Модель задачі теорії статистичних рішень.

Модель задачі теорії статистичних рішень можна описати так: якщо існує S = (S1, S2,..., Sn) - сукупність можливих станів природи, а X = (X1, X2,..., X m) - сукупність можливих стратегій керівника, тоді складемо матрицю, кожний елемент якої Rij -є результатом і-ої стратегії за j-ого стану природи. В процесі прийняття рішення необхідно на основі наявних відомостей вибрати таку стратегію, яка забезпечить максимальний виграш за будь-яких станів природи. Отже, в задачах теорії статистичних рішень вже існує оцінка реалізації кожної стратегії для кожного стану природи. Проте зовсім невідомо, який із станів природи реально виникатиме. Для розв’язання таких задач використовуються наступні критерії:

1. Критерій песимізму (критерій Уолда). Згідно критерія песимізму для кожної стратегії існує найгірший з можливих результатів. Вибирається при цьому така стратегія, яка забезпечує найкращий з найгірших результатів, тобто забезпечує максимальний з можливих мінімальних результатів. Критерій песимізму у математично формалізованому виді можна представити так:

max (min Rij).

2. Критерій оптимізму. У відповідності до цього критерія, для кожної стратегії є найкращий з можливих результатів. За допомогою критерія оптимізму вибирається стратегія, яка забезпечує максимальний результат з числа максимально можливих:

Max (max Rij).

3. Критерій коефіцієнта оптимізму (критерій Гурвіца). В реальності, особа яка приймає рішення, не є абсолютним песимістом або абсолютним оптимістом. Звичайно вона знаходиться десь поміж цими крайніми позиціями. У відповідності до таких передбачень і використовується критерій коефіцієнта оптимізму. Для математичної формалізації коефіцієнта оптимізму до його формули вводиться коефіцієнт l, який характеризує (у долях одиниці) ступінь відчуття особою, яка приймає рішення, що вона є оптимістом. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує:

max[l (max Rij) + (1- l)(min Rij)].

4. Критерій Лапласса. За допомогою трьох попередніх критеріїв стратегія вибиралася виходячи з оцінки результатів станів природи і практично не враховувалися ймовірності виникнення таких станів. Критерій Лапласа передбачає розрахунки очікуваних ефектів від реалізації кожної стратегії, тобто суми можливих результатів виникнення кожного стану природи зважених на ймовірності появи кожного з них. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує максимальний очікуваний ефект:

n

max (SRij * Pj),

j=1

де Pj – імовірність виникнення j-го стану природи (у долях одиниці).

5. Критерій жалю (критерій Севіджа). Використання цього критерія передбачає, що особа, яка приймає рішення, має мінімізувати свої втрати при виборі стратегії. Іншими словами вона мінімізує свою потенційну помилку при виборі неправильного рішення. Використання критерія жалю передбачає:

- побудову матриці втрат. Втрати (bij) при цьому розраховуються окремо для кожної стратегії за формулою:

bij = Rij - (min Rij);

- вибір кращої стратегії за формулою:

Min (max bij).

 

Теорія ігор.

Організації звичайно мають цілі, які суперечать цілям інших організацій-конкурентів. Тому робота менеджерівчасто полягає у виборі рішення з урахуваням дій конкурентів. Для вирішення таких проблем призначені методи теорії ігор.

Теорія ігор - це розділ прикладної математики, який вивчає моделі і методи прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту.

Під конфліктом розуміється така ситуація, в якій зіштовхуються інтереси двох або більше сторін, що переслідують різні (найчастіше суперечні) цілі. При цьому кожне рішення має прийматися в розрахунку на розумного противника, який намагається зашкодити другому учаснику гри досягти успіху.

З метою дослідження конфліктної ситуації будують її формалізовану спрощену модель. Аби побудувати таку модель необхідно чітко описати конфлікт, тобто:

1) уточнити кількість учасників (учасники або сторони конфлікту називаються гравцями);

2) вказати на всі можливі способи (правила) дій для гравців, які називаються стратегіями гравців;

3) розрахувати, якими будуть результати гри, якщо кожний гравець вибере певну стратегію (тобто з’ясувати виграші або програші гравців).

