Маневры и балансировочные режимы, принципы сравнения и выявления подобия

Т

еперь вернемся к замкнутым системам. Устойчиво управляемая система может находится либо в балансировочном режиме, либо в режиме маневра. Один и тот же, реально протекающий режим может быть интерпретирован как балансировочный, если исходить из одного вектора целей, и как режим маневра, если исходить из другого вектора целей.

В векторе целей балансировочного режима контрольные параметры неизменны во времени. В реальном устойчивом балансировочном режиме вектор состояния колеблется относительно неизменного положения в подпространстве контрольных параметров, а свободные параметры могут при этом изменяться по-всякому.

Понятие “балансировочный режим” несколько сродни понятию “равновесие”, но шире его, поскольку обыденное сознание воспринимает “равновесие” как неподвижную неизменность во времени. В балансировочном же режиме во времени неизменен процесс колебаний системы относительно точки “равновесия”: система проходит через неё, но не может пребывать в ней, хотя бы потому, что отклонения от неё — ниже порога чувствительности средств измерения или управление негибко, и обладает конечным быстродействием, и не может вовремя остановиться. Последнее поясним.

Понятие об отрицательных обратных связях отражает факт построения системы управления объектом таким образом, что обнаружение системой управления отклонений объекта от идеального режима, предписанного вектором целей, вызывает появление управляющего воздействия, направленного в сторону возвращения объекта к идеальному режиму. Если идеальный режим — неизменность во времени вектора целей, в который собраны контрольные параметры, то по причине конечного быстродействия системы управления воздействие её, компенсирующее отклонение, с какого-то момента времени само становится возмущающим и объект проходит точку идеала. Так система управления сама раскачивает объект относительного идеального режима вектора целей. Лучше всего это видно в устойчивых балансировочных режимах. В неустойчивых балансировочных режимах амплитуда колебаний либо выше допустимой, либо нарастает от колебаний к колебанию даже при отрицательных обратных связях. При положительных обратных связях управление помогает возмущению с момента его возникновения увести объект от положения идеального равновесия в сторону возмущения. Сам принцип отрицательных обратных связей по контрольным параметрам в теории и практике управления важен, но он — частность.

В векторе целей режима маневра изменяется хотя бы один из параметров. В реальном процессе устойчивого маневра вектор состояния в подпространстве контрольных параметров отслеживает с некоторой ошибкой управления изменение вектора целей (содержащего только контрольные параметры). На свободные параметры, как и в случае балансировочного режима, ограничения не накладываются. Режим маневрирования, в котором производные по времени контрольных изменяющихся параметров постоянны (в пределах допустимой ошибки управления), называется установившимся маневром. Установившийся маневр сам является балансировочным режимом, из вектора целей которого исключены изменяющиеся в процессе маневра контрольные параметры.

Если идти от реально протекающего процесса управления и строить по предположению вектор целей субъекта, реально управляющего процессом (это называется “идентификация” вектора целей), то один и тот же режим можно интерпретировать в качестве балансировочного режима или устойчивого колебательного маневра, отнеся к вектору целей только параметры, колеблющиеся относительно средних значений и в зависимости от ограничений на ошибки управления; и в качестве режима маневра, отнеся к вектору целей хотя бы один из произвольно меняющихся параметров.

Точно также один и тот же режим можно воспринимать как устойчивый, исходя из одних ограничений на вектор ошибки; и как неустойчивый, исходя из более строгих ограничений на вектор ошибки; в этом предложении хорошо видно проявление возможности двоякого понимания устойчивости: по ограниченности и убыванию отклонений и по предсказуемости.

Простейший пример балансировочного режима — езда на автомобиле по прямой дороге с постоянной скоростью. Все стрелочки на приборной панели, кроме расхода бензина, подрагивают около установившихся положений; но рулем все же “шевелить” надо, поскольку неровности дороги, боковой ветер, разное давление в шинах, люфты в подвесках и рулевом приводе норовят увести автомобиль в сторону.

