До задачі з однорідними граничними умовами.

1.Розглянемо задачу про поширення тепла в теплоізольованомустержні, на кінцях якого підтримується постійна температура і , тобто маємо рівняння у частинних похідних:

 

, (2.1)

 

крайові умови:

 

 

і початкові умови:

 

 

Труднощі цієї задачі полягають у тому, що оскільки крайові умови неоднорідні, то не можна розв’язувати її методом поділення змінних. Але очевидно, що при t розв’язок задачі наближається до стаціонарного, яке лінійно змінюється (вздовж осі OX) від температури K₁ до температури K₂. Інакше припустимо, що температуру у цій задачі можна подати у вигляді суми двох доданків: стаціонарного (граничного розв’язку для великих значень аргументу t) і перехідного, тобто частини розв’язку, яка залежить від початкових умов і зі збільшенням змінної t наближається до нуля, або

 

(2.2)

 

У цьому випадку ставиться задача знаходження перехідної температури . Припустимо, що функція задовольняє однорідним граничним умовам:

 

(2.3)

 

Підставимо (2.2) у граничні умови задачі (2.1). Враховуючи (2.3), знайдемо величини А і В. Тепер задачу (2.1) можна розв’язати відносно нової невідомої функції V(x,t) і додати її до стаціонарного розв’язку. Отже в результаті одержимо шукану функцію V(x,t). Оформлюємо задачу відносно функції V(x,t). Для цього функцію (2.2) підставимо в рівняння та у граничні та початкові умови, тоді нова задача буде:

 

 

 

 

Таким чином, одержали задачу не тільки з однорідним рівнянням, а й з однорідними граничними умовами, що дозволяє розв’язати її методом поділення змінних.

 

2. Перетворення неоднорідних граничних умов, які залежать від змінної t, в однорідні.

Розглянемо типову задачу:

 

 

(2.4)

 

Для перетворення цих граничних умов у нульові виберемо розв’язок задачі у такій формі:

 

, (2.5)

 

де функції A(t) та B(t) вибирають такими, щоб

 

(2.6)

 

задовольняло неоднорідним граничним умовам задачі (2.4). у цьому випадку функція V(x,t) буде задовольняти аналогічним, тільки однорідним, граничним умовам.

Підстановка функції S(x,t) у граничні умови

 

 

зводить до двох рівнянь, з яких можна визначити A(t) і B(t).

В результаті отримаємо

 

(2.7)

 

Отже,

 

+ (2.8)

 

Якщо підставити вираз (2.8) для U(x,t) в рівняння, граничні та початкові умови задачі (2.4), то одержимо нову задачу для невідомої функції V(x,t):

 

- неоднорідне рівняння у частинних похідних

- однорідні граничні умови

 

- початкові умови

 

Маємо нову задачу з однорідними граничними умовами, але рівняння стало неоднорідним. У цьому випадку задачу можна розв’язати методом інтегральних перетворень або скористатися розвиненням у ряд по власним функціям.

 

Зауваження:

1.Лінійні неоднорідні граничні умови загального виду

 

 

також можна перетворити в однорідні граничні умови. Очевидно, що нове рівняння, в цьому випадку, буде неоднорідним.

2.Деякі методи розв’язку задач не мають ніяких вимог до однорідності граничних умов, отже, у такому випадку, не треба їх і перетворювати в однорідні.

 

 

Метод поділення змінних. (Метод Фур’є).

Сутність методу – розклад шуканого розв’язку на добуток найпростіших компонент.

Метод поділення змінних вживається у таких випадках:

1.Рівняння лінійне й однорідне (не обов’язково з постійними коефіцієнтами).

2.Граничні умови задаються у вигляді:

 

,

 

де – константи (такі граничні умови називаються лінійними однорідними).

 

 

Загальні принципи метода поділення змінних.

Для найпростішого рівняння з частинними похідними поділення змінних – це пошук розв’язку у вигляді:

 

 

де X(x) – функція, залежна від змінної х;

T(t) – функція, залежна від змінної t.

Необхідно знайти нескінченне число таких розв’язків рівняння з частинними похідними, які задовольняють граничним умовам. Ці найпростіші функції називаються фундаментальними розв’язками.

 

Розв’язок задачі U(x,t) знаходиться у вигляді лінійної комбінації фундаментальних розв’язків тобто вислідна суми

 

 

яка задовольняє початковим умовам. І оскільки ця сума задовольняє рівнянню і граничним умовам, вона є розв’язком вихідної задачі.