Основну задачу теорії ігор можна сформулювати так: визначити, яку стратегію має застосувати розумний гравець у конфлікті з розумним противником, аби гарантувати кожному з них виграш при чому так, що відхилення будь-якого з гравців від оптимальної стратегії може тільки зменшити його виграш.

Центральне місце в теорії ігор займають парні ігри з нульовою сумою, тобто ігри, в яких:

n приймають участь тільки дві сторони;

n одна сторона виграє рівно стільки, скільки програє інша.

Такий рівноважний виграш, на який мають право розрахувати обидві сторони, якщо вони будуть додержуватися своїх оптимальних стратегій, називається ціною гри. Розв’язати парну гру з нульовою сумою означає знайти пару оптимальних стратегій (одну для першого гравця, а другу – для другого) і ціну гри.

Дві компанії Y і Z з метою збільшення обсягів продажу продукції розробили наступні альтернативні стратегії:

Компанія Y: - Y1 (зменшення ціни продукції);

n Y2 (підвищення якості продукції);

n Y3 (пропозиція вигідніших умов продажу).

Компанія Z: - Z1 (збільшення витрат на рекламу);

n Z2 (відкриття нових дистриб’юторських центрів);

n Z3 (збільшення кількості торгових агентів).

Вибір пари стратегій Yi i Zj визначає результат гри, який позначимо як Aij і вважатимемо його виграшем компанії Y. Тепер результати гри для кожної пари стратегій Y i Z можна записати у вигляді матриці, у якій m рядків та n стовпців. Рядки відповідають стратегіям компанії Y, а стовпці - стратегіям компанії Z:

Стратегії Y	Стратегії Z
	Z1	Z2	Z3
Y1	А11	А12	А13
Y2	А21	А22	А23
Y3	А31	А32	А33

Така таблиця називається платіжною матрицею гри. Якщо гра записана у такому вигляді, це означає, що вона приведена до нормальної форми.

Для розв’язання гри розрахуємо верхню і нижню ціну гри та обчислимо сідлову точку.

Нижню і верхню ціну гри знаходимо керуючись принципом обережності, згідно якого у грі потрібно поводити себе так, аби при найгірших для тебе діях противника отримати найкращий результат (вже відомий нам критерій песимізму).

Нижня ціна гри (яку прийнято позначати a) розраховується шляхом визначення мінімального значення Aij по кожному рядку платіжної матриці (стратегії гравця Y) і вибору з-поміж них максимального значення, тобто:

a = max (min Aij).

Верхня ціна гри (яку прийнято позначати b) розраховується шляхом визначення максимального значення Aij по кожному стовпцю платіжної матриці гри (стратегії гравця Z) і вибору з-поміж них мінімального значення, тобто:

b = min (max Aij).

Якщо нижня ціна гри дорівнює верхній (a = b), то така гра має сідлову точку і вирішується в чистих стратегіях. Сідлова точка – це такий елемент в платіжній матриці гри, який є мінімальним у своєму рядку і одночасно максимальним у своєму стовпці.

Чисті стратегії – це пара стратегій (одна - для першого гравця, а друга - для другого гравця), які перехрещуються в сідловій точці. Сідлова точка в цьому випадку і визначає ціну гри.

Ігри, які не мають сідлової точки, на практиці зустрічаються частіше. Доведено, що і у цьому випадку рішення завжди є, але воно знаходиться в межах змішаних стратегій. Знайти рішення гри без сідлової точки означає визначення такої стратегії, яка передбачає використання кількох чистих стратегій.

В іграх із сідловою точкою відхилення одного гравця від своєї оптимальної стратегії зменшує його виграш (в найкращому випадку виграш залишається незмінним).

В іграх, які не мають сідлової точки, ситуація інша. Відходячи від своєї оптимальної стратегії гравець має можливість отримати виграш більший за нижню ціну гри. Але така спроба пов’язана з ризиком: якщо другий гравець вгадає, яку стратегію застосував перший, тоді він також відступить від своєї мінімаксної стратегії. В результаті виграш першого гравця буде меншим за нижню ціну гри. Єдина можливість завадити противнику вгадати, яка стратегія використовується – це застосувати декілька чистих стратегій. Звідси з’являється поняття "змішана стратегія".