Общие понятия с системах управления

Примеры систем радиоавтоматики. Система ФАПЧ и АРУ.

Система ФАПЧ (система фазовой автоподстройки частоты), как следует из ее названия, является системой автоматического регулирования (следящей системой). Частота настройки этой системы определяется частотой управляющего сигнала, а сигналом рассогласования является разность фаз управляющего сигнала и сигнала обратной связи. Система ФАПЧ является системой с многофункциональными возможностями и используется в качестве устройств синхронизации, для частотной модуляции и демодуляции, частотной фильтрации, умножения и преобразования частоты, выделения опорного колебания для когерентного детектирования в радиотехнических системах и др. В частности, система сетевой синхронизации обеспечивает когерентность колебаний генераторов тактовой частоты на множестве узлов цифровой сети связи. Основными элементами ФАПЧ являются измеритель рассогласования или фазовый дискриминатор (ФД), фильтр ФД (ФФД), петлевой фильтр (ФНЧ) и подстраиваемый генератор (ПГ).

Рис. 2. Структурные схемы ФАПЧ

Фазовый дискриминатор (ФД) состоит из вычитателя фаз и фильтра фазового дискриминатора (ФФД). На вход ФАПЧ поступают синхроимпульсы (СИ) Dq (t). На второй вход вычитателя с выхода контура управления подаются колебания от ПГ Dj (t). Вычитатель фаз сравнивает фазы СИ и ПГ, и на его выходе образуется последовательность импульсов ε(t), высота (амплитуда) которых пропорциональна разности фаз СИ и колебаниям ПГ. ФФД пропускает лишь низкочастотную составляющую последовательности коротких импульсов DU1(t). ФНЧ отфильтровывает высокочастотные помехи. ПГ является объектом управления. При совпадении собственных частот СИ и ПГ моментам появления СИ соответствует нулевое значение напряжения DU1(t). При увеличении частоты СИ происходит фазовый сдвиг между колебаниями СИ и ПГ, в результате чего моментам появления СИ будет соответствовать положительное напряжение + DU1(t). С помощью фильтра из последовательности импульсов выделяется постоянная составляющая напряжения управления DU2(t), вследствие чего частота ПГ изменится и станет равной частоте СИ. На рис. 3 приведена структурная схема АРУ, который состоит из усилителя с регулируемым коэффициентом усиления, детектора и фильтра, преобразующего амплитуду низкочастотных колебаний в напряжение, управляющее усилителем.

 

Рис. 3. Структурная схема АРУ

Принцип разомкнутого цикла.

 

Принцип разомкнутого цикла заключается в том, что требуемый закон управления формируется только на основе цели управления в соответствии с задающим воздействием.

Управление, реализующее данный принцип, называется управлением по задающему воздействию. Система, построенная по этому принципу, является разомкнутой или незамкнутой. Функциональная схема разомкнутой системы изображена на рис.2.

Рис. 2. Функциональная схема разомкнутой системы

 

Элементы системы:

ОУ – объект управления;

ЗУ – задающее устройство;

R – регулятор (УУ).

Координаты (переменные) системы:

g(t) – задающее воздействие;

y(t) – управляемая (регулируемая) величина;

f(t) – возмущающее воздействие;

u(t) – управляющее воздействие.

Задающее устройство предназначено для формирования цели управления путем выработки задающего воздействия. Регулятор служит для формирования закона управления, в соответствии с которым выдает управляющее воздействие, прикладываемое к объекту управления для перевода последнего в требуемое состояние. Входными величинами системы являются соответственно задающее и возмущающее воздействия. Задающее воздействие - это воздействие, определяемое целью управления, в соответствии с которым должна изменяться управляемая величина. Возмущающее воздействие представляет собой воздействие внешней среды на объект управления и, как правило, оказывает на него негативное влияние. Оно бывает объективно существующим и случайным. Выходной координатой системы является управляемая или регулируемая величина. Эта величина характеризует состояние объекта управления и подлежит стабилизации или изменению заданным образом в соответствии с целью управления. Для того чтобы управляемая величина принимала требуемые значения, необходимо к объекту управления приложить воздействие u(t) – управляющее воздействие. Управляющее воздействие формируется регулятором и прикладывается к объекту управления для того, чтобы последний перешел в нужное состояние. Следовательно, задача управления и состоит в формировании управляющего воздействия. В разомкнутой системе, как следует из принципа разомкнутого цикла и функциональной схемы (рис.2), регулятор формирует управляющее воздействие только на основе задающего воздействия, т.е.