Маневры в свою очередь разделяются на слабые и сильные. Это разделение не отражает эффективности маневра. Понятие слабого маневра связано с балансировочными режимами. Перевод системы из одного балансировочного режима в другой балансировочный режим — это один из видов маневра. Некоторые замкнутые системы обладают таким свойством, что, если этот перевод осуществлять достаточно медленно, то вектор состояния системы в процессе маневра не будет сильно отличаться от вектора состояния в исходном и (или) конечном балансировочном режиме за исключением изменяющихся в ходе маневра контрольных параметров и некоторых свободных параметров, информационно связанных с контрольными.

Если на корабле положить руль на борт на 3 — 4 градуса, то он начнет описывать круг очень большого диаметра и произойдет изменение курса. Если это делается вне видимости берегов и в пасмурную погоду, то большинство пассажиров даже не заметят маневра изменения курса. Если же на полном ходу быстроходного корабля (узлов 25 — 30) резко положить руль на борт градусов на 20 — 30, то палуба в процессе перекладки руля дернется под ногами в сторону обратную направлению перекладки руля; потом начнется вполне ощутимое вестибулярным аппаратом человека изменение курса, сопровождающееся вполне видимым креном до 10 и более градусов. Хотя в обоих случаях изменение курса может быть одинаковым, гидродинамические характеристики корабля в первом случае слабого маневра не будут сильно отличаться от режима прямолинейного движения; во втором случае, когда корабль начнет входить в циркуляцию диаметром не более 4 — 5 длин корпуса, будет падать скорость хода и появится крен, общая картина обтекания корпуса и гидродинамические характеристики будут качественно отличаться от бывших при прямолинейном движении или слабых маневрах.

Разделение маневров на сильные и слабые в ряде случаев позволяет существенно упростить моделирование поведения замкнутой системы в процессе слабого маневрирования без потери качества результатов моделирования. Поскольку выбор меры качества всегда субъективен, то и разделение маневров на сильные и слабые определяется субъективизмом в оценке качества моделирования и управления. Но, если такое разделение возможно, то слабому маневру можно подыскать аналогичный ему (в ранее указанном смысле) балансировочный режим.

Для физически однокачественных процессов разделение маневров на сильные и слабые основано на моделировании в безразмерном времени. Поскольку понятие о времени и его измерение связано с выбором эталонной частоты, то в качестве эталонных частот могут быть взяты и собственные частоты колебаний объектов управления, замкнутых систем, процессов взаимодействия замкнутых систем и окружающей среды. Это приводит к понятию динамических подобных (частично или полностью) объектов, систем и процессов, для которых процессы (балансировочные режим и маневры), отнесенные ко времени, основанном на сходственных собственных частотах, в некотором смысле идентичны. Подробно это рассматривает теория подобия, являющаяся разделом многих частных отраслей знания. Некоторая идентичность связана с тем, что подобие может осуществляться на разных физических носителях информационных процессов (управления), разных уподоблениях друг другу параметров подобных систем.

Уподобление — обезразмеривание, лишение реальных физических и информационных параметров их размерности (метров, килограммов, секунд и т. п.) отнесением их к каким-либо значениям характеристик замкнутой системы и среды, обладающим той же размерностью (метрами, килограммам и т. п.). В результате появляются безразмерные единицы измерения сходственных в некотором смысле параметров у сравниваемых объектов, одинаково характерные для них. Это свойство общевселенской меры лежит в основе моделирования на одних физических носителях процессов, реально протекающих на других физических носителях (аналоговые вычислительные машины); и в основе информационного (чисто теоретического) моделирования, в котором важна информационная модель, а её физический носитель интереса вообще не представляет (любой алгоритм, предписывающий последовательность действий независим по существу от его материального носителя: бумага, дискета, древний ”Минск-32”, IBM-PC или суперкомпьютер, человек).

