 2; а ₁ = 5; а ₀ = 10.

 

Розв'язання: 1. Перевіряємо необхідну умову стійкості: всі коефіцієнти а ₀ – а ₃ - додатні, тобто умова виконується;

2. Перевіряємо достатню умову стійкості 2∙5 < 10∙10; 10 < 100, тобто умова не виконується.

Таким чином, дана система при заданих значеннях параметрів нестійка.

 

Другий критерій носить назву критерію Рауса – це алгебраїчний критерій, який дозволяє судити про стійкість системи за коефіцієнтами характеристичного рівняння. Особливо зручний він в тих випадках, коли ці коефіцієнти задані чисельно, а степінь характеристичного рівняння високий (наприклад, n > 5) і використовування іншого критерію – критерію Гурвіца ускладнено.

Формулювання критерію: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти першої графи таблиці Рауса були додатними.

 

Таблиця Рауса для характеристичного рівняння вигляду

 

 

складається за правилами:

 

– в першому та другому рядках таблиці вписуються відповідно коефіцієнти C_n, C_{n-2, …} та C_n-1, C_{n-3 …};

– для визначення К -го коефіцієнта і-го рядку таблиці а _кі потрібно з (К +1)-го коефіцієнта (і–2)-го рядка (а _к+1, _і–2) відняти добуток r_і–3 на (К +1)-й коефіцієнт (і–1)-го рядка (а_к+1, _і-1), тобто а _кі = 0 _к+1,і-2 – а _{к+1, і–1} ∙ r _і–3.

 

Множник r _і–3 є відношення першого коефіцієнта (і-2)-го рядка (а _1,і–2) до першого коефіцієнта (і–1)-го рядка (а _1,і–1), постійний для кожного і-го рядка.

 

Таблиця 4.1 – Таблиця Рауса

 

і/к
1.Коефіцієнти 2. 3. 4. 5.
.................	......................	........................	........................	.......................

 

Для стійкості системи повинна виконуватись умова:

 

С_n>0; С_n-1>0; a ₁₃>0; a ₁₄>0; … a _1,n+1>0

Приклад 5. Для рівняння системи

 

 

скласти таблицю Рауса.

 

Розв'язання: Таблиця Рауса буде мати такий вигляд:

а ₀ а ₂ а ₄

а ₁ а ₃ а ₅

b ₁ b ₃

c ₁

d ₁

 

де ; ;

; .

 

Третій критерій – алгебраїчний критерій Гурвіца, який дозволяє в аналітичній формі зв’язати умови стійкості з параметрами системи та вигляділити області стійкості.

Формулювання критерію: якщо характеристичне рівняння n -го степеня має вигляд:

 

,

 

то для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб при С_n>0 всі n визначників Гурвіца Δ₁, Δ₂,...Δ_n, які складені за визначеною схемою, були додатними.

Визначники Гурвіца складаються за допомогою таблиці

 

С_n-1 С_n 0 0 ……..

С_n-3 С_n-2 С_n-1 С_n ……..

С_n-5 С_n-4 С_n-3 С_n-2 ……..

С_n-7 С_n-6 С_n-5 С_n-4 ……..

 

за правилами:

– виписуються по діагоналі всі коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи з С_n-1;

– заповнюються горизонтальні рядки – справа від даного коефіцієнта записується коефіцієнт із зростаючими індексами, а зліва – спадними індексами; в рядках, де індекс коефіцієнтів менший за нуль або більше за n, ставляться 0;

– відповідний визначник Δ_і отримується викреслюванням і-го рядка та і-го стовпця.

 

Для стійкості системи необхідно і достатньо виконання умов:

 

С_n>0; ; і т.і.

 

Необхідною умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, тобто:

 

С_і > 0 (і = 0,1,2,..., n).