 

u(t) = F[g(t)]. (1)

 

Выражение (1) представляет собой закон управления разомкнутой системы. Закон управления - это алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которой регулятор формирует управляющее воздействие. Характерным для разомкнутой системы является то, что процесс работы системы не зависит непосредственно от результата ее воздействия на управляемый объект. Отсюда главный недостаток разомкнутой системы - низкая точность работы.

По разомкнутому принципу работают многие известные всем автоматы, например, часы, банкомат, автомат, выбрасывающий какие-либо определенные предметы (билеты, шоколад) при опускании в него определенной комбинации монет и т.д. Примером такой системы может служить системы управления стрельбой из ружья или артиллерийского орудия.

Пример. Рассмотрим СУ хлебопекарной печи (рис.3). Ее функциональная схема показывает принцип действия данной конкретной СУ, состоящей из конкретных технических устройств. Технология выпечки требует изменения температуры в печи по заданной программе, в частном случае требуется поддержание постоянной температуры. Для этого надо реостатом регулировать напряжение на нагревательном элементе НЭ. Подобная часть ОУ, с помощью которой можно изменять параметры управляемого процесса называется управляющим органом объекта (УО). Это может быть реостат, вентиль, заслонка и т.п. Часть ОУ, которая преобразует управляемую величину в нашем случае температуру печи в пропорциональную ей величину, удобную для использования в СУ, называют чувствительным элементом(ЧЭ). Физическую величину на выходе ЧЭ называют выходной величиной ОУ. Как правило, это электрический сигнал (ток, напряжение) или механическое перемещение. В качестве ЧЭ могут использоваться термопары, тахометры, рычаги, электрические мосты, датчики давления, деформации, положения и т.п. В нашем случае это термопара, на выходе которой формируется напряжение, пропорциональное температуре в печи, подаваемое на измерительный прибор ИП для контроля. Физическую величину на входе управляющего органа ОУ называют входной величиной ОУ.

 

Рис. 3. Функциональная схема.

 

Управляющее воздействие u(t) - это воздействие, прикладываемое к УО объекта с целью поддержания требуемых значений управляемой величины. Оно формируется устройством управления (УУ). Ядром УУ является исполнительный элемент, в качестве которого может использоваться электрические или поршневые двигатели, мембраны, электромагниты и т.п. Задающим устройством (ЗУ) называется устройство, задающее программу изменения управляющего воздействия, то есть формирующее задающий сигнал g(t). ЗУ может быть выполнено в виде отдельного устройства, быть встроенным в УУ или же вообще отсутствовать. В качестве ЗУ может выступать кулачковый механизм, магнитофонная лента, маятник в часах, задающий профиль (ЗП) и т.п. Роль УУ и ЗУ может исполнять человек. В нашем примере УУ является кулачковый механизм, перемещающий движок реостата согласно программе, которая задается профилем кулачка.

Принцип компенсации

Если возмущающий фактор f(t) искажает выходную величину у(t) до недопустимых пределов, то применяют принцип компенсации см. рис.4, КУ - корректирующее устройство).РИ Рис.4.

 

 

Рис. 5. Функциональная схема.

Пусть y_о - значение выходной величины, которое требуется обеспечить согласно программе. На самом деле из-за возмущения f на выходе регистрируется значение y. Величина e = y_о - y называется отклонением от заданной величины. Если каким-то образом удается измерить величину f, то можно откорректировать управляющее воздействие u на входе ОУ, суммируя сигнал УУ с корректирующим воздействием, пропорциональным возмущению f и компенсирующим его влияние. Примеры систем компенсации: биметаллический маятник в часах, компенсационная обмотка машины постоянного тока и т.п. На рис.3 в цепи УО необходимо поставить термосопротивление R _t, величина которого меняется в зависимости от колебаний температуры окружающей среды, корректируя напряжение на НЭ. Достоинство принципа компенсации: быстрота реакции на возмущения. Он более точен, чем принцип разомкнутого управления. Недостаток: невозможность учета подобным образом всех возможных возмущений.