Анализ течения подобного моделирующего процесса может протекать в более высокочастотном диапазоне, чем течение реального подобного моделируемого процесса: это дает возможность заглянуть в будущие варианты развития моделируемого процесса, что является основой решения задач управления. Примеры такого рода моделирования — все аэродинамические и прочностные эксперименты и расчеты в авиации, судостроении и космонавтике. Моделирование высокочастотного процесса в низкочастотном диапазоне позволяет отследить причинно-следственные связи, которые обычно ускользают от наблюдателя при взгляде на скоротечный реальный процесс. Примером такого рода является скоростная и сверхскоростная киносъемка и замедленная (по сравнению с реальностью) проекция ленты, что позволяет решать многие технические и биологические (медицинские) проблемы.

Понятие сильных и слабых маневров для подобных объектов и замкнутых систем связано с различением маневров в безразмерных единицах времени. Подобными могут быть и физически разнокачественные процессы, например, описываемые одной и той же математической моделью. Но для физически однокачественных процессов, отличающихся размерными характеристиками, области реальных параметров сильных и слабых маневров будут различны. Об этом всегда необходимо помнить имея дело с реальными однокачественными замкнутыми системами, различающимися своими размерными характеристиками.

3.12. Маневры и теория катастроф

З

амкнутая система может иметь один и более устойчивых балансировочных режимов, принадлежащих к счетному или несчетному множеству. Перевод замкнутой системы из одного балансировочного режима и другой — наиболее часто встречающийся вид маневра. Маневр обычно имеет смысл, если конечный для него балансировочный режим — устойчивый режим для данной замкнутой системы. В пространстве параметров, описывающих замкнутую систему, маневр — траектория перехода от одной точки (начальный вектор состояния) к другой точке (конечный вектор состояния). Маневр — безусловно устойчив, если возмущающее воздействие, в его ходе воспринимаемое замкнутой системой, не выведет траекторию в пространстве параметров из некоего коридора допустимых отклонений от идеальной траектории. По отношению к маневру вектор целей — функция времени, т. е. идеальная траектория и хронологический график прохождения контрольных точек на ней. Множество допустимых векторов ошибки — коридор допустимых отклонений от идеальной траектории с учетом отклонений по времени в прохождении контрольных точек на идеальной траектории.

Маневр может быть и условно устойчивым, то есть замкнутую систему удается перевести в конечное состояние с приемлемой точностью, но возмущающие воздействия (в том числе конфликтное управление) в процессе маневра плохо предсказуемы до его начала; вследствие этого траектория перехода должна корректироваться в ходе маневра с учетом реальных отклонений. Маневр может быть завершен при условии, что в течение перехода возмущающие воздействия не превысят компенсационных возможностей замкнутой системы. Это же касается ситуации конфликтного управления одним объектом со стороны нескольких субъектов.

Примером такого рода условно устойчивого маневра является любое плавание эпохи парусного флота “из пункта А в пункт Б”: доплыть — шансы есть, но об аварийности, сроках и маршруте можно говорить только в вероятностном смысле о будущем и в статистическом смысле — о прошлом. Политика также дает массу примеров такого рода маневров.

То есть безусловно устойчивый маневр имеет вероятность успешного завершения, обусловленную возмущающими воздействиями на замкнутую систему в его ходе, равную единице, которая однако может быть сведена к нулевой вероятностной предопределенности низкой квалификацией управленцев[37]. Вероятность приемлемого завершения условно устойчивого маневра подчинена объективно вероятностным предопределенностям возмущающего воздействия, характеристикам объекта, а субъективно — высокая квалификация субъекта-управленца может вытянуть до единичной предопределенности низкую вероятность осуществления условно устойчивого маневра. В этой формулировке под “возмущающим воздействием” следует понимать как внешние воздействия среды, включая и конфликтность управления, так и внутренние изменения (поломки и т. п.) в замкнутой системе. Этот пример также иллюстрирует соотношение понятий “устойчивость в смысле ограниченности отклонений” и в смысле предсказуемости поведения.

