Топологический аспект понятия компактности.

Определение 6. Открытым покрытием множества называют конечную или бесконечную совокупность открытых множеств , причём эта точка принадлежит хоть одному из множеств .

Теорема 5 (Критерий компактности Гейне Бореля). Множество компакт, если и только если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие .

Комментарий. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество. Пусть конечная сеть, то есть весь компакт целиком разместится в объединении шаров , и если, в свою очередь, каждый такой шар целиком входит в некоторое множество , то компакт . Таким образом, нужно показать, что и .

Необходимость. Пусть не существует шара, целиком входящего в некоторое множество . Тогда и , такие, что все шары не попадут целиком ни в одно множество . Но множество компакт, то есть из последовательности можно выделить подпоследовательность . Эта точка принадлежит одному из открытых множеств , то есть, по определению открытых множеств, она входит в множество вместе с некоторой окрестностью. Стало быть, существует шар , то есть целиком входящий в множество .

Достаточность. Пусть существует конечное покрытие множества , но множество не компакт. Это означает, что никакая точка множества не может быть пределом последовательности или подпоследовательности, сходящейся к этой точке. Это означает, что у множества вообще нет предельных точек, то есть все его точки изолированные. Другими словами, существует шар , внутри которого нет ни одной точки из множества , кроме, быть может, точки . Рассмотрим открытое покрытие множества этими шарами. По условию, существует конечное покрытие множества , то есть существует конечная совокупность шаров, которая покрывает бесконечное множество элементов множества , но в каждом из этих шаров находится только по одной точке из множества .

Определение 7. Множество называется компактом, если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие .

Комментарий. Это определение позволило П.С. Александрову и П.С. Урысону построить теорию компактных топологических пространств, где компактность часто называют бикомпактностью. Та компактность, которым мы пользовались, называется секвенциальной компактностью (sequential (лат.) последовательность). Эти понятия, вообще говоря, различны и совпадают только в метрических пространствах.

Теорема 6 (О структуре компакта). Любой компакт гомеоморфен канторову дисконтинууму .

Покажем, что существует непрерывная функция , осуществляющая биекцию междукомпактом канторовым дисконтинуумом . Так как компакт, то для него существует конечная сеть. Возьмём последовательность и построим её для каждого . При это будет , при это будет . При этом в каждую из них добавляем точки так, чтобы общее число точек в любой сети было степенью двойки, то есть . Рассмотрим сеть. Очевидно, что любое находится в одном из шаров с радиусом и центрами в точках . Пусть, например, эта точка находится в шаре , тогда при эта точка находится в шаре и так далее. Таким образом, для любого можно указать бесконечную последовательность вложенных шаров с радиусами , внутри которых она находится. Общее число таких шаров, образующих сеть, конечно и является степенью двойки.

Рассмотрим теперь построениеканторова дисконтинуума . На том шаге он содержит сегментов ранга . Если их как-то пронумеровать, например, слева направо в порядке следования сегментов, то последовательность вложенных друг в друга сегментов, содержащих эту точку. Тогда ей можно сопоставить точку и последовательность вложенных шаров с теми же номерами, внутри которых она находится. Это биективное соответствие осуществляется функцией . Покажем, что она непрерывна. Для произвольного рассмотрим шар , где . Рассмотрим последовательность вложенных шаров с радиусами , Так как , то ясно, что, начиная с некоторого шары окажутся внутри любого шара с фиксированным . Если в качестве взять наименьшее расстояние от до конца сегмента, содержащего на ном шаге точку , то как только , сразу то есть функция непрерывна.

Комментарий. Непрерывные на компакте функционалы ведут себя так же, как и функции, непрерывные на сегменте, то есть для них имеет место теорема Вейерштрасса.

Теорема 7 (Вейерштрасса). Непрерывный на компакте функционал

1. ограничен на нём и

2. достигает на нём своих точных верхней и нижней граней.

1. Пусть функционал не ограничен на компакте , то есть точка. Так как компакт, выделим подпоследовательность. Но непрерывен, то есть исходная посылка неверна.

2. Так как функционал непрерывен на компакте , он ограничен на нём, то есть множество его значений ограничено, то есть он имеет точную верхнюю грань и точную нижнюю грань . Надо показать, что функционал достигает их на компакте . Покажем это для точной верхней грани . По определению точной верхней грани и , то есть . Выделим из последовательности подпоследовательность , то есть . При по теореме о двух милиционерах , а силу непрерывности , и, так как компакт, .

Пример. В конечномерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно. Рассмотрим замкнутое множество , и произвольную последовательность в нём. По теореме Больцано – Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность, причём она будет сходиться к элементу из , то есть компакт, а, следовательно, предкомпакт.

Пример. В пространстве множество не предкомпактно. Если это множество предкомпактно, то из него можно выделить сходящуюся подпоследовательность , которая по теореме Кантора должна сходиться равномерно, но равномерная сходимость влечёт поточечную, то есть сходимость в каждой точке пространства .

