Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

hn = A + T_max, T_max = m_ov²_max/2

при hn << m_oс²,

 

T_max = (m - m_o)c²

при hn ~ m_oс²,

 

где h n – энергия фотона; А – работа выхода электронов; T _max – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

 

Красная граница внешнего фотоэффекта

 

l_о = hc/A или n_о = A/h.

 

Изменение длины волны рентгеновского (или гамма) излучения при рассеянии на свободном электроне (эффект Комптона)

Dl = l^/ - l = 2h/m_oc×sin²q/2 = h/m_oc×(1- cosq)= l_C×(1- cosq),

 

где l^/ - l – длины волн падающего и рассеянного излучения, соответственно; l_C = h/m_oc – комптоновская длина волны; m _o – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме; q – угол рассеяния кванта излучения.

Давление света при нормальном падении на поверхность

(1+r) = w (1+r),

 

где E_e – энергетическая освещенность (энергия фотонов, падающих в единицу времени на единицу поверхности); w – объемная плотность энергии излучения; r – коэффициент отражения.

Плотность энергии излучения

 

где Е – напряженность электрического поля электромагнитной волны.

 

Примеры решения задач

 

 

Пример 1. Между двумя плоскопараллельными пластинами на расстоянии L = 10 см от границы их соприкосновения находится проволока диаметром D = 0,01 мм, образуя воздушный клин (рис. 5.1). Пластины освещаются нормально падающим монохроматическим светом (λ = 0,6 мкм). Определить расстояние между соседними интерференционными полосами, наблюдаемыми в отраженном свете.

 

 

 

7 8

* Примечание. При переходе от энергетических единиц к фотометрическим единицам обычно используется соотношение 1 Вт = 683 лм.

Дано: L = 10 см D = 0,01 мм l = 0,6 мкм i = 0^o	В единицах СИ: L = 0,1 м D = 1×10^-5 м l = 6×10^-7 м	1 2   1 2 Ddk dk+1 dk   a D   L k b k+1   Рис. 5.1
Найти: b

 

Решение. Стеклянные пластинки образуют в данном случае воздушный клин с малым углом α (рис. 5.1).

Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани клина. Эти отраженные лучи когерентны и на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы.

Так как угол клина мал, то отраженные лучи «1» и «2» будут практически параллельны (рис. 5.1). Найдем расстояние b между двумя соседними темными интерференционными полосами.

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки, равна

 

(105)

где добавочная половина длины волны обусловлена отражением волны от оптически более плотной среды (происходит в данном случае при отражении луча «2» от нижней грани воздушного клина).

По условию задачи угол падения равен i = 0^o; показатель преломления материала воздушного клина п = 1 (воздух).

При этих условиях (105) принимает вид:

 

(106)

 

где d_k – толщина воздушного клина в рассматриваемом месте.

 

Темные полосы мы видим на тех участках клина, где разность хода лучей кратна нечетному числу половин длины волны:

 

(107)

 

Объединив соотношения (106) и (107), можно записать условия наблюдения темных полос с номерами «k» и «k+1», соответственно,

(108)

и (109)

 

Вычитая из выражения (109) выражение (108), получим

 

и окончательно

 

(110)

 

Исходя из геометрии хода лучей (рис. 5.1), угол клина можно определить двояко: и Из этих соотношений, после подстановки в них (110), находим:

 

 

Произведем расчет величины расстояния между соседними полосами:

 

м

 

Ответ. Расстояние между соседними интерференционными полосами равно 3 мм.

Пример 2*. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается нормально падающим монохроматическим светом (l = 650 нм). Диаметр четвертого темного кольца в проходящем свете D ₄ = 5,7 мм. Определить радиус кривизны линзы.

	9 10

Дано: l = 650 нм D 4 = 5,7 мм	В единицах СИ:   l = 6,5×10^-7 м D 4 = 5,7×10^-3 м	R r d   Рис. 5.2
Найти: R

 

Решение. Радиус кривизны линзы R можно найти из условия наблюдения темных колец Ньютона в проходящем свете:

 

r _k = k = 1,2,.... (111)

 

Для диаметра четвертого темного кольца получим:

 

D ₄ = 2 (112)

 

Из уравнения (112) находим радиус кривизны R линзы:

 

(113)

 

Произведем расчет по формуле (113):

 

= 25 м

 

Ответ. Радиус кривизны линзы составляет 25 м.