Комбинированный принцип.

Комбинированный принцип заключается в сочетании принципов разомкнутого и замкнутого циклов в одной системе. Такое управление, сочетающее в себе управление по задающему воздействию и отклонению, называется комбинированным управлением. Оно обеспечивает высокую точность и высокое быстродействие. Система, реализующая комбинированный принцип, называется комбинированной.

Функциональная схема комбинированной системы представлена на рис. 1.3.

 

 

Рис. 10. Функциональная схема комбинированной системы

 

Для реализации комбинированной системы в замкнутую систему требуется включить дополнительные функциональные элементы: КЦЗ и КЦВ. КЦЗ – компенсирующая цепь по задающему воздействию, позволяет скомпенсировать ошибку работы системы от задающего воздействия. КЦВ – компенсирующая цепь по возмущающему воздействию, позволяет скомпенсировать негативное влияние возмущающего воздействия на работу системы. Компенсирующие цепи представляют собой дифференцирующие устройства и служат для прогнозирования входных воздействий системы, что позволяет системе работать с предвидением. Благодаря этому, комбинированные системы обладают повышенной точностью и быстродействием. Из функциональной схемы следует, что закон управления комбинированной системы имеет вид:

 

u(t) = F[x(t),g(t),f(t)]. (5)

 

В общем случае управляющее воздействие в комбинированной системе является функцией рассогласования, задающего и возмущающего воздействий. Кроме того, можно сделать комбинированную систему только по задающему воздействию, если

 

u(t) = F[x(t),g(t)], (6)

и только по возмущающему воздействию, если

 

u(t) = F[x(t),f(t)]. (7)

 

Комбинированное управление позволяет реализовывать инвариантные к внешним воздействиям системы управления. Принцип адаптации заключается в том, что системы, реализующие этот принцип, в процессе работы приспосабливаются, адаптируются к изменяющимся внешним условиям. Такое управление называется адаптивным, а системы, работающие в соответствии с данным принципом, называется адаптивными. Адаптивные системы имеют в своем составе, как правило, дополнительные блоки и контуры для анализа показателей качества процесса управления или внешних условий, по которым необходима адаптация. Адаптивные системы бывают экстремальные, самонастраивающиеся и самоорганизующиеся. Экстремальные системы или системы с самонастройкой программы. Это системы, которые сами ищут наивыгоднейшую программу, т.е. то значение управляемой величины, которое нужно в данный момент выдерживать, чтобы режим работы объекта управления был наилучшим по какому-либо параметру. При этом имеется в виду не выбор закона управления, а автоматическая установка задающего воздействия, такого, при котором обеспечивается наивыгоднейшее значение управляемой величины при изменяющихся внешних условиях работы системы. Таким образом, на экстремальную систему накладывается дополнительная задача автоматического поиска наивыгоднейшего значения требуемой управляемой величины, т.е. самой программы управления.

На рис. 11 приведена функциональная схема экстремальной системы. Для получения экстремальной системы в замкнутую систему дополнительно включают УАПЭ - устройство автоматического поиска экстремума, которое анализирует параметр объекта управления r, определяющий его режим работы, и воздействует на задающее устройство с целью изменения задающего воздействия g(t) для обеспечения наивыгоднейшего режима работы объекта управления. Анализ параметра r и изменение задающего воздействия g(t) осуществляется до тех пор, пока r (параметр объекта управления, который оптимизируется) не примет экстремальное значение.

 

 

Рис. 11. Функциональная схема экстремальной системы

 

 

Так в экстремальных системах(рис.12)

 

 

Рис.12.

