Схема построения интеграла Лебега

(На множестве конечной меры)

Разбиение области интегрирования осуществляется по признаку близости значений интегрируемой функции.

1. Рассматриваются простые измеримые функции ,то есть функции, принимающие не более чем счетное число значений , где при . Для таких функций под интегралом по множеству понимается сумма или ряд (при условии абсолютной сходимости) , где меры тех отрезков, на которых функция принимает значения . То есть .

2. Множество значений простых функций,можно рассматривать, как метрическое пространство с метрикой . Но значений не более, чем счётное число, то есть это множество первой категории, следовательно, пространство значений не полное. Пополнение этого пространства осуществляется по схеме доказательства теоремы Хаусдорфа о пополнении метрического пространства.

 

4. Из элементов данного неполного метрического пространствастроится полное пространство, где в качестве классов эквивалентности, объявляется множество всех почти всюду равных простых измеримых функций, почти всюду (или равномерно) сходящихся к функции . Таким образом мы получили новое фактор множество , элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей представителями которых являются фундаментальные последовательности пространства . Если фундаментальная последовательность сходится к точке , то и эквивалентная ей последовательность сходится к той же точке. Сходимость влечёт за собой существование предела , который и объявляется интегралом Лебега .

 

Конструкция интеграла Лебега

Пусть измеримое множество, на котором задана ограниченная и измеримая функция (функционал) .

1. Обозначив , а , назовём разбиением произвольное множество точек .
2. Пусть , а диаметр разбиения при фиксированном . При изменении или при выборе других точек разбиения диаметр разбиения будет меняться.
3. разбиение называется нормальным, если .
4. Лебеговым разбиением множества называется кортеж , где , а , если . Здесь .
5. Пусть произвольная точка элемента кортежа . Составим сумму интегральную сумму Лебега.
6. Число , если оно существует, называется определённым интегралом Лебега от ограниченной и измеримой функции , заданной на измеримом множестве , если для любой нормальной последовательности разбиений, любого выбора точек и и и .

 

Комментарий. Определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана, но только интегральные суммы составляются разбиением не области определения, а множества значений функции. Если у вас есть несколько конвертов денег, то пересчитать их можно или посчитав деньги в каждом конверте (метод Римана) или выложить их из конвертов и сгруппировать по купюрам (метод Лебега). Отсюда ясно, что функция, интегрируемая по Риману, будет интегрироваться и по Лебегу и интегралы будут совпадать. Обратное, вообще говоря, неверно. Для существования интеграла Римана необходимо и достаточно (теорема Дюбуа Раймона), чтобы множество точек конечного разрыва имело меру ноль. По Лебегу можно интегрировать и всюду разрывные функции. Например, функция Дирихле разрывна во всех иррациональных точках, то есть множество точек разрыва имеет меру один. Она не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу: . Для интеграла Лебега имеют место свойства, совпадающие с соответствующими свойствами интеграла Римана с точностью до формулировок.

Примеры.

1. Взять интеграл Лебега , если

2. Взять интеграл Лебега ,

3. Взять интеграл Лебега , если

4. Взять интеграл Лебега , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка.

5. Взять интеграл Лебега , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка.

6. Взять интеграл Лебега , , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка, а - неизмеримое множество.

7. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл Лебега от функции

на множестве , полученном удалением из отрезка интервалов .

Это множество есть объединение множества меры ноль, состоящего из точек 0 и 1, и сегментов , на каждом из которых функция интегрируема по Риману.

8. Взять интеграл Лебега , . Функция неотрицательна и непрерывна на своей области определения, то есть интеграл Лебега существует, если и только если существует соответствующий интеграл Римана. .