Пороговая кинетическая энергия налетающей частицы, вызывающей ядерную реакцию

Т _п = ×½ Q ½.

Энергия Ферми в металле при Т = 0 К

где n - концентрация электронов в металле,

m _e- масса электрона.

Е _F = ×(3p² n)^2/3,

Концентрация электронов, энергия которых

заключена в пределах от e до e+de (при e < Е_F)

d n (e) =

 

Удельная проводимость примесных

Полупроводников

где e - элементарный заряд,

n _p и n _n - концентрация дырок и электронов,

b _p и b _n - подвижность дырок и электронов.

g = e (n _p b _p + n _n b _n),

 

Температурная зависимость проводимости в

Полупроводниках

где D Е - ширина запрещенной зоны,

g_о - константа,

k - постоянная Больцмана.

g = g_оexp ,

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 1. Найти дебройлевскую длину волны электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра = 10 пм.

 

Т_эл

9 10

= hn = (1)

Имея в виду, что энергия покоя электрона Е ₀ = (то есть Т_эл одного порядка величины с Е ₀), можно сделать вывод, что рассматриваемые электроны являются релятивистскими. В этом случае их импульс определяется соотношением:

(2)

 

Выражение для длины волны де Бройля, с учетом (1) и (2), принимает вид:

 

. (3)

 

Произведем вычисления по формуле (3):

.

 

Проверим размерность l_В:

[l_В ] = .

 

Ответ: Длина волны де Бройля для рассматриваемых электронов равна

3,3×10^-12 м или 3,3 пм.

 

Пример 2. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет t» 1×10^-8 сек. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна 500 нм. Определить относительную () и естественную ширину Dl получаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов.

 

Продифференцировав (2) по l, получим:

. (3)

Учитывая, что дифференциал d E и приращение D E отличаются на бесконечно малую величину, можно из соотношений (2) и (3) выражение для относительной ширины спектральной линии:

или . (4)

И, наконец, используя (1), приведем (4) к окончательному виду:

. (5)

Проверим размерность полученного выражения:

.

И, наконец, вычислим значение ():

 

2) Естественная ширина резонансной линии при этом равна:

Dl_min ³ 2,65×10^-8×l = 2,65×10^-8×5×10^-7 = 13,25×10^-15 м» 0,0013 пм.

 

Ответ: Относительная ширина излучаемой спектральной линии равна 2,65 10^-8, а естественная ширина Dl_min» 0,0013 пм.

 

Пример 3. Нормированная собственная волновая функции, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид , (а ₀ – первый боровский радиус). Найти для основного состояния атома водорода среднее значение - кулоновской силы притяжения электрона к ядру.

 

Дано:   11 12 а 0 = 52,9 пм	в единицах СИ   а 0= 0,529×10^-10м	Решение: Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения квантовой частицы в единичном объеме в окрестностях точки с координатами х,y,z. Учитывая статистический смысл квадрата модуля волновой функции, среднее значение любого параметра квантовой час-
Найти:

тицы можно вычислить следующим образом:

 

, (1)

 

где - функция, определяющая зависимость данного параметра микрообъекта от положения микрочастицы в пространстве.

Кулоновская сила притяжения электрона к ядру в атоме водорода равна . Учитывая, что волновая функция, описывающая поведение 1s-электрона в атоме водорода, обладает сферической симметрией (см. условие), в данном случае в качестве элементарного объема в (1) имеет смысл использовать объем шарового слоя радиусом r и толщиной d r. В итоге выражение (1) для усредненной кулоновской силы принимает вид:

. (2)

Произведем вычисления по формуле (2):

 

Ответ: Среднее значение кулоновской силы, действующей на 1s–электрон в атоме водорода равно 0,165 мкН.

 

Пример 4. За время сутки активность изотопа уменьшилась от А ₁ = 118 ТБк до А ₂ = 7,4 ТБк. Пользуясь таблицей периодов полураспада, определить природу изотопа. Найти также массу изотопа, имеющего активность А ₁.

Дано:   = t 2 -t 1= 1сут. А 1 = 118 ТБк 13 14 А 2 = 7,4 ТБк	в единицах СИ = 8,64×10^4 с А 1 = 1,18×10^14Бк А 2 = 7,4×10^12 Бк	Решение: 1) В соответствии с законом радиоактивного распада отношение активностей изотопа в моменты времени t 2и t 1можно записать в следующем виде:
Найти: изотоп ; т 1.

 

(1)

Прологарифмировав это соотношение, найдем постоянную распада l:

.

Воспользовавшись известным соотношением между l и Т, найдем период полураспада:

 

По таблице периодов полураспада радиоактивных изотопов (см. Табл.18) находим, что рассматриваемый период Т = 6 час. соответствует изотопу ртути ¹⁹³Hg.

Найдем массу изотопа ¹⁹³Hg, имевшего активность А ₁ = 1,18 10¹⁴ Бк, воспользовавшись следующими соотношениями:

; А ₁ = l N ₁.

Следовательно:

(2)

Определим численное значения т ₁ по формуле (2):

.

 

Ответ: Радиоактивный нуклид в данном случае – это изотоп ртути-193; масса изотопа ¹⁹³Hg равна 1,18 мг.

 

Пример 5. Определить мощность поглощенной дозы в воздухе и мощность эквивалентной дозы в биологической ткани на расстоянии 1 м от точечного источника - квантов с активностью 10 мКи. Выход -квантов равен 50%, энергия кванта 1,3 МэВ.