требуется, чтобы выходная величина всегда принимала экстремальное значение из всех возможных, которое заранее не определено и может непредсказуемо изменяться. Для его поиска система выполняет небольшие пробные движения и анализирует реакцию выходной величины на эти пробы. После этого вырабатывается управляющее воздействие, приближающее выходную величину к экстремальному значению. Процесс повторяется непрерывно. Так как в данных САУ происходит непрерывная оценка выходного параметра, то они выполняются только в соответствии с третьим принципом управления: принципом обратной связи. Примерами экстремальных систем могут служить: система автоматического поддержания максимальной скорости проходки скважины турбобуром при меняющихся свойствах грунта; автоматические системы управления различными производственными процессами, поддерживающие наивыгоднейший режим работы станков; система поддержания наивыгоднейшей скорости движения автомобиля, соответствующей минимуму расхода горючего на единицу длины пути и т.д. Самонастраивающиеся системы с самонастройкой параметров. Это такие системы, в которых В этих системах автоматически в процессе работы в соответствии с изменением внешних условий изменяются какие-нибудь параметры регулятора (не заданным заранее образом). Это изменение параметров осуществляется таким образом, чтобы заданное качество работы системы сохранялось или обеспечивалось максимальное качество, возможное в данных реальных условиях. Эти системы работают по принципу самообучения. Они в процессе работы изучают объект управления и обучаются управлять им наилучшим образом.

Простейшими самонастраивающимися системами являются системы с самонастройкой параметров регулятора по задающему и возмущающему воздействиям (рис.12). Эти системы содержат в своем составе анализатор А для анализа задающего и возмущающего воздействий и контур настройки регулятора КН для настройки параметров регулятора в соответствии с заданным критерием. Примерами самонастраивающихся систем могут служить радиотехнические системы с контурами автоматических регулировок усиления (АРУ) и подстроек частоты (АПЧ, ФАПЧ).

 

 

Рис. 12. Функциональная схема самонастраивающейся системы

 

Самоорганизующиеся системы или системы с самонастройкой структуры. Это системы, которые наилучших режимов работы достигают не изменением параметров регулятора, а путем изменения самой структуры регулятора не заданным заранее образом. В самоорганизующуюся систему закладывается лишь тот или иной определенный критерий качества работы системы или комбинация критериев для различных внешних условий работы системы. Система сама путем автоматического поиска выбирает такую структуру (из возможных, имеющихся в ее распоряжении), при которой удовлетворяется заданный критерий качества работы всей системы. Примером систем с самонастройкой структуры являются двухотсчетные системы, получившие широкое распространение. Эти системы имеют в своем составе два измерительных канала: грубого и точного отсчетов. Нужный измерительный канал выбирается системой в зависимости от величины рассогласования. Кроме чисто технических автоматических систем аналогичные принципы действия заложены и в биологических системах, экономических системах и т.п., что изучается соответствующими направлениями кибернетики и общей теории систем управления.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

Общие понятия.

 

Любую систему управления, рассматриваемую как совокупность объекта управления ОУ, датчика рассогласования ДР и регулятора R, можно изобразить в виде упрощенной функциональной схемы (рис. 1).

Рис. 1. Функциональная схема системы

 

Элементы системы:

ОУ – объект управления;

ДР - датчик рассогласования;

R – регулятор.

Координаты (переменные) системы:

g(t) – задающее воздействие;

y(t) – управляемая (регулируемая) величина;

f(t) – возмущающее воздействие;

x(t) - рассогласование (ошибка);

u(t) – управляющее воздействие.

 

Еще в более общем виде систему управления можно рассматривать как ”черный ящик” (рис. 1.8), преобразующий задающее воздействие в управляемую величину.

Рис. 2.2. Кибернетическая модель системы управления

 

При таком представлении система задается оператором А, устанавливающим связь между входом и выходом:

 

y(t) = A{g(t)}, (2.1)

 

где A – оператор системы. Для анализа и синтеза системы управления требуется ее математическое описание, которое бы связывало поведение координат системы - ее переменных величин в процессе работы, то есть во времени. Поведение координат системы во времени называется динамикой системы. Так как система состоит из взаимосвязанных функциональных элементов, то для получения ее математического описания необходимо получить математические описания отдельных элементов. Математическое описание элемента устанавливает связь во времени между его текущими значениями выходных y(t) и входных x(t) величин.

Динамика элемента, то есть поведение его координат во времени, описывается дифференциальными уравнениями. В динамике связь между координатами, то есть между входными и выходными величинами, меняется во времени. Динамика характеризуется переходным процессом.

