Доказательство существования.

Теперь ясно, что если последовательности и фундаментальные, то при Тогда согласно лемме о четырёх точках имеем при То есть числовая последовательность фундаментальна и, следовательно, и сходится в полном пространстве .

Независимость от выбора представителей.

Пусть другие представители последовательностей . Тогда Так как последовательности и конфинальны, то и

Проверим выполнение аксиом метрики.

1. По свойствам пределов, связанных с неравенствами, если все члены последовательности , то и .

2. Симметричность очевидна.

3. Докажем аксиому треугольника. Так как , то, по свойствам пределов, связанных с неравенствами и непрерывности метрики сразу получаем что и третья аксиома справедлива. Таким образом, пространство метрическое.

3. Покажем, что метрическое пространство и есть пополнение метрического пространства . То есть надо показать, что: метрическое пространство всюду плотно в метрическом пространстве и эти пространства изомерны.

3.1. метрическое пространство всюду плотно в метрическом пространстве

Рассмотрим множество всех стационарных последовательностей пространства . Все они одновременно являются и стационарными последовательностями в пространстве , то есть образуют подмножество элементами которого являются стационарные последовательности. Обратное неверно. Таким образом, . Но любая стационарная последовательность из пространства принадлежит классу конфинальных последовательностей из пространства , то есть . Это значит, что пространство изомерно вложено в пространство . Осталось показать, что пространство и, соответственно, пространство всюду плотно в пространстве . То есть каждый элемент есть точка прикосновения множества (и, соответственно, пространство ). Или в любой окрестности точки найдётся точка . Пусть фундаментальная последовательность, то есть при Зафиксировав , получим, что стационарная последовательность. Расстояние между точками и в этом случае: Это значит, что в любой окрестности точки найдётся точка , то есть пространство и, следовательно, пространство всюдуплотно в .

3.2. Метрическое пространство полно.

Рассмотрим некоторую фундаментальную последовательность . Так как пространство всюдуплотно в , то для каждого номера n найдётся элемент такой, что . Тогда из неравенства треугольника , то есть последовательность фундаментальна и существует класс эквивалентности , куда сходится последовательность . Но тогда и пределы существуют в силу полноты пространства , то есть , . Таким образом, метрическое пространство полно.

3.3. Метрическое пространство является единственным с точностью до изоморфизма пополнением метрического пространства .

. Пусть и два различных пополнения метрического пространства и произвольная точка. Тогда . Но, с другой стороны, , причём , а .

Понятие меры

Как найти площадь Восстания?

Малограмотный человек скажет,

что нужно длину Восстания умножить на его ширину.

грамотный человек скажет,

что нужно взять интеграл по поверхности,

а математик скажет,

что сначала нужно понять структуру этой поверхности.

 

 

Комментарий. Понятие меры есть естественное обобщение понятий длины, площади, объёма и их приложений. Рассмотрим античный способ измерения площади метод палеток. Пусть ограниченная плоская фигура, которую без ограничения общности можно считать целиком принадлежащей квадрату на плоскости.

Разобьем этот квадрат на квадратов (палеток) и обозначим через множество тех квадратов, которые целиком содержатся в множестве , а через – множество тех квадратов, каждый из которых пересекается с . Ясно, что . Обозначим через и площади соответствующих множеств квадратов. Тогда при возрастании множества возрастают, а множества убывают, то есть

.

Последовательность не убывает и ограничена сверху, а последовательность не возрастает и ограничена снизу. Поэтому эти последовательности имеют пределы , и , которые называются соответственно внутренней и внешней мерой Жордана множества . Если они совпадают, то есть , то называется мерой Жордана множества , а фигура называется измеримой (квадрируемой).Аналогично строится мера Жордана множества и для . Длина, площадь, объём обладают естественными свойствами, которые, как всегда, примем за аксиомы.

 

Определение 1. Под мерой будем понимать функцию, заданную на множестве всех измеримых фигур, обладающую следующими свойствами:

1. .

2. Мера суммы конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств равна сумме их мер: .

3 При перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.

4. Мера единичного квадрата(отрезка, куба) равна единице.

