Поділення змінних у задачі теплопровідності стержня з теплоізольованою бічною поверхнею.

Знайти функцію U(x,t), яка є розв’язком задачі

 

(3.1)

 

(3.2)

 

(3.3)

 

де – постійна величина.

Будемо шукати розв’язок у вигляді:

 

(3.4)

 

 

Підставимо (3.4) в рівняння (3.1), одержимо:

 

 

Поділимо обидві частини останнього рівняння на

 

 

У цьому виразі змінні поділені, тобто ліва частина рівняння залежить від t, а права – тільки від x. І оскільки x і t незалежні одне від одного, то кожна частина цього рівняння повинна бути константою. Позначимо її через k, тоді

 

 

або

 

 

Тепер можна розв’язати кожне з цих звичайних диференціальних рівнянь. Добуток відповідних розв’язків буде задовольняти вихідному рівнянню з частинними похідними.

Слід звернути увагу на ту обставину, що константа k повинна бути від’ємною (у протилежному випадку рівняння з граничними умовами X(0)=0 і X(L)=0 має тільки розв’язок X(x)=0, тобто функція T(t) повинна наближатися до нуля при t ).

 

Виходячи з цього, позначимо , де не може дорівнювати нулю, оскільки тоді розв’язок буде тривіальним. Отже вираз “- ” буде завжди від’ємним. З урахуванням нового позначення для константи маємо два звичайних диференціальних рівняння першого і другого порядків:

 

 

Ці рівняння є однорідними рівняннями стандартного типу з постійними коефіцієнтами. Їх загальні розв’язкі мають вигляд

 

 

де – довільні сталі.

Підставляючи в добуток X(x)T(t) одержані вирази і об’єднуючи сталі, одержимо функцію виду

 

, (3.5)

 

яка задовольняє рівнянню у частинних похідних. Треба підкреслити, що знайшли нескінченний набір функцій, які задовольняють вихідному рівнянню з частинними похідними.

 

 

Знаходження розв’язків, які задовольняють граничним умовам.

Таким чином, маємо безліч розв’язків вихідного рівняння, але не всі вони задовольняють граничним та початковим умовам. Треба вибрати таку підмножину розв’язків виду (3.5), яка б задовольняла граничним умовам (3.2).

Для цього підставимо розв’язок (3.5) у ті граничні умови:

 

 

Отже маємо задачу:

 

 

яка називається задачею Штурма-Ліувіля. Розв’язок цієї задачі дає В= 0 і , але , оскільки тоді ,

отож .

 

Таким чином, одержали числа, які називаються власними. Вони володіють такими властивостями:

а) множина власних значень – лічильна;

б) всі власні числа невід’ємні;

в) якщо власні значення розташувати у порядку зростання

 

,

 

то ;

г) всі власні значення задачі Штурма-Ліувіля – прості, тобто кожному власному значенню відповідає одна власна функція .

Отже маємо нескінчений набір розв’язків

 

(3.6)

 

кожен з яких задовольняє рівнянню з частинними похідними та граничним умовам. Розв’язок вихідної задачі є сума цих найпростіших функцій.

 

 

Пошук розв’язку, який задовольняє рівнянню, граничним та початковим умовам.

Треба знайти суму фундаментальних розв’язків

 

(3.7)

 

з такими коефіцієнтами C_k, щоб функція U(x,t) задовольняла початковій умові

 

(3.8)

 

Якщо підставити (3.8) у (3.7), то будемо мати

 

(3.9)

 

Вираз (3.9) є звичайним розкладом функції у ряд Фур’є. Коефіцієнти ряду знаходяться по формулі:

 

 

Таким чином, знайшли розв’язок задачі (3.1) – (3.3), який має вигляд:

 

(3.10)

 

 

Поширення тепла у стержні.

Задача. Нехай на лівому кінці стержня з теплоізольованою бічною поверхнею підтримується постійна температура, яка дорівнює 2 одиницям, а на правому кінці задана теплова течія, яка дорівнює 5. Початковий розподіл температури показаний на малюнку 4.1. Проведемо дослідження з часом зміни цього розподілу.