При времени, стремящемся к бесконечности t®¥, текущие координаты y(t) и x(t) принимают постоянные установившиеся значения и наступает статика элемента, которая описывается алгебраическими уравнениями. В статике входные и выходные величины элемента постоянные: x(¥)=x0=const; y(¥)=y0=const. Эти постоянные величины называются установившимися. А процесс, соответствующий статике, называется установившимся процессом.

Теоретически статика наступает при t®¥, однако на практике принято считать, что статика наступает тогда, когда текущие координаты отличаются от своих установившихся значений не более чем на 5%.

Динамическое уравнение отдельных элементов зависит от области их применения. Это может быть область электричества, электроники, механики, гидравлики (электрические машины, механические передачи, нагревательные приборы, электрические цепи, электронные схемы и т.п.).

 

2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений

 

Подавляющее большинство реальных элементов имеют нелинейные характеристики и, следовательно, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако, многие нелинейные элементы можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения элемента приближенными линейными. Это позволяет для анализа и синтеза систем управления использовать методы теории линейных систем, которые наиболее просты и хорошо разработаны. В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение, что в исследуемом динамическом процессе переменные координаты системы изменяются таким образом, что их отклонения от установившихся значений остаются все время достаточно малыми величинами. Это условие выполняется для замкнутых систем, так как последние работают по принципу ликвидации ошибки.

Геометрическая трактовка линеаризации. Изобразим графически нелинейную зависимость (рис. 2.3) y(t) = F(x(t)).

 

Рис. 2.3 Геометрическая интерпретация линеаризации

 

Текущие значения координат y и x запишем как

 

y(t) = y0 + Dy(t);

x(t) = x0 + Dx(t);

 

где y0, x0 – установившиеся значения, Dy, Dx – их отклонения от установившихся значений.

В рабочей точке (x0, y0), определяемой установившимися значениями, заменим участок кривой касательной и получим прямую, описываемую линейным уравнением

 

y = yн + kx,

 

где yн - постоянная величина;

- коэффициент, определяемый наклоном касательной к кривой в рабочей точке (x0, y0).

Для исключения из уравнения величины yн перенесем начало координат в рабочую точку. Тогда получим линейное уравнение, связывающее между собой отклонения переменных величин от своих установившихся значений, вида

Dy(t) = k Dx(t). (2.2)

 

Таким образом, линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой на касательную к ней прямую в точке установившегося режима. Очевидно, что эта замена тем точнее, чем меньше величины отклонений координат элемента от своих установившихся значений в исследуемом динамическом процессе.

В общем случае при составлении уравнения динамики элемента системы, имеющего входную величину x, выходную - y и внешнее воздействие f, получается динамическое уравнение произвольного нелинейного вида

(2.3)

Допустим, что установившиеся значения переменных y, x и f являются постоянными величинами y0, x0, f0, характеризующими установившийся режим и определяющими рабочую точку элемента. Тогда для текущих координат можно записать

 

y(t) = y0 + Dy(t);

x(t) = x0 + Dx(t);

f(t) = f0 + Df(t);

 

где Dy, Dx, Df – отклонения y, x, f от своих установившихся значений.

Из (2.3) получается уравнение статики

 

F(y0) = G(x0, f0). (2.4)

 

Для линеаризации уравнения (2.3) последнее раскладывают в ряд Тейлора по степеням отклонений всех координат элемента от своих установившихся значений. Тогда уравнение (2.3) примет вид

 

+ (члены высшего порядка малости). (2.5)

Вычитая из последнего уравнения (2.5) уравнение статики (2.4) и отбросив все последующие члены разложения как малые высшего порядка, придем к линейному уравнению динамики элемента

(2.6)

 

Здесь нижний индекс “0” обозначает, что значения частных производных должны быть определены в точке установившегося режима элемента.

Это дифференциальное уравнение, так же как и (2.3), описывает тот же динамический процесс в том же элементе автоматической системы. Сравним (2.3) и (2.6):

уравнение (2.3) - точное, а уравнение (2.6) - приближенное, ибо в процессе его получения были отброшены малые высшего порядка;

уравнение (2.3) записано относительно переменных величин элемента, а уравнение (2.6) - относительно отклонений переменных от своих установившихся значений;

уравнение (2.3) - нелинейное, уравнение (2.6) - линейное относительно отклонений, коэффициенты которого определяются рабочей точкой элемента, то есть его установившимися значениями; при смене рабочей точки эти коэффициенты изменяются.