 

Пример 3*. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает монохроматический свет от гелий-неонового лазера (рис. 5.3). Постоянная решетки равна d = 0,01 мм.

На экране, удаленном от решетки на расстояние l = 40 см, наблюдаются интерференционные максимумы, при этом расстояние между симметричными максимумами второго порядка составляет x ₂ = 100 мм. Найти длину волны гелий-неонового лазера.

 

Дано: d = 0,01 мм l = 40 см x 2 = 100 мм	В единицах СИ:   d = 1×10^-5 м l = 0,4 м x 2 = 0,1 м	k k = 2   x   j   k k = -2 l Рис. 5.3
Найти: l

 

Решение. Длину волны гелий-неонового лазера можно найти из условия образования главных максимумов интенсивности света при дифракции на дифракционной решетке: d×sinj = ±k×l, k = 0, 1, 2, 3,.... Отсюда находим:

 

(114)

 

где d - постоянная дифракционной решетки, k - порядок максимума света, l - длина световой волны.

 

Выразим sinj через расстояние l между дифракционной решеткой и экраном и расстоянием x между серединами симметричных максимумов k-го порядка (рис. 5.3). Для небольших углов дифракции можно приближенно записать:

 

sinj @ tgj = (115)

 

Подставляя полученное значение для sinj в формулу (114), получим формулу для определения длины волны лазера:

11 12

(116)

Произведем вычисления по формуле (116):

 

0,63×10^-6 м = 0,63 мкм = 630 нм

 

Ответ. Длина волны гелий-неонового лазера l @ 0,63 мкм = 630 нм.

 

Пример 4*. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает параллельный пучок естественного света. Постоянная решетки равна d = 0,01 мм. На экране, удаленном от решетки на расстояние l = 30 см, наблюдаются интерференционные максимумы в виде спектров, при этом расстояние между симметричными максимумами второго порядка красного цвета составляет x _2,кр = 78 мм, а расстояние между симметричными максимумами второго порядка фиолетового цвета составляет x _2,ф = 52 мм. Найти длины волн для красной и фиолетовой линий.

 

Дано: d = 0,01 мм l = 30 см x 2,кр = 78 мм x 2,ф = 52 мм	В единицах СИ:   d = 1×10^-5 м l = 0,3 м x 2,кр = 0,078 м x 2,ф = 0,052 м	кр k = 2 ф     x j ф k = -2 кр l Рис.5.4
Найти: l

 

Решение. Длину волны линии спектра можно найти из условия образования главных максимумов интенсивности света при дифракции на дифракционной решетке: d× sinj = ±k×l, k = 0,1,2,3,..., где d - постоянная дифракционной решетки, k - порядок максимума света, l - длина световой волны. Из этого соотношения находим:

(117)

 

Выразим sinj через расстояние l между дифракционной решеткой и экраном и расстоянием x между серединами симметричных максимумов k-го порядка (рис. 5.4). Для небольших углов дифракции можно приближенно записать:

 

sinj @ tgj = (118)

 

Окончательно, подставив полученное значение для sinj в формулу (117), получим формулу для определения длины волны полосы в спектре:

 

(119)

 

Произведем вычисления по формуле (119):

= 0,65×10^-6 м = 0,65 мкм = 650 нм,

@ 0,43×10^-6 м = 0,43 мкм = 430 нм.

 

 

Ответ. Длина волны красной линии спектра l_кр @ 0,65 мкм = 650 нм, а длина волны фиолетовой линии спектра l_ф @ 0,43 мкм = 430 нм

 

 

Пример 5. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный сосуд (п _ст= 1,50), и отражается от дна. Отраженный луч оказывается полностью поляризованным при угле падения на дно сосуда i = 49^o. Определить, под каким углом должен падать на дно сосуда луч света, проходящий в этой жидкости, чтобы наблюдалось полное внутреннее отражение от поверхности жидкости (рис. 5.5).