 

Умова стійкості для деяких систем, характеристичні рівняння яких можуть бути представлені у вигляді:

 

,

зведені до таблиці:

Таблиця 4.2

n	Значення визначників	Умова стійкості
Δ1	Δ2	Δ3	Δ4
	С0	–	–	–	Сi >0
	С1	С1 С0	–	–	Сi >0
	С2	С2С1 –С0С3	С0Δ2	–	Сi >0 Δ2 >0
	С3	С3С2 –С1С4	С1(С2С3–С1С4)С0С3^2	С0Δ3	Сi >0 Δ3 >0
	С4	С4С3 –С2С5	С2 (С4С3 -С2С5)+С4 ∙ ∙(С0С5+С1С4)	(С1С2 – С0С3) ∙ ∙ (С3С4 – С2С5)– –(С0С5 – С1С4)^2	Сi >0 Δ2 >0 Δ4 >0

4.1.4.2 Графоаналітичний критерій Михайлова

 

Представимо ліву частину рівняння

 

a _n S ⁿ + a _n-1 S ^n-1 +…+ a ₁ S + a ₀ = 0

у вигляді функції від S:

D(S) = a_nSⁿ + a_n-1S^n-1 +…+ a₁S + a₀.

 

Зробивши заміну S = јω, отримаємо рівняння комплексного вектора:

 

D(јω) = a_n(јω) ⁿ + a_n-1(јω) ^n-1 +…+ a₁јω + a₀ = R(ω) + јI(ω),

 

кінець якого при зміненні ω від 0 до ∞ опише деяку криву – криву Михайлова.

Розглянемо основні властивості кривої Михайлова. Крива Михайлова починається на дійсній осі при ω = 0 у точці R(0) = a ₀; јI(0) = 0 та закінчується в n -квадранті (при ω = ∞), якщо відлік квадрантів вести проти годинникової стрілки (n - порядок характеристичного рівняння), у n -му квадранті крива Михайлова прямує до нескінченності.

Щоб побудувати криву Михайлова, необхідно в функції D(S) замінити S на јω та розділити дійсну та уявну частини D(јω):

 

D(јω) = R(ω) + јI(ω).

Далі, задаючись різними значеннями ω = 0, ω₁, ω₂,..., необхідно знайти точки:

 

[R(0); јI(0)]; [R(ω₁);јI(ω₁)]; [R(ω₂);јI(ω₂)],…

За цими точками і будується на комплексній площині крива Михайлова (див. рис. 4.10, для системи 6-го порядку).

Згідно з критерієм Михайлова лінійна система n -го порядку буде стійкою, якщо крива Михайлова охоплює початок координат та послідовно проходить n квадрантів.

Якщо крива Михайлова проходить через початок координат, то система може знаходитись на межі стійкості або бути нестійкою. Першому випадку відповідає така крива, що при найменшій її деформації в околі початку координат вона буде відповідати стійкій системі, а другому випадку – деформація кривої не приведе її до вигляду, який відповідає стійкій системі. Отже, для оцінювання стійкості системи за допомогою критерію Михайлова важливо встановити розташування кривої Михайлова відносно початку координат.

Щоб за допомогою критерію Михайлова оцінити вплив зміни параметрів елементів системи на її стійкість, необхідно побудувати криву Михайлова при даному значенні параметра, який нас цікавить. Нехай, наприклад, виявилося, що система знаходиться на межі стійкості (див. рис. 3, крива „а”). Із побудови виходить, що збільшення цікавого для нас параметра в зоні початкового його значення сприяє стійкості системи.

Крива „б” на рис. 4, наприклад, при зменшенні цього параметра приводить систему до нестійкого стану.

 

 

 

Рисунок 4.10

 

4.1.5 Розрахунок частотних характеристик САК

 

Елементи та системи автоматичного регулювання можуть підлягати різним діянням, які характеризуються довільними функціями часу. Зміна положення вихідного органу системи у вигляді функції часу називається відгуком або реакцією системи на вхідне діяння. В теорії автоматичного керування широко використовують методи вивчення динамічних властивостей елементів та систем, які основані на визначенні відгуків (реакцій), викликаних визначеними (детермінованими) типами діянь.

