Неперервні випадкові величини – НВВ. Означення інтегральної функції розподілу та доведення її властивостей.

ВВ називається неперервною (НВВ), якщо її інтегральна функція неперервна. ВВ називається дискретною (ДВВ), якщо її інтегральна функція розривна (кусочно – стала).

Інтегральною функцією розподілу F(X) ВВ X називається імовірність того, що ВВ прийме значення, менше від числа x, тобто

1. Значення функції належать проміжку [0.1], тобто ,причому

Доведення:

2. Функція є неспадною, тобто

Доведення:

 

Наслідок (основна формула теорії ймовірностей):

.

3.Імовірність того, що НВВ Х прийме деяке окреме значення дорівнює нулю, тобто P(X=x1)=0

Доведення:

 

Наслідок. Для НВВ справедливі рівності:

Означення диференціальної функції розподілу (щільності розподілу імовірностей) та доведення її властивостей.

Щільністю розподілу ймовірностей (або диференціальною функцією розподілу) називається похідна (якщо вона існує) від інтегральної функції розподілу:

ВЛАСТИВОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ФУНКЦІЇ.

 

1. Щільність розподілу імовірностей – невід’ємна функція, тобто .

Доведення:

 

2.Теорема. (основна формула теорії імовірностей). Імовірність того, що НВВ X прийме значення із деякого проміжка (a;b) знаходиться за формулою:

2. Інтегральна функція розподілу та диференціальна (щільність розподілу імовірностей) є еквівалентними узагальненими характеристиками НВВ, які пов’язані співвідношенням:

Доведення:

 

 

3. Умова нормування закону розподілу НВВ має вигляд:

Доведення:

 

12. Закон рівномірного розподілу, або рівномірний закон. Інтегральна функція розподілу імовірностей для рівномірного розподілу ймовірностей. Математичне сподівання та дисперсія для рівномірного закону.

НВВ X називається рівномірно розподіленою на проміжку [a,b], якщо її щільність розподілу імовірностей стала на цьому проміжку, а поза цим проміжком дорівнює нулю, тобто

Графік:

 

 

Закон показникового розподілу, або показниковий закон. Інтегральна функція розподілу ймовірностей для показникового закону. Математичне сподівання та дисперсія для показникового закону.

НВВ X називається розподіленою за показниковим законом з параметром , якщо її щільність розподілу імовірностей має вигляд

інтегральна функція розподілу

Графіки цих функцій:

 

 

Нормальний закон розподілу. Вивести формулу для імовірністі попадання значень нормально розподіленої випадкової величини до заданого проміжку, наслідок. Правило “трьох сигм”.

НВВ X розподілена за нормальним законом з параметрами a та , якщо її щільність розподілу імовірностей має вигляд:

Скористувавшись означеннями, неважко переконатись, що числові характеристики нормально розподіленої ВВ дорівнюють:

Інтегральна:

Імовірність попадання значень нормально розподіленої ВВ X до проміжку [x1;x2] знаходиться за формулою:

Доведення:

Правило трьох сигм. Із практичною достовірністю (з імовірністю 0,9973) можна стверджувати, що значення нормально розподіленої ВВ X попадають до проміжка .

Доведення:

 

Закон великих чисел. Центральна гранична теорема. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Частинні випадки теореми Муавра-Лапласа. Нерівність Маркова. Нерівність Чебишева. Частинні випадки нерівності Чебишева. Теорема Бернуллі. Збіжність за ймовірністю. Теорема Чебишева. Закон великих чисел із уточненням Ляпунова.

Центральна гранична теорема-якщо всі ВВ однаково розподілені, то закон розподілу їх суми при необмежено наближається до нормального.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ X=m - частоти появи події A з імовірністю p в серії із n НПВ справедлива наближена формула:

,

де Ф(t) - інтегральна функція Лапласа.

Частинні випадки інтегральної теореми Муавра-Лапласа. Для частоти m та частості m/n появи події A з імовірністю p в серії із n НПВ справедливі наближені формули:

,

Якщо ВВ X приймає тільки невід’ємні значення і має фіксоване математичне сподівання M(X), то для довільного додатного числа a справедлива нерівність:

Теорема (нерівність Чебишова). Якщо довільна ВВ x має фіксовані математичне сподівання M(X) та дисперсію D(X), то для довільного додатного числа справедлива нерівність:

ЧАСТИННІ ВИПАДКИ НЕРІВНОСТІ ЧЕБИШОВА.

 

а) для біноміально розподіленої ДВВ X = m - частоти появи події A з імовірністю p в серії із n НПВ:

,або ;

б) для біноміально розподіленої ДВВ - частості (частки) появи події A в серії із n НПВ:

, або

Теорема Бернуллі Частість m/n появи події A в серії із n НПВ при збігається за імовірністю до p = P(A) - імовірності появи події у кожному окремому випробуванні:

Послідовність називається збіжною за імовірністю до величини a (сталої або випадкової), якщо для довільного як завгодно малого числа

Теорема Ляпунова. Тоді закон розподілу суми при необмежено наближається до нормального з математичним сподіванням і дисперсією