Оцінка випадкових похибок сукупних та сумісних вимірювань

При сукупних вимірюваннях невідомі величини х_і, що підлягають безпосередньому вимірюванню, визначаються за результатами вимірювання інших величин, які функціонально пов’язані з ними

,

де і = 1,2,...n – порядковий номер невідомих величин х; j = 1,2,...,m – порядковий номер прямих вимірювань величин у.

Якщо результат прямих вимірювань Y містять випадкові похибки, то вони мають місце і в результаті сукупних вимірювань величини х_і.

Розглянемо три випадки:

1. Очевидно, що для m<n систему розв’язати неможливо.

2. Для m=n розв’язання можливе, але похибки результатів вимірювання величини х_і будуть, як і для прямих одноразових вимірювань, значними і числові значення цих похибок залишаються невідомими.

3. Для m>n систему знову неможливо розв’язати, алгебраїчно тому, що ці рівняння несумісні, оскільки праві частини рівнянь замість точних значень Y_і містять результати їхніх вимірювань у_і = Y_і + ΔY_і із випадковими похибками ΔY_і.

Проте у останньому випадку для нормального закону розподілу похибок вимірювання величини у_і можна знайти таку сукупність значень х_і, яка б з найбільшою імовірністю задовольняла б початкові умови . Це можна здійснити за допомогою методу найменших квадратів (принципу Лежандра).

Такий спосіб обробки експериментальних даних для сукупних вимірювань доцільно застосовувати для лінійних функцій. В інших випадках обробка результатів значно ускладнюється.

Тому розглянемо випадок, коли функції φ_і лінійні:

Цю ж систему представимо більш компактно

Тут індекси при коефіцієнтах показані у послідовності „рядок - стовпець”.

Ці рівняння називають умовними. Через наявність похибок праві частини умовних рівнянь дорівнюють не нулю, а деяким залишковим похибкам:

Згідно з принципом Лежандра найбільш ймовірними значеннями невідомих величин х_і для цього випадку будуть такі, для яких сума квадратів залишкових похибок мінімальна

.

Необхідною умовою такого мінімуму повинна бути рівність нулю похідних

підставивши в останню формулу значення , отримують систему нормальних рівнянь

,

яку в розгорнутому вигляді представляють так:

 

тут індекси при коефіцієнтах b показані у послідовності „рядок - стовпчик”(h-i).

Оскільки кількість нормальних рівнянь завжди дорівнює кількості невідомих, то така система має розв’язок.

Методика отримання нормальних рівнянь.

Загальний спосіб знаходження системи нормальних рівнянь полягає у знаходженні часткових похибок від кожної по кожній з невідомих х_і, перемноженням цих похідних на відповідні значення та додаванні їх для кожної невідомої х_і

Сукупність даних виразів представляє собою систему з n нормальних рівнянь.

Визначення нормальних рівнянь для n = 2.

Припустимо, що в результаті сукупних вимірювань отримано таку систему

система нормальних рівнянь матиме вигляд

Коефіцієнти визначають із таких виразів

Тоді значення визначають

Розв’язок системи нормальних рівнянь

Якщо кількість невідомих n<=4, то систему нормальних рівнянь доцільно розв’язувати за допомогою визначників. Розглянемо розв’язування систем нормальних рівнянь для n = 2.

У цьому випадку складають та обчислюють головний визначник цієї системи рівнянь

далі складають та обчислюють часткові визначники D₁ та D₂, замінивши коефіцієнти b при відповідних невідомих на члени с в системі

потім знаходять найбільш ймовірні значення невідомих

Середні квадратичні значення результатів сукупних вимірювань.

Після підстановки найбільш ймовірних значень до умови рівнянь , знаходять значення залишкових похибок , визначають та суму залишкових похибок .

Середнє квадратичне відхилення результатів сукупних вимірювань знаходять по формулі

,

де m – кількість умовних рівнянь; n – кількість невідомих; A_hi – ад’юнкти (алгебраїчні доповнення) елементів b_hi головної діагоналі визначникаD (для h = i), які отримують викривленням h – го рядка та і –го стовпця, відповідних даному елементу b_hi, з наступним домноженням на (-1)^h+1.

Для n=2 ад’юнкти: A₁₁=b₂₂; A₂₂=b₁₁.

Довірчі границі випадкової складової похибки сукупних вимірювань.

Задавшись значенням довірчої імовірності, знаходять відповідне значення коефіцієнта довіри t_p. У цьому випадку число ступенів свободи дорівнює k = m-n.

Довірчі границі випадкової похибки сукупних вимірювань становлять

.

