Смысл пси-функции. Стандартные условия.

Пси-функция не имеет прямого физического смысла, так как является комплексной величиной. Смысл пси-функции сформулировал Макс Борн: квадрат модуля волновой функции даёт плотность вероятности нахождения частицы в некоторой точке с координатами (x,y,z): ; где P – вероятность, V – объём.

Волновая функция должна соответствовать условиям: непрерывности, однозначности, конечности, её производные должны быть непрерывны, она должна быть интегрируема.

 

12. Принцип суперпозиции. См вопрос 10.

 

Постулаты квантовой механики.

1. Состояние движения частицы описывается пси-функцией, она удовлетворяет УШ (уравнению Шрёдингера) и стационарным условиям. В соответствии с принципом суперпозиции множество пси-функций, описывающих некоторую механическую систему, образует комплексное линейно-векторное пространство. Каждый вектор этого пространства описывает некоторое состояние системы. Любая суперпозиция векторов этого пространства описывает также состояние системы. Для векторов пространства состояний можно вести скалярное произведение: .

2. Каждой динамической переменной в квантовой теории сопоставляется определенный линейный самосопряжённый оператор: . Задача на собственные значения и собственные функции () приводит к вещественным собственным значениям (). Собственные функции отвечающие различным собственным значениям ортогональны (). Совокупность собственных функций образует полную систему, где любая пси-функция может быть представлена как линейная .

3. При измерении числового значения некоторой динамической переменной q, с определенной вероятностью получается одно из собственных значений оператора . Вероятность получения в опыте значения , где - коэффициент разложения пси-функции по собственным значениям оператора . Если пси-функция совпадает с одной из собственных функция, то с вероятностью 1 мы получим при изменении значение .

 

Операторы физических величин.

Операторы физической величины определяется исходя из соответствия их выражения в классической механике, принципа соответствия, соотношения неопределенности Гейзенберга и прежде всего в соответствии с требованием совпадения результатов в рамках квантовой формы экспериментальных данных.

1. Оператор координаты: в соответствии с интерпретации пси-функции , вероятность того, что частица находится в окрестности точки (x,y,z), среднее значение координаты в качестве оператора координаты выбираем .

2. Оператор импульса найдём исходя из соотношений неопределённости Гейзенберга: , задача на собственные значения функции . -собственная функция, отвечающая за собственное значение импульса. Таким образом, собственная функция оператора импульса частицы с энергией и импульсом, сопоставляет волну частоты и волновым числом .

3. Оператор Гамильтона (полной механической энергии) получается в соответствии с принципом классической механики из выражения для полной механической энергии с заменой физических величин их операторами. Оператор Гамильтона – оператор определяющий левую сторону УШ.

 

Условие одновременной измеримости различных физических переменных. Соотношение неопределённостей.

Рассмотрим условия, при которых А и В могут быть одновременно измерены. Пусть в некотором состоянии они имеют определённые значения, тогда их собственные операторы: : . Предположим, что образуют полную систему собственных векторов, тогда для произвольного вектора состояния: . В силу произвольности получаем операторное равенство: . Другими словами, наблюдаемые должны коммутировать.

Соотношение неопределённостей Гейзенберга () показывает, что между точностью, с которой одновременно может быть установлено положение частицы, и точностью её импульса существует определённое соотношение. (Соотношение неопределённостей Гейзенберга помогает определить вероятность нахождения частицы в данной точке пространства.)

 

 

Оператор момента импульса.

Момент импульса: , оператор момента импульса: =- . Компоненты оператора момента импульса: =- . Вследствие коммутативности оператора, частица не может иметь определённые значения 2х, 3х компонентов момента импульса, при этом можно одновременно измерить и получить определённые значения квадрата момента импульса.

Перейдя к полярным координатам мы получим: , где ). В силу стандартных условий проекция момента импульса может принимать только дискретный набор значений (Lz=m , m = …). Квадрат момента импульса: , l = … .