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (2.6) называется дифференциальным уравнением элемента в отклонениях.

Ограничение метода. Данным методом могут быть линеаризованы уравнения элементов, статические характеристики которых в окрестности точки установившегося режима гладкие, то есть их производные непрерывны и однозначны. Не могут быть линеаризованы уравнения элементов с негладкими, неоднозначными и имеющими разрывы в окрестности точки установившегося режима статическими характеристиками.

Замечание: в дальнейшем будем использовать только линеаризованные уравнения, записанные относительно отклонений от установившихся значений переменных, однако для сокращения записи знак “D” будем опускать.

 

2.3. Формы записи линеаризованных уравнений

 

В теории управления принято записывать дифференциальные уравнения в двух стандартных формах.

В общем виде линеаризованное дифференциальное уравнение, описывающее элемент, можно записать следующим образом

(2.7)

где y(t), x(t), f(t) - выходная и входная величины элемента и внешнее воздействие;

ai, bi, ci - постоянные коэффициенты;

n - порядок уравнения, причем (n³m,k); это условие физической реализуемости элемента, показывающее, что сигнал на выходе реального элемента не может возникнуть раньше подачи воздействия на его вход, т.е.

y(t) = 0 при t < 0,

Уравнение (2.7) удобнее записывать в символическом виде, введя алгебраизированный символ дифференцирования . В результате уравнение примет вид

(a0pn + a1pn -1 +…+an-1p+an) y(t) =

= (b0pm +b1pm-1 +…+bm) x(t) + (c0pk +c1pk-1 +…+ck) f(t). (2.8)

 

Коэффициенты уравнения имеют размерности:

ai [cn-i]; bi ; ci .

В общем случае в соответствии с (2.8) уравнение элемента можно представить в форме

D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t). (2.9)

При этом

; ; -

полиномы степени n, m, k от символа дифференцирования p.

Первая стандартная форма записи. Дифференциальное уравнение записывают так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входные величины и все остальные члены - в правой. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести уравнение (2.8) к такому виду, разделим левую и правую его части на an и получим

 

При записи уравнения в первой стандартной форме (2.10) получившиеся коэффициенты:

Тn, Тn-1,…, Т1 называются постоянными времени, они имеют размерность времени [с] и характеризуют инерционные свойства элемента; а

k1 , …, km+1 , km+2 , …, km+k+2

называются коэффициентами передачи. Они представляют собой весовые коэффициенты, показывающие какой вклад в формирование выходной величины элемента вносит каждое слагаемое правой части уравнения.

Вторая стандартная форма записи. Для решения дифференциальных уравнений широкое распространение получил операторный метод, при использовании которого задача нахождения решения дифференциального уравнения сводится к алгебраическим действиям. Чтобы перейти от исходного дифференциального уравнения элемента при нулевых начальных условиях к операторному, необходимо в дифференциальном уравнении вместо реальных функций времени записать их изображения по Лапласу, а в полиномах символ дифференцирования p заменить на оператор Лапласа s.

Применив к дифференциальному уравнению (2.9) преобразование Лапласа, получим

D(s)Y(s) = N(s) X(s) + M(s) F(s), (2.11)

 

где s – оператор Лапласа;

Y(s), X(s), F(s) - изображения по Лапласу выходной и входной величин элемента и внешнего воздействия;

; ;

полиномы степени n, m, k от оператора Лапласа s.

Оператор Лапласа s представляет собой комплексную величину, причем s=c+jw, где:

c=Re s - абсцисса абсолютной сходимости;

w=Im s –угловая частота, имеющая размерность [рад/с];

Для перехода от реальных функций времени - оригиналов к их изображениям по Лапласу и наоборот введены прямое и обратное интегральные преобразования вида:

,

.

На практике для этих целей используют специальные таблицы [1,7].

Уравнения (2.9) и (2.11) формально совпадают между собой. Однако уравнение (2.9) является дифференциальным, куда входят реальные функции времени, а уравнение (2.11) - алгебраическим относительно изображений функций времени по Лапласу.