Практична частина

Завдання 1

Проведено вимірювання за допомогою вольтметра з В, кл. т. 0.1/0.01 отримано показ В. Вимірювання здійснено при температурі навколишнього середовища , магнітному полі напруженістю Н=400 А/м, напруга живлення приладу 205В. Температурна похибка не перевищує основну на кожних відхилення температури від нормальної області (20 2) , магнітна – половини від основної при напруженості зовнішнього поля до 400 А/м, при відхиленні напруги живлення за межі 220 В 4 до значень від 187 до 240 В додаткова похибка не перевищує половини від основної.

Оцінити граничні значення основної та додаткових похибок. Оцінити граничну та дорічні похибки вимірювання (). Записати результати вимірювання.

 

Розв’язання

Похибка вимірювання складається з основної інструментальної, яка визначається за класом точності вольтметра та додаткових, зумовлених відхиленням температури навколишнього середовища від нормальної, наявність зовнішнього магнітного поля та відхилення напруги живлення поза межі допустимих значень.

1. Оскільки клас точності приладу нормовано сталими с та d, а саме 0.1/0.01, то основна відносна гранична похибка вимірювання напруги

2. Нормальний діапазон температури навколишнього середовища від 18 до 22 , то ж значення температури навколишнього середовища відхиляється від нижньої зазначеної межі на . Тому зумовлена цим відносна гранична похибка.

3. Напруженість зовнішнього магнітного поля Н=400 А/м, тому додаткова відносна гранична похибка зумовлена ци фактором

4. Діапазон гранично допустимих значень напруги живлення

Оскільки напруга живлення приладу становить 205 В, що є менше менше від нижньої межі, але входить в діапазон 187-240В, то зумовлена цим відносна гранична похибка

.

5. Тобто сумарна відносна гранична похибка вимірювання напруги

6. Абсолютна гранична похибка вимірювання напруги

Запишемо результат вимірювання напруги враховуючи, що похибку досить заокруглити до однієї або двох значущих цифр і кількість знаків після коми в написанні результату повинна відповідати кількості цих знаків у похибці. Тобто .

 

Завдання 2.

Вивести вирази абсолютної та відносної похибок опосередкованого вимірювання величини .

Записати вирази похибок при .

Розв’язання:

Абсолютну похибку опосередкованого вимірювання можна визначити через повний диференціал виразу цього вимірювання. А саме

.

Тут

; ; .

.

Відносна похибка (у відносних одиницях)

.

При знайдемо

 

 

Завдання 3.

Для отримання 12 результатів спостережень при прямих рівно точних вимірюваннях: 7.13 6.94 7.15 7.31 7.26 7.53 6.68 6.59 6.76 7.9 7 6.54 визначити оцінку результату вимірювань; оцінку дисперсії та с. к. в. випадкових похибок окремих результатів; оцінку с. к. в. результату вимірювання. Оцінити довірчі границі похибки для . Записати результат.

 

Розв’язання:

Найкращою оцінкою багатократних прямих рівно точних вимірювань, що дає змогу зменшити вплив випадкових складових похибки вимірювання кожного окремого спостереження, є середнє значення

.

Незміщена оцінка дисперсії сукупності спостережених значень

Проаналізуємо чи немає серед спостережень грубих (аномальних) помилок. Сформуємо із спостережень варіаційний ряд (від найменшого значення до найбільшого)

6,54; 6,59; 6,68; 6,76; 6,94; 7,00; 7,13; 7,15; 7,26; 7,31; 7,53; 7,90.

Перевіримо крайні члени ряду на аномальність. Знайдемо співвідношення

За табл.1 (додаток), що задає допустимі значення про нормованих відхилень від середнього і заданою довірчою ймовірністю, знайдемо , а саме: для , а отже, надійності , та n=12 маємо . Оскільки та менші від , то кратні значення (варіанти) варіаційного ряду не треба розглядати, як аномальні. Незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення середнього значення

Оскільки кількість спостережень < 30, то при оцінюванні гарантійного (довірчого) інтервалу для похибки середнього доцільно скористатися не розподілом Гауса, а Стьюдента. За табл.. 2 (додаток), що задає допустимі значення гарантійного коефіцієнта для заданої гарантійної (довірчої) ймовірності, знайдемо відповідний коефіцієнт. А саме для n=12, =0,95, =2,201. Отже, результат вимірювання

 

Завдання 4

Для оцінювання результату опосередкованого вимірювання величини виконані по 9 вимірювань величин X, Y і отримані результати Х=26,16; 26,75; 25,76; 26,44; 25,84; 25,52; 26,47; 26,39; 27,51 та У=16,11; 16,41; 15,29; 15,91; 15,71; 16,33; 16,32; 16,83; 16,29. Відомі середньоквадратичні відхилення (с. к. в.) похибок вимірювань цих величин: Оцінити результат вимірювання U, вважаючи що результати вимірювань X,Y взаємно незалежні. Оцінити довірчі границі похибки вимірювання U з =0,9. Записати результат.