 

.

Разделив это выражение на площадь сферы радиуса R, мы получим плотность потока частиц: (3)

Число частиц, поглощенных объемом d V (длиной l и площадью d S) за время d t, в соответствии с законом Бугера I = I ₀e^{-k x} для поглощения электромагнитного излучения веществом, равно:

15 16

. (4)

Считая, что l << k^-1, и разложив в ряд exp (-k l)» 1 – k l, получим:

. (5)

Умножив (5) на энергию -кванта, мы получим энергию, поглощенную объемом d V за время d t:

. (6)

Далее, разделив d E на массу объема d V (m = r×d V) и подставив в полученное выражение соотношение (3), мы получим в соответствии с (2) поглощенную дозу:

. (7)

Соответственно, мощность дозы P _o равна:

P _o = . (8)

Проверим размерности: .

В выражения (7) и (8) входит массовый коэффициент поглощения в воздухе для энергии e_g = 1,3 МэВ. Значение этого коэффициентаможно получить из Табл.19 линейной интерполяцией м²/кг.

Теперь найдем численное значение мощности поглощенной дозы по формуле (8):

P _o = Гр/сек.

2) Мощность эквивалентной дозы будем рассчитывать по формуле:

P _Н = d H /d t, (9)

где Н = К_g × D – поглощенная доза в биологической ткани, К_g = 1 – коэффициент качества для g-излучения.

Поглощенную дозу в биологической ткани найдем, заменив в (4) в воздухе на массовый коэффициент поглощения в мягкой ткани , который также найдем из Табл.19 путем линейной интерполяции м²/кг.

Тогда мощность эквивалентной дозы будет равна:

 

P _Н = (10)

 

Произведем вычисления по формуле (10):

P _Н =

 

Ответ: Мощность поглощенной дозы P _D = 8,15×10^-7 Гр/сек; мощность эквивалентной дозы в биологической ткани P _H = 8,98×10^-10

17 18

Зв/сек.

 

Пример 6. Вычислить дефект массы, энергии связи и удельную энергию связи ядра .

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); т _р ;т _n ;т _я– массы протона, нейтрона и ядра, соответственно.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер. Поэтому (1) необходимо преобразовать таким образом, чтобы в него входила масса нейтральных атомов. Массу ядра можно выразить через массу атома и массу электронов атома:

т _я = т _а -Zт_е. (2)

Подставив (2) в (1), получим:

. (3)

Здесь (т_р+т_e)= – масса атома водорода и поэтому окончательно имеем:

. (4)

Для ядра в соответствии с (4) получим: а.е.м.

Используемые здесь значения масс атомов и элементарных частиц приведены в табл.16 и табл.17.

Энергия связи – разность энергий покоя свободных нуклонов, составляющих ядро, и энергии покоя целого ядра. В соответствии с формулой Эйнштейна, связывающей энергию и массу:

. (5)

В системе СИ используют размерности: [ ] = кг; [с²] = м²/с².

В ядерной физике используют для удобства внесистемные единицы энергии: 1 МэВ = 1,6×10^-13 Дж и массы: 1 а.е.м. = 1,67×10^-27 кг.

Соответственно меняется и значение «с²» в (5) при переходе к таким единицам:

Таким образом, при использовании внесистемных единиц формула (5) примет вид: . (6)

 

Для получим и, соответственно, удельная энергия связи .

Ответ: Для ядра дефект массы равен 0,242 а.е.м.; энергия связи равна 225,3 МэВ, удельная энергия связи равна 8,345 МэВ/нуклон.

 

Пример 7. p ⁰ - мезон образовался при бомбардировке протонов мишени пучком протонов: р + р р + р + p ⁰. Определить пороговую энергию образования p ⁰ - мезона.

 

Закон сохранения импульса, при условии, что протон мишени считается покоящимся, запишем в виде:

(1)

 

Для релятивистских частиц связь между энергией и импульсом имеет вид: , где - энергия покоя частицы.

Закон сохранения энергии в рассматриваемом случае можно представить так:

 

,

или, с учетом (1), (2)

Возведем в квадрат обе части равенства (2) и упростим полученное выражение с учетом того, что .

Þ

Þ

Окончательно выражение для пороговой энергии p ⁰ имеет вид:

(3)

 

Используя данные для масс элементарных частиц (табл.17), найдем значение Т_р:

МэВ.

Ответ: Пороговая энергия образования p ⁰-мезона равна 279,7 МэВ.

 

Пример 8. Определить относительную долю свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К, энергия которых заключена в

 

ы ыинтервале от 0 до ½ Е _F.

Из этого выражения можно найти концентрацию электронов в металле:

. (2)

Концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от e до e+de (при e < Е_F), равна:

d n (e) = . (3)

Проинтегрировав это выражение в интервале от 0 до ½ Е _F, мы получим концентрацию D n электронов при температуре Т = 0 К, эне

19 20

ргия которых заключена в интервале от 0 до ½ Е _F:

= (4)

И, окончательно, разделив (4) на (2), получим относительную долю свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К, энергия которых заключена в интервале от 0 до ½ Е _F:

´ = = 0,354

 

Ответ: при T = 0 К доля свободных электронов, энергия которых заключена в интервале от 0 до 1/2Е_F, равна 0,354.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