После ввода следующих обозначений:

;

уравнение (2.11) примет вид, являющийся второй стандартной формой записи

Y(s) = Wx(s) X(s) + Wf(s) F(s). (2.12)

 

Выражения Wx(s) и Wf(s) в теории управления называются передаточными функциями.

Если f(t) = 0, то F(s) = 0 и тогда - передаточная функция элемента по входу Х.

Eсли x(t)=0, то X(s)=0 и тогда - передаточная функция элемента по входу F.

Передаточная функция элемента по заданному входу есть отношение изображений по Лапласу его выходной и входной величин при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах элемента.

Передаточная функция имеет важное основополагающее значение в классической теории управления. Она устанавливает связь в динамическом режиме между выходной и входной величинами элемента и полностью характеризует его динамические свойства.

Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемых структурных схем.

Передаточные функции элементов или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы, а в случае необходимости перейти к дифференциальному уравнению.

 

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

3.1. Характеристики линейных звеньев

 

Под динамическим звеном понимается устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но имеющее определенное математическое описание.

Характеристика звена - это его реакция на определенное входное воздействие. Для линейных звеньев и линейных систем в целом характеристика полностью определяет их динамические свойства, так как к линейным звеньям и системам применим принцип суперпозиции, позволяющий по реакции линейного элемента на какое-либо известное воздействие найти его реакцию на воздействие произвольного вида.

В качестве входных воздействий, на которые ищется реакция звена, приняты воздействия, описываемые элементарными математическими функциями, то есть такими, на которые можно разложить любые произвольные функции. В теории управления в качестве элементарных функций используются:

1) единичная импульсная или дельта-функция d(t);

2) единичная ступенчатая функция 1(t);

3) гармоническая функция X0sin(wt).

Существуют временные (импульсная и переходная функции) и частотные характеристики.

Импульсная или весовая функция звена w(t). Импульсная или весовая функция представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию.

Единичной импульсной функцией или d-функцией называется функция, равная нулю всюду, кроме начала координат, но притом так, что интеграл от нее по любому интервалу, содержащему нуль, равен единице, т.е.

Кроме того, при любом e>0.

Рис. 3.1. Временные диаграммы входного и выходного сигналов звена

 

Иначе говоря, весовая функция w(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена (рис. 3.1) при подаче на его вход единичного импульса.

Весовой функцией звена w(t) называется оригинал (т.е. обратное преобразование Лапласа) передаточной функции, а именно:

 

(3.1)

 

где si - все полюса (корни знаменателя) передаточной функции W(s). В этой формуле Res обозначает вычеты.

Зная импульсную функцию w(t), можно найти реакцию звена на любое входное воздействие x(t), разложение которого на d-функции имеет вид:

. (3.2)

При этом сигнал на выходе линейного звена определяется как

 

, (3.3)

где t - вспомогательное время интегрирования.

Имея весовую функцию звена w(t), можно определить его передаточную функцию:

. (3.4)

Переходная функция звена h(t). Переходная функция представляет собой реакцию звена на единичную ступенчатую функцию, удовлетворяющую условию

 

Как видим (рис. 3.2), переходная функция является переходным процессом на выходе звена при единичном скачке на его входе.

Рис. 3.2. Временные диаграммы входного и выходного сигналов звена

 

Из рассмотренного выше для линейных звеньев очевидны следующие соотношения между импульсной и переходной функциями. Поскольку

, то ,

и, наоборот,

, то .

Переходная функция звена связана с передаточной функцией преобразованием Карсона, т.е. имеется следующее интегральное преобразование:

. (3.5)

 

Весовая и переходная характеристики являются функциями времени и поэтому относятся к временным характеристикам.

Частотные характеристики звена. Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания звена.

Если на вход линейного звена подать гармоническое воздействие

 

x(t)=X0sin(wt),

где X0 - амплитуда,

w - угловая частота, имеющая размерность [рад/с] или [c-1 ],

то, как следует из необходимых и достаточных условий линейности, на выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но, в общем случае, другой амплитуды Y0 и сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол y

 

y(t)=Y0sin(wt+y).

 

Связь между выходной гармоникой и входной устанавливается с помощью частотной передаточной функции звена W(jw).