Однако, подпоследовательность при сходится к нулю, а при к единице, то есть к разрывной функции, не принадлежащей пространству .

 

Определение 7. Множество функций равномерно ограничено, если .

 

Определение 8. Множество функций равностепенно непрерывно, если и .

Пример. Рассмотрим в пространстве последовательность . Эта последовательность, очевидно, равномерно ограничена в . Однако, как показано ранее, она не равностепенно непрерывна, точно так же, как и последовательность в пространстве . Эта последовательность равномерно ограничена, так как . Однако не равностепенно непрерывна. Пусть Тогда , что и означает невыполнение условия равностепенной непрерывности.

 

Теорема 8 (Критерий компактности Арцела Асколи). Множество функций компактно, если и только если оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Необходимость. Пусть множество компактно в . 1. Докажем, что оно равномерно ограничено. Так как пространство полное, а множество компактно, то существует конечная сеть из функций . Каждая из них ограничена (как непрерывная функция на компакте), а для произвольной функции найдётся из сети такая, что . Тогда . Это и означает равномерную ограниченность множества функций .

2. Докажем равностепенную непрерывность множества . Так как множество компактно, то существует конечная сеть, состоящая из функций , таких, что . Так как все функции непрерывны на компакте , то по теореме Кантора они и равномерно непрерывны на нём, т.е. . Пусть . Тогда это наименьшее значение подойдёт для любых функций из сети. Покажем, что это значение подойдёт и для любой функции . Пусть произвольная функция множества , а функция из - сети. Тогда имеем Итак, , что и означает равностепенную непрерывность.

Достаточность. Пусть равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное на семейство функций . Покажем, что семейство компакт, то есть построим конечная сеть.

 

 

Пусть и зафиксируем сколь угодно малое . Так как все функции равностепенно непрерывны, то и как только. Разобьём сегмент точками , причём , а сегмент разобьём точками , причём . Сопоставим каждой функции ломаную с вершинами в узлах сетки, причём так, что значение берётся такое, что . Очевидно, это всегда возможно. Таким образом, , , и . Тогда

. То есть .Так как между точками и функция линейна, то и . Пусть теперь произвольная точка из сегмента , а ближайшая к ней слева. Тогда Таким образом, ломаные и в самом деле образуют конечную сеть по отношению к множеству функций .

Пример. Является ли множество предкомпактным в пространстве ? Это множество равномерно ограничено, так как , а . Тогда . Кроме того, оно равностепенно непрерывно, так как по формуле конечных приращений Лагранжа при сразу для всех . Тем самым, множество предкомпактно в пространстве .

 

КУЛЬТУРНЫЙ МИНИМУМ.

1. Что такое пополнение метрического пространства?
2. Теорема Хаусдорфа о пополнении.
3. Что такое мера?
4. Что такое метод палеток?
5. Алгоритм введения меры Лебега.
6. Что такое множество лебеговой меры ноль?
7. Какие утверждения верны почти всюду?Какиефункции называются эквивалентными, измеримыми?
8. Схема построения интеграла Лебега на множествах конечной меры.
9. Конструкция интеграла Лебега на множествах конечной меры.
10. Что такое компакт, предкомпакт? Примеры.
11. Что такое счётный и конечный скелеты? Что такоевполне ограниченное множество?
12. Что такое открытое покрытие множества?
13. Что такое равномерная ограниченность иравностепенная непрерывность.
14. Критерий компактности Арцела.

 

ВОПРОСЫ.

1. Доказать критерий полноты Кантора.

2. Доказатьтеорему Бэра о категориях.

3. Доказать, чтоесли множество компакт, то оно замкнуто и ограничено.

4. ДоказатьТеорему Кантора о пересечении замкнутых, вложенных шаров.

5. Доказать, что вполнеограниченное множество ограничено. Верно ли обратное?

6. Доказать, что компактное метрическое пространство сепарабельно.

7. Доказатькритерий Фреше – Хаусдорфа.

8. Доказать теорему Вейерштрасса о функционале, непрерывном на компакте.

 

 

ЗАДАЧИ.

1. Найти меру Жордана канторова дисконтинуума.
2. Применить процедуру Кантора для построения неизмеримого по Жордану множества.
3. Показать неизмеримость по Жордану множества рациональных чисел.
4. Показать неизмеримость по Жордану множества иррациональных чисел.
5. Найти меру Лебега множества рациональных и иррациональных чисел.
6. Показать, что канторов дисконтинуум есть замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество лебеговой меры ноль и мощности континуума.
7. Построить на отрезке замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество мощности континуума и с заданной мерой .
8. Взять интеграл Лебега , если
9. Показать некомпактность последовательности в пространстве .
10. Показать некомпактность последовательности в пространстве .
11. Показать, что функционал в пространстве не достигает инфинума.
12. Показать, что в пространстве последовательность равномерно ограничена, но не равностепенно непрерывна.