К маневрам перехода предъявляются разные требования, но наиболее часто предъявляется требование плавности, безударности, т. е. отсутствия импульсных (ударных) нагрузок на замкнутую систему в процессе её движения по идеальной траектории маневра с допустимыми отклонениями в пространстве параметров. В математической интерпретации это требование эквивалентно двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния замкнутой системы и наложению ограничений на вектора-производные (“скорость”, “ускорение”) во всем пространстве коридора допустимых отклонений на протяжении идеальной траектории. Снятие этого требования — перенос задачи управления в область приложений теории катастроф.

Теория катастроф рассматривает процессы, в которых плавное изменение параметров системы прерывается их скачкообразным изменением (предсказуемым или заранее неизвестным), после чего система оказывается в другом режиме существования или разрушается. Этот скачок теория называет “катастрофой” (далее катастрофа в кавычках — именно в этом смысле), что в большинстве случаев правильно, поскольку ударный характер нагрузки на замкнутую систему может её повредить, разрушить или быть неприемлемым по каким-то иным причинам. Сама теория “катастроф” родилась из обобщающего анализа реальных катастроф в их математическом описании. Режим, в котором оказывается система после “катастрофы”, может быть предсказуем — либо однозначно, либо в вероятностно-статистическом смысле, либо непредсказуем.

Типичный пример явлений, изучаемых теорией “катастроф”, — переход колебательного процесса из одной потенциальной ямы в другую потенциальную яму: так в шторм корабль испытывает качку относительно одного устойчиво вертикального положения. Плавное увеличение амплитудных значений крена при качке может привести к внезапному опрокидыванию корабля кверху днищем в течение интервала времени менее полупериода качки (секунды) в процессе усиления шторма, обледенения и т.п. Но и опрокинувшийся корабль может не сразу же пойти ко дну, а может еще длительное время оставаться на плаву кверху днищем, по-прежнему испытывая качку относительно своего другого, также устойчиво вертикального положения.

“Неплавная” траектория может быть проекцией вполне “плавной” траектории, лежащей в пространстве параметров большей размерности, в подпространство меньшей размерности. Область потенциально устойчивого по предсказуемости управления в пространстве параметров вектора состояния по отношению к конкретной замкнутой системе — объективная данность. В ней лежит множество объективно возможных траекторий маневров; и множество объективно невозможных. Во множестве объективно возможных траекторий можно выделить подмножество траекторий, на которых лежат точки “катастроф”. Это могут быть точки нарушения двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния; точки превышения ограничений на вектора-производные; точки изменения меры предсказуемости (например, точки ветвления траекторий в вероятностном смысле); точки на границах между двумя потенциальными ямами и т.п.

Если рассматривать сказанное по отношению к железнодорожному транспорту страны, то: область потенциально устойчивого управления — вся территория государства; множество объективно возможных маневров — существующая сеть железных дорог. Множество объективно невозможных — всё, где нет рельсов и где невозможно по техническим причинам проложить рельсы или построить стрелочные переводы для изменения направления движения. Точки катастроф — неисправные пути и стрелочные переводы, слишком крутые повороты и негабаритные места, непроходимые для некоторых видов подвижного состава и локомотивов и т.п. — то есть это реальные возможности катастроф. По отношению к каждому из видов груза железнодорожные узлы — точки ветвления их траекторий в вероятностном смысле.

Этот пример хорошо показывает соотношение всех перечисленных категорий, но сами “катастрофы” теории катастроф в нем представлены только реальными катастрофами железнодорожного транспорта. Далее, чтобы не путаться в катастрофах в кавычках и без кавычек, мгновенную потерю управления — в смысле теории “катастроф” — мы будем называть срыв управления.