Комментарий. Примеризмеримого, но очень специфического множества даёт канторов дисконтинуум. Это подмножество отрезка числовой оси, состоящее из всех чисел вида , где равно 0 или 2, которое получается следующим образом. Отрезок делится на три части и затем выбрасывается средняя часть . Оставшиеся отрезки вновь делим на три части и выбрасываем средние части . И так далее. Это называют процедурой Кантора.

Ясно, что множество тех сегментов, которые целиком содержатся в канторовом дисконтинууме пусто. Множество же тех сегментов, каждый из которых пересекается с отрезком образует последовательность , которая стремится к нулю. Таким образом, мера Жордана канторова дисконтинуума равна нулю.

Не все множества измеримы по Жордану. Опять применим процедуру Кантора к отрезку и удалим из него интервал с длиной, меньшей, чем . Затем из каждого из получившихся двух сегментов удалим интервалы с общей длиной, меньшей, чем , и так далее. В результате общая длина удалённых частей , то есть то, что осталось, имеет длину , тогда как фигура не содержит никакого отрезка, то есть . Стало быть, фигура не измерима по Жордану.

Ещё один важный пример. Рассмотрим множество рациональных чисел сегмента . Это множество плотно на сегменте . То есть между любыми двумя точками сегмента найдутся как рациональные числа, так и иррациональные. Разделим сегмент на две части, затем на четыре части и т. д. Множество тех сегментов, которые целиком содержатся во множестве рациональных чисел пусто и его мера равна нулю. Множество же тех сегментов, каждый из которых пересекается с отрезком просто состоит из этих сегментов, то есть их объединение и составляет отрезок , мера которого по определению равна единице. То есть множество рациональных чисел неизмеримо по Жордану. Абсолютно такие же рассуждения приводят к тому, что множество иррациональных чисел тоже неизмеримо по Жордану. Получается, что отрезок , мера которого равна единице, состоит из неизмеримых множеств.

Кроме того, мера Жордана не обладает счётной аддитивностью (счётной аддитивностью), то есть объединение счётного числа непересекающихся измеримых множеств может и не быть измеримым множеством. Например, точка измерима по Жордану и мера её ноль, но счётное множество точек множество рациональных чисел неизмеримо по Жордану. Таким образом, не выполняется свойство 2 определения меры.

Таким образом, возникает задача по крайней мере расширить число измеримых множеств.

Понятие меры Лебега

Пусть множество ограниченная плоская фигура, которую без ограничения общности можно считать целиком принадлежащей квадрату на плоскости. Алгоритм введения меры Лебега выглядит таким образом:

1. По определению будем считать, что мера прямоугольника , . Назовём элементарным плоским множеством (ступенчатой фигурой) такое множество которое можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся прямоугольников.

2. Полагаем, что если множество , то . Для прямоугольников можно доказать, а для других элементарных множеств постулируется аддитивность.

3. Покрытием множества называется такая совокупность множеств , что .

4. Внешняя мера определяется так: , где инфинум берётся по всем возможным покрытиям множества конечной или счётной совокупностью прямоугольников или других элементарных множеств.

5. Определим некоторое множество как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников или других элементарных множеств, то есть это измеримое элементарное множество.

6. Множество измеримо по Лебегу, если . Здесь дизъюнктивная сумма множеств и . Внешняя мера , определённая только на измеримых множествах, называется мерой Лебега множества .

Теорема 4 (Лебега о аддитивности меры). Пусть попарно непересекающаяся совокупность измеримых множеств, то есть если и . Тогда .

(Стало быть, совокупность измеримых множеств замкнута относительно операции счётного объединения, а мера аддитивна.)

Если и , то . (Непрерывность аддитивной меры.) Без доказательства.

Комментарий.

1. Пусть некоторое множество, множество всех подмножеств множества . Непустое подмножество кольцо, если оно замкнуто относительно операций объединения, пересечения и разности, а следовательно и симметрической разности; алгебра если подмножество включает в себя множество ; алгебра еслиалгебра замкнута относительно операций счётного объединения. Таким образом, совокупность измеримых множеств образуют алгебру, на которой мера аддитивна.