Особливо зручний для дослідження динамічних властивостей елементів та систем автоматичного регулювання гармонічний вихідний сигнал. В порівнянні з іншими видами детермінованих сигналів таке діяння простіше створити при проведені експериментів і, крім того, воно дозволяє при мінімальному обсязі обчислень отримати розрахункові характеристики, які достатньо повно віддзеркалюють динамічні властивості елементів та систем.

При гармонічному вхідному діянні закон зміни вихідної величини в часі має вигляд:

y(t) = y₀ sin (ωt + φ),

де y₀ – амплітуда вихідної величини; φ – зсув за фазою вихідної величини відносно вхідної.

Залежність відношення амплітуд y₀/x₀ від частоти вимушених коливань та залежність зсуву за фазою φ від частоти вимушених коливань називається відповідно амплітудно-частотною та фазочастотною характеристиками системи.

Дослідження вказаних характеристик дає повну картину динамічних властивостей лінійної моделі елементу або системи автоматичного регулювання.

Розглянемо послідовність визначення та розрахунку частотних характеристик лінійної моделі системи.

Припустимо, що рух системи описується таким диференційним рівнянням:

(4.5)

 

або після переведення до операторної форми (за Лапласом):

 

. (4.6)

Передаточна функція системи на основі (4.6) буде мати вигляд:

 

. (4.7)

 

Амплітудно-фазочастотну характеристику (АФЧХ) або комплексну частотну передаточну функцію отримаємо з рівняння передаточної функції шляхом підстановки: S = јω:

. (4.8)

(4.9)

 

Виходячи, що ј² = –1, запишемо:

 

(4.10)

 

Помноживши чисельник та знаменник рівняння (4.10) на комплексний вираз, спряжений знаменнику, отримаємо:

Таким чином, АФЧХ можна представити у вигляді:

 

(4.11)

де

 

 

Наближений графік АФЧХ показано на рис. 4.11.

 

Амплітудно-частотна характеристика системи:

 

(4.12)

 

 

Рисунок 4.11

 

Фазочастотна характеристика системи:

 

(4.13)

 

або з врахуванням (4.11):

(4.14)

 

З врахуванням позначень: , фазочастотна характеристика системи прийме вигляд:

 

(4.15)

причому дійсне значення буде визначатися такими співвідношеннями:

 

при P > 0; Q < 0 або D > 0; B < 0;

при P < 0; Q < 0 або D < 0; B < 0;

при P<0; Q>0 або D<0; B>0;

при P>0; Q>0 або D>0; B>0,

 

де - гострий кут, отриманий за формулою (4.14).

Наближені графіки АЧХ та ФЧХ наведені відповідно на рис. 4.12, де σ = ±15% від А при ω = 0 – прийнятий діапазон роботи системи.

 

–φ, рад

0δ

Рисунок 4.12

 

4.2 Технічні засоби для виконання робіт

 

При виконанні даної роботи використовується ПЕОМ обчислювального центру інституту або особисті програмовані мікро-калькулятори.

4.3 Методика та послідовність виконання роботи:

 

− згідно варіанту отриманого завдання розробити математичну модель механічної системи (рівняння з врахування прийнятих припущень записати в диференціальній формі);

− перетворити отримані диференціальні рівняння за Лапласом, тобто записати їх в алгебраїчній формі;

− розв’язати систему алгебраїчних рівнянь і отримати вираз передавальної функції системи;

− визначити динамічну стійкість системи для заданих значень параметрів за одним з двох алгебраїчних критеріїв і потім дослідити за обраним критерієм як буде змінюватись стійкість при зміні одного, довільно обраного параметра системи, наприклад, задане значення маси m₁=6 кг, додатково обрати значення маси m₁'= 60 кг та m₁″= 0,6 кг. При виконанні цих розрахунків (практична частина робіт виконується на ПЕОМ обчислювального центру інституту або за власним бажанням за допомогою програмованого мікро-калькулятора) використовується пакет MathCAD 2001 (в разі розрахунку на ПЕОМ);

