Аппроксимация ортогональными классическими полиномами.

Представленные ниже полиномы, относящиеся ко многочленам Якоби, обладают свойством ортогональности в изложенном выше смысле. То есть, для достижения высокой точности вычислений рекомендуется выбирать базисные функции для аппроксимации в виде этих полиномов.

1) Полиномы Чебышева.

Определены и ортогональны на [–1, 1] с весом . В интервал ортогональности всегда можно вписать область определения исходной функции с помощью линейных преобразований.

Строятся следующим образом (рекуррентная формула):

T ₀(x) = 1;

T ₁(x) = x;

T _k+1(x) = 2 xT _k(x) – T _k–1(x).

 

2) Полиномы Лежандра.

Определены и ортогональны на [–1, 1] с весом .

Строятся следующим образом (рекуррентная формула):

L ₀(x) = 1;

L ₁(x) = x;

.

 

Сглаживание и линейная регрессия.

Рассмотрим несколько наиболее простых с точки зрения программной реализации случаев аппроксимации (сглаживания).

1) Линейная регрессия.

В случае линейного варианта МНК (линейная регрессия) φ (x) = a + bx можно сразу получить значения коэффициентов a и b по следующим формулам:

,

,

где , .

2) Линейное сглаживание по трём точкам.

 

3) Линейное сглаживание по пяти точкам.

 

Решение нелинейных уравнений с одним неизвестным.

Общие сведения о численном решении уравнений с одним неизвестным.

Пусть задана непрерывная функция f (x). Требуется найти корни уравнения f (x) = 0 численными методами – это и является постановкой задачи. Численное решение уравнения распадается на несколько подзадач:

1) Анализ количества, характера и расположения корней (обычно путем построения графика функции или исходя из физического смысла исследуемой модели). Здесь возможны следующие варианты:

• единственный корень;
• бесконечное множество решений;
• корней нет;
• имеется несколько решений, как действительных, так и мнимых (например, для полинома степени n). Корни четной кратности выявить сложно.

2) Локализация корней (разбиение на интервалы) и выбор начального приближения к каждому корню. В простейшем случае можно протабулировать функцию с заданным шагом.

Если в двух соседних узлах функция будет иметь разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере один).

3) Вычисление каждого (или интересующего нас) корня уравнения с требуемой точностью. Уточнение происходит с помощью методов, изложенных ниже.

Метод дихотомии (бисекций).

Иначе называется методом половинного деления. Пусть задан начальный интервал [ x ₀, x ₁], на котором f (x ₀) f (x ₁) ≤ 0 (т.е. внутри имеется не менее чем один корень). Найдем x ₂ = ½ (x ₀ + x ₁) и вычислим f (x ₂). Если f (x ₀) f (x ₂) ≤ 0, используем для дальнейшего деления отрезок [ x ₀, x ₂], если > 0 – используем для дальнейшего деления отрезок [ x ₁, x ₂], и продолжаем деление пополам.

Итерации продолжаются, пока длина отрезка не станет меньше 2ξ ­– заданной точности. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В качестве иного критерия можно взять | f (x)| ≤ ξ_y.

Скорость сходимости метода невелика, однако он прост и надежен. Метод неприменим к корням четной кратности. Если на отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс.

Если на заданном интервале предполагается несколько корней, то существует возможность последовательно исключать найденные корни из рассмотрения. Для этого воспользуемся вспомогательной функцией , где – только что найденный корень. Для функций f (x) и g (x) совпадают все корни, за исключением (в этой точке полюс функции g (x)). Для достижения требуемой точности рекомендуется грубо приблизиться к корню по функции g (x), а затем уточнить его, используя f (x).

Метод хорд.

Идея метода проиллюстрирована рисунком. Задается интервал [ x ₀, x ₁], на котором f (x ₀) f (x ₁) ≤ 0, между точками x ₀ и x ₁ строится хорда, стягивающая f (x). Очередное приближение берется в точке x ₂, где хорда пересекает ось абсцисс. В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Условия выхода из итерационного цикла: или

| f (x)| ≤ ξ _y.

Для вывода итерационной формулы процесса найдем точку пересечения хорды (описываемой уравнением прямой) с осью абсцисс: ax ₂ + b = 0, где ; b = f (x ₀) ­­– ax ₀.

Отсюда легко выразить .

Метод хорд в большинстве случаев работает быстрее, чем метод дихотомии. Недостатки метода те же, что и в предыдущем случае.