2. Таким образом, исходное множество заменяется со сколь угодно большой степенью точности множеством и теперь уже не важно, как определить меру множества или как внешнюю меру по всем покрытиям, или как конечную сумму мер прямоугольников, из которых состоят элементарные множества. Через покрытия удобнее, так как не надо искать способ представления множества .

3. При построении меры по Жордану множество “зажималось” системой прямоугольников, внутренних и внешних, и если , то множество измеримо. Определив функцию , мы получим полуметрику, так как разные системы прямоугольников могут покрывать одну и ту же фигуру, то есть при разных и . Если отождествить те и , при которых , то это уже метрика. Фактор-множество по отношению эквивалентности образует метрическое пространство. Но это неполное метрическое пространство. Его пополнение и приводит к мере Лебега.

Определение 1. Множество имеет лебегову меру ноль, если можно указать последовательность открытых параллелепипедов , такую, что и .

Пример 1. Меру ноль имеет любое дискретное множество, любое конечное или счётное множество, например, множество рациональных чисел (как объединение конечного или счётного числа точек, имеющих меру ноль). Пронумеруем множество рациональных чисел и вокруг любого числа рассмотрим интервал . Его мера (длина) , а .

Переходя к дополнениям, получим, что мерой множества иррациональных чисел на отрезке будет длина отрезка.

Множество рациональных чисел стало измеримым, имеет лебегову меру ноль, но это всюду плотное множество I категории. Может ли несчётное множество иметь меру ноль?

 

Пример 2. Покажем, что канторов дисконтинуум есть замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество лебеговой меры ноль и мощности континуума.

1. Замкнутость. Канторов дисконтинуум есть пересечение замкнутых отрезков, оставшихся на ном шаге процедуры с отрезком , то есть , а это замкнутое множество.

2. Совершенство. По процедуре, мы никогда не выбрасываем два смежных интервала, то есть в множестве нет изолированных точек.

3. Нигде не плотность. Возьмём произвольный интервал и покажем, что , не содержащий точек множества . В самом деле: или на ном шаге процедуры интервал уже не содержит точек множества , или на следующем шаге мы выбрасываем из него треть, а это и есть тот самый интервал , не содержащий точек множества .

4. Мера ноль. Сумма длин выброшенных интервалов , то есть то, что осталось имеет меру ноль.

5. Мощность континуума. Процедура Кантора подразумевает деление соответствующего отрезка на каждом шаге на три равные части, то есть любое число есть троичная дробь, каждая цифра которой 0, 1 или 2. Но множество устроено так, что цифра запрещена, то есть это фактически двоичная дробь. Ранее была установлена биекция между точками отрезка и действительными числами, записанными в любой системе счисления. А отрезок имеет мощность континуума.

 

Комментарий. Канторов дисконтинуум не имеет внутренних точек, так как если точка внутренняя, то существует окрестность точки , целиком принадлежащая множеству , то есть . Но тогда мера , и . Процедура Кантора позволяет строить на отрезкезамкнутые, совершенные, нигде не плотные множества мощности континуума и произвольной лебеговой меры, меньшей, чем длина отрезка.

Пример 3. Построим на отрезке замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество мощности континуума и с заданной мерой .

Удалим из отрезка интервал длины с центром в середине отрезка. Далее из двух образовавшихся отрезков удалим по равному интервалу суммарной длины с центрами в их серединах, и так далее. Объединение удалённых интервалов открытое множество, тогда множество множество замкнутое. . Мера оставшегося множества .

Понятие измеримой функции

Определение 1. Если какое либо утверждение верно для любой точки множества за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру ноль, то говорят, что это утверждение верно почти всюду.

Определение 2. Две функции и , заданные на одном и том же множестве , называются эквивалентными ,или если .

Пример 1. Функция Дирихле Так как множество рациональных чисел имеет меру ноль, то или .

Определение 3. Пусть некоторое множество, множество всех подмножеств множества , а алгебра. Вещественная функция называется измеримой, если при любом конечном множество (то есть множество тех , для которых ), принадлежит алгебре , то есть измеримо.

Пример 2. Пусть . Тогда , , .