− отримати з передавальної функції вираз для дослідження стійкості за допомогою графоаналітичного критерію Михайлова;

− визначити динамічну стійкість системи для заданих значень параметрів за допомогою графоаналітичного критерію Михайлова і потім дослідити за даним критерієм як буде змінюватись стійкість при зміні величин того ж параметра, що і при роботі з алгебраїчним критерієм. Всі графіки з кривої Михайлова бажано розташовувати в одній координатній системі;

− отримати з передаточної функції вираз для побудови частотних характеристик (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ);

− використовуючи пакет Math CAD на ПЕОМ отримати графіки частотних характеристик для заданих значень параметрів. Графіки АЧХ і ФЧХ бажано розташовувати один під одним, базуючись на спільній осі ординат та абсцис. На графіку АЧХ вказати робочу, неробочу (зону завалу), резонансну, фільтрації, а також – резонансні частоти;

− зробити висновки за результатом кожного стану роботи.

 

 

4.4 Завдання на лабораторну роботу (див. таблиці 4.3 та 4.4):

Умовні позначення та їх одиниці	Варіанти
, кг
, кг
,
,
,
,
,
,

 

Таблиця 4.3

 

Таблиця 4.4

 

4.5 Зміст звіту

 

Звіт повинен вміщувати:

− найменування та мету лабораторної роботи;

− дату її виконання;

− технічні засоби, які використовуються;

− зміст завдання на роботу;

− розрахункова схема системи (на схемі вказати напрямок дії відповідних сил, координатні напрямки);

− прийняті припущення та розроблену математичну модель на базі диференціальних рівнянь;

− алгебраїчні рівняння (диференціальні рівняння записані в операторній формі за Лапласом);

− процес визначення передаточної функції системи;

− визначення динамічної стійкості за обраним алгебраїчним критерієм (роздруківка розрахунків на ПЕОМ або програма розрахунків на програмованому калькуляторі та результати розрахунків); висновки за цими розрахунками;

− процес отримання з передаточної функції виразу для роботи з критерієм Михайлова;

− визначення динамічної стійкості за допомогою графоаналітичного критерію Михайлова (роздруківка розрахунків на ПЕОМ); висновки за цими розрахунками;

− процес отримання з передаточної функції вирази для побудови частотних характеристик – АЧХ, ФЧХ, АФЧХ (роздруківка розрахунків та графіків на ПЕОМ); обробка відповідних графіків (АЧХ); висновки за цими характеристиками;

− загальні висновки по роботі.

 

4.6 Питання для самоконтролю

 

1. В чому полягає методика розробки математичного опису системи?

2. Які критерії стійкості Ви знаєте?

3. В чому полягає визначення стійкості за критерієм Рауса?

4. В чому полягає визначення стійкості за критерієм Гурвіца?

5. Яку частину рівняння, записаного відносно вхідного та вихідного сигналів, потрібно розглянути для визначення динамічної стійкості системи – праву чи ліву?

6. В чому полягає суть визначення стійкості за графоаналітичним критерієм Михайлова?

7. Методика отримання аналітичного виразу для побудови частотних характеристик.

8. Які зони розглядаються при аналізі АЧХ?

9. Для довільно обраної частоти ω покажіть на графіку АФЧХ кут фазового запізнення вихідного сигналу та амплітуду того ж сигналу.

10. Охарактеризуйте методику проведення розрахунків для даної роботи з використанням пакету MathCAD для ПЕОМ.

 

ЛІТЕРАТУРА

1. Голубничий Н.И. и др. Беседы по автоматике. – Киев: Техника, 1971.

2. Кирьянов Д.В. Самоучитель MathCAD 2001. СПб.: БХВ – Петербург, 2001.

3. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986.