 

 

 

0

 

Мал. 4.1

З малюнка легко вивести аналітичну форму функції U(x,0)=f(x), яка буде

 

(4.1)

 

Процес поширення тепла у стержні описується рівнянням

 

, (4.2)

 

причому, відповідно заданому тепловому режиму на кінцях стержня

 

(4.3)

 

Таким чином, задача зводиться до розв’язку диференціального рівняння (4.2) при граничних (4.3) і початкових (4.1) умовах.

Для зручності подальших викладок перейдемо до безрозмірних величин:

 

(4.4)

 

Враховуючи, що

 

;

 

рівняння (4.2) та умови (4.1) і (4.3) перепишемо у вигляді

 

(4.5)

 

(4.6)

 

(4.7)

 

Оскільки у даній задачі граничні умови неоднорідні, то безпосередньо вживати метод поділення змінних не можна. Неоднорідні граничні умови потрібно перетворити в однорідні. Для цього будемо шукати розв’язок задачі у формі

 

(4.8)

 

де - функція, яка задовольняє однорідним граничним умовам, аналогічним (4.7);

- лінійна функція, яка задовольняє неоднорідним граничним умовам.

Підставимо (4.7) в (4.8), отримаємо

 

 

Тоді співвідношення (4.8) приймає вигляд:

 

(4.9)

 

або

 

. (4.10)

 

Сформулюємо вихідну задачу відносно функції . Для цього (4.9) підставимо в (4.5). Отже задача буде

 

(4.11)

 

(4.12)

 

(4.13)

 

Далі розв’язуємо рівняння методом Фур’є, тобто розв’язок шукаємо у формі

 

(4.14)

 

Розв’язок (4.14) підставляємо у рівняння (4.11).

 

 

Поділимо праву та ліву частини рівності на , отримаємо

 

(4.15)

 

Остання рівність можлива лише у тому випадку, коли обидві частини не залежать від і ,тобто є постійними величинами. Позначимо її через . Тоді з рівності (4.15) одержимо два звичайних диференціальних рівняння

 

(4.16)

 

(4.17)

Розв’яжемо ці рівняння і підставимо в (4.14), тоді будемо мати

 

(4.18)

 

де - довільні сталі.

Отже отримали загальний розв’язок рівняння (4.11). Для знаходження частинного розв’язку з граничних та початкових умов визначимо константи.

З граничних умов задачі Штурма-Ліувілля маємо

 

 

отже

 

 

Власними функціями є

 

.

 

Оскільки одержане число залежить від , яке змінюється до нескінченності, то кожному значенню буде відповідати розв’язок

 

 

Цей розв’язок рівняння (4.11) задовольняє граничним умовам (4.12) і для кожного значення будемо мати іншу константу.

Тому слід надати константі індекс . Тоді розв’язок буде мати вигляд

 

(4.19)

 

Сума розв’язків (4.19) буде також розв’язком рівняння (4.11), тому що розв’язки складають лінійно-незалежну фундаментальну систему.

Таким чином

 

(4.20)

 

Для визначення довільної константи , використаємо початкову умову, з якої виходить

 

 

Остання формула показує, що константи виявляються коефіцієнтами розкладання функції у ряд Фур’є по синусам в інтервалі (0,1). Отже

 

 

Підставимо вираз (4.15) для функції під інтеграл, тоді

 

 

.

 

Виконав необхідні обчислення, дістанемо

 

(4.21)

.

 

Підставимо (4.21) в (4.20) і, враховуючи рівність (4.9), запишемо остаточний розв’язок задачі:

 

(4.22)

 

Нехай змінюється від 0 до 1 з кроком 0.2, а - від 0 до 1 з кроком 0.25. Змінення розподілу температури вздовж стержня з часом показано на графіках малюнку 4.2.

Мал.4.2

 

З цих вислідів видно, що наявність течії на одному кінці стержня і постійної додатної температури на другому, призводять до явища, коли стержень охолоджується з часом дуже повільно.