 

Розв’язання:

Похибку опосередкованого вимірювання шукаємо за похибками прямих вимірювань. Зокрема, відносна похибка , А абсолютна похибка непрямого вимірювання (див. задачу3)

Результати рівно точних взаємнонезалежних спостережень величин Х та У містять випадкові похибки. Тому найкращою оцінкою кожної з безпосередньо вимірюваних величин (Х та У) та опосередкованої величини U будуть їх середні значення, тобто

За визначенням абсолютна похибка тут - істинне, дійсне та середнє значення величини U, яку можна оцінити значеннями за прямими спостереженнями та .

Тому дисперсія абсолютної похибки усередненого результату посереднього вимірювання

Так само пов’язані і їх незміщені оцінки

Своєю чергою дисперсія похибок кожної з усереднених величин та дорівнює сумі незміщеної оцінки дисперсії середнього випадкових спостережень та дисперсії інструментальної похибки відповідного вимірювального приладу, а саме:

Незміщені оцінки дисперсії спостережень

А дисперсій відповідних середніх значень та

Звідси

Для =0,9 й n=9 гарантійний коефіцієнт . Звідси результат опосередкованого вимірювання

 

Завдання 5

Для результатів вимірювань величин Х= -4; -3; -2; -1; 0; 1 та У=2; 2.97; 3.99; 4.99; 6.02; 7.05 за допомогою методу найменших квадратів (МНК) визначити коефіцієнти лінійної залеж­ності між ними.

Розв'язання:

За умовою вважається, що залежність між величинами Y та Х є лінійною, тобто

Y=kX+b.

Необхідно знайти два невідомі параметри k й Ь, опрацьовуючи набори результатів спостережень {х,} та {у,} за методом найменших квадратів. Сформуємо відповідні рівняння, а саме: знайдемо часткові похідні функції Y за невідомими параметрами

Одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими, а саме:

Звідси :

Знайдемо k=1,b=6. Отже Y=X+6.

Завдання 6

Сформуйте систему нормальних рівнянь за методом найменших квадратів для результатів сукупних вимірювань. Оцінити СКВ. Знайти нев’язки. Записати результат вимірювання.

Результати сукупних вимірювань див. табл. 6

 

Варіант	x1+x2x+x3+x4	x2+x3	x1+x2	x3+x4	x1+x2+x3	x1+x3+x4	x1+x4+x3	x2+x4	x3+x1
	14,13	8,14	8,17	6,15	9,13	7,26	7,19	12,17	2,15

Розв’язання

Складемо систему нормальних рівнянь:

,

де коефіцієнти

= 6,

= 5,

= 7,

= 5,

= 3,

= 5,

= 3,

= 2,

= 3,

= 4,

= 14,13+8,17+9,13+7,26+7,19+2,15=48,03,

= 14,13+8,14+8,17+9,13+12,17 = 51,74,

= 14,13+8,14+6,15+9,13+7,26+7,19+2,1,5 = 54,15

= 14,13+6,15+7,26+7,19+12,17 = 46,9.

Врахувавши значення даних коефіцієнтів система нормальних рівнянь матиме вигляд:

.

 

Головний визначник цієї системи D = 156.

Найбільш ймовірні значення невідомих дорівнюють:

.

Підставляємо значення найбільш ймовірних значень до умовних рівнянь:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1.065 + 7.045 + 1.052 + 5.081 = 14.243,

x₂ + x₃ = 7.045 + 1.052 = 8.097,

x₁ + x₂ = 1.065 + 7.045 = 8.11,

x₃ + x₄ = 1.052 + 5.081 = 6.133,

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 1.065 + 7.045 + 1.052 = 9.162,

x₁ + x₂ + x₃ = 1.065 + 1.052 + 5.081 = 7.098,

x₁ + x₃ + x₄ = 1.065 +1.052 + 5.081 = 7.198,

x₁ + x₃ + x₄ = 1.065 + 5.081 + 1.052 = 7.198,

x₂ + x₄ = 7.045 + 5.081 = 12.126,

x₁ + x₃ = 1.052 + 1.065 = 2.117.

Знаходимо нев´язки

,

Знайдемо границі довірчого інтервалу

,

і аналогічно для інших невідомих. Для цього розрахуємо значення ад’юнктів.

S₁₁=70, S₂₂=72, S₃₃ = 72, S₄₄ = 52

Для m-n=5 та ймовірності Р=0,95 коефіцієнт Ст´юдента дорівнює t_p = 2.571

Розрахуємо границі довірчого інтервалу

Отже, результат вимірювання

Розрахунки реалізовані за допомогою математичного пакету Mathcad і наведені у додатку.