Компактность в метрических пространствах

 

Комментарий. 1. В классическом анализе в соответствии с теоремой Больцано Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Однако, в бесконечномерных метрических пространствах это, вообще говоря, не так. Приедем два очевидных примера. Рассмотрим в метрическом пространстве последовательность , где . Она лежит на сфере , то есть ограничена, но не фундаментальна, так как Это значит, что из неё нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Второй пример в пространстве даёт последовательность . Эта последовательность, очевидно, замкнута и ограничена в . Однако неё тоже нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Чтобы это показать, рассмотрим . Выберем . Тогда при видно, что , то есть ни сама последовательность, ни любая её подпоследовательность даже не фундаментальны.

2. В классическом анализе в соответствии с теоремой Вейерштрасса. Любая непрерывная функция (функционал), заданная на замкнутом, ограниченном множестве, которое в классическом анализе называется компактом, достигает на нём своих точных верхней и нижней граней. Однако рассмотрим в пространстве множество всех функций . Это замкнутое ограниченное множество, на котором определим функционал . Покажем, что он непрерывен. Пусть , причём сходимость равномерная по теореме Кантора. Тогда по свойству равномерно сходящихся последовательностей , то есть функционал непрерывен. Ясно, что . Более того, для любой непрерывной функции, соединяющей точки и функционал . Рассмотрим непрерывную функцию . тогда , то есть , но он не достижим. Однако, доказательство теоремы Вейерштрасса опирается на теорему Больцано Вейерштрасса. Надо хотя бы отгородиться от этих неприятностей.

 

Определение 1. Пусть метрическое пространство. Множество называется компактом, если из любой последовательности можно выделить подпоследовательность, .

Определение 2. Если замыкание множества компакт, то множество называется предкомпактом (то есть подпоследовательность сходится к элементу из замыкания).

Комментарий. Компракт и предкомпакт называют компактными множествами. Ясно, что компакт подпространство полного метрического пространства или само полное метрическое пространство. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, множество компакт, так как из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но всё пространство с метрикой не компактно, так как из последовательности сходящуюся подпоследовательность выделить нельзя. По тем же соображением пространство не компактно, хотя любое его замкнутое ограниченное подмножество уже компакт. Пространства и не компактны. Более того, ранее мы показали, что в них существуют замкнутые, ограниченные множества, не являющиеся компактами.

Теорема 1. В любом метрическом пространстве если множество компакт, то множество замкнуто и ограничено.

Пусть произвольная последовательность сходится к . Так как множество компакт, то из последовательности можно выделить подпоследовательность . Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности, то есть . Ограниченность очевидна.

Комментарий. В полном метрическом пространстве счётное пересечение замкнутых, вложенных шаров, радиусы которых не стремятся к нулю, может быть пустым. Для компактов это невозможно.

Теорема 2 (Кантора опересечении замкнутых, вложенных шаров).

Пусть последовательность непустых компактных множеств, вложенных друг в друга, то есть . Тогда

не пусто.

Выберем в шаре точку , в шаре точку и так далее. Ясно, что последовательность , а так как компакт, то из последовательности можно выделить подпоследовательность , все члены которой, начиная с некоторого номера, попадет в какой-то шар , и , так как шар замкнут. Но тогда .

 

Определение 3. M и подмножества метрического пространства X. Множество называется сетью (скелетом) для множества M, если и

 

Определение 4. Множество вполне ограничено (полностью ограничено), если оно имеет конечную сеть (“конечный скелет”).

Теорема 3. Вполне ограниченное множество метрического пространства ограничено.

Пусть М - вполне ограниченное множество метрического пространства Х, его конечная сеть, произвольная точка, а некоторая фиксированная точка. Тогда, используя неравенство треугольника, получим Это неравенство и означает ограниченность множества М, так как просто конечный набор чисел.

Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно.

1. Рассмотрим в пространстве с метрикой любую последовательность, составленную из нулей и единиц. Она ограничена, но не вполне ограничена, так как расстояние между любыми парами элементов равно единице и при её нельзя накрыть конечной сетью.

2. Рассмотрим в пространстве с метрикой единичную сферу , то есть все последовательности вида . Все образуют ограниченное, но не вполне ограниченное множество, так как , то есть, например, при его нельзя накрыть конечной сетью.

Теорема 4. Компактное метрическое пространство Х сепарабельно.

Возьмём последовательность Так как пространство Х вполне ограничено, то для каждого существует конечная сеть Тогда объединение является счётным и всюду плотным в Х множеством. А это и означает сепарабельность пространства Х.

 

Теорема 5 (критерий Фреше – Хаусдорфа). Пусть –полное метрическое пространство, а . Множество компактно, если и только если вполне ограничено в .

Необходимость. Пусть множество компакт. Покажем полную ограниченность множества . Зафиксируем , выберем произвольную точку и построим открытый шар . Может случиться так, что . Это означает, что точка образует конечную сеть для множества , состоящую из одного элемента, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если теперь , то точки и образуют конечную сеть для , состоящую из двух элементов, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если процесс закончится, то конечная сеть построена, а если нет, то не фундаментальна, так как , то есть не сходится, что противоречит определению компакта.

Достаточность. Пусть – вполне ограниченное множество в полномметрическом пространстве . Покажем, что компактно. Так как полностью ограниченно, то для любого в метрическом пространстве существует конечная сеть для множества , то есть существует конечное покрытие элементов из открытыми шарами радиуса . Пусть произвольная последовательность элементов из . Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, существует хоть один шар, содержащий бесконечное число членов последовательности , то есть содержащий подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше . Пусть Выделим из последовательности подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше . Из этой подпоследовательности выделим подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше и т.д. Таким образом, мы получили последовательность подпоследовательностей . Тогда члены “диагональной“ последовательности , начиная с некоторого номера принадлежат той подпоследовательности, то есть . То есть последовательность фундаментальна, а так как пространство полное, то , то есть компакт или предкомпакт.

 

Определение 5. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество.

 

Комментарий. Итак, в полном метрическом пространстве полная ограниченность и компактность суть равносильные понятия. Заметим, что в всякое замкнутое ограниченное множество компактно, всякое компактное множество замкнуто и ограниченно.