	13 14

Дано: п2 = 1,5 i B = 49^o Р отраж.1=1,0 r2 = 90^о	n 0 r2   S * i 2 n 1 i 2 i 2   n 2     Рис. 5.5

 

Решение. По закону Брюстера свет, отраженный от поверхности диэлектрика, полностью поляризован при условии, что

 

tg i_B = n₂₁ = n₂/n₁. (120)

 

Отсюда

 

n₁ = n₂ / tg i_B. (121)

 

При полном внутреннем отражении от поверхности жидкости (r₂ = 90^о)закон преломления на поверхности жидкости примет вид:

 

Таким образом, угол падения луча света i ₂ на дно сосуда при полном внутреннем отражении от поверхности жидкости равен:

 

(122)

 

Подставив в (122) выражение (121) для n ₁, окончательно получим:

 

 

Ответ. Чтобы наступило полное внутреннее отражение от поверхности жидкости, луч света должен падать на дно сосуда под углом 50˚.

 

 

Пример 6. Монохроматический пучок световых лучей проходит через стопу из пяти одинаковых плоскопараллельных стеклянных пластинок толщиной 5 мм каждая. Отношение интенсивности света, прошедшего через эту стопу пластинок, к интенсивности падающего света равно t = 0,55. Пренебрегая вторичным отражением света, определить коэффициент поглощения k для данного стекла, если коэффициент отражения на каждой поверхности пластинок r = 0,05.

 

Дано: N = 5 l =5 мм r= 0,05	В единицах СИ: l =5×10^-3 м	Решение. Рассмотрим прохождение света сквозь одну пластинку. На входной поверхности пластинки часть энергии пучка теряется за счет отражения и в стекло попадает световой пучок с интенсивностью где I 0 - интенсивность пучка на входе в первую пластинку.
Найти: k

 

По закону Бугера интенсивность света, прошедшего слой вещества толщиной x, равна:

 

I = I₀×e^-kx, (123)

 

где I ₀ – интенсивность падающего пучка, а k – коэффициент поглощения света в стекле.

 

Согласно (1) с учетом отражения света от верхней поверхности пластинки, до 2-й грани первой пластинки доходит свет с интенсивностью I₀×(1-r)e^-kl. На второй грани часть световой энергии также отражается, то есть на выходе из 1-й пластинки имеем свет с интенсивностью:

 

I₁ = I₀×(1-r)²e^-kl. (124)

 

По аналогии можно показать, что на выходе из 2-й пластинки интенсивность светового пучка будет равна:

 

I₂ = I₁×(1-r)²e^-kl = I₀×(1-r)⁴e^-2kl. (125)

 

Анализируя выражения (124) и (125), можно сделать вывод, что на выходе из стопы в N пластинок интенсивность света будет равна:

 

I_N = I₀×(1-r)^2Ne^-Nkl. (126)

 

Преобразуем выражение (126) следующим образом:

	15 16

I_N / I₀ = (1-r)^2Ne^-Nkl Þ t = (1-r)^2Ne^-Nkl Þ

Отсюда находим:

Найдем численное значение k:

м^-1 = 0,034 см^-1.

Ответ. Коэффициент поглощения данного сорта стекла равен 0,034 см^-1.

 

Пример 7. При исследовании излучения серого тела (с поглощательной способностью А _Т = 0,25 и потоком излучения Ф_е = 1 кВт) системой из узкополосных светофильтров было установлено, что максимальная мощность излучения (прошедшего через один из светофильтров) равна W = 6,25 мВт. Принять во внимание, что: до приемника излучения (с учетом геометрии его расположения и потерь в оптической системе) доходит 10 % мощности, излучаемой телом; площадь светофильтра равна S_сф = 1 см²; энергия излучения распределена в полосе пропускания светофильтра ( нм) равномерно. Определить, на какую длину волны рассчитан светофильтр, пропустивший максимальную мощность. Найти также температуру тела и площадь его излучающей поверхности.

Дано: Фе = 1 кВт АТ = 0,25 W = 6,25 мВт ∆λ = 10 нм Кослабл.= 10 % Sсф = 1 см^2 С = 1,3×10^-5Вт/м^3К^5 b = 2,9×10^-3 м×К	В единицах СИ: Фе= 1×10^-3 Вт W = 6,25×10^-3Вт ∆λ = 1×10^-8 м Кослабл.= 0,1 Sсф = 1×10^-4 м^2	Решение. 1. Найдем максимальную спектральную плотность излучательности исследуемого тела   где Кослабл – коэффициент ослабления излучения в оптической системе.
Найти: λmax; Т; S

17 18

Согласно закону Кирхгофа максимальная спектральная плотность излучательности абсолютно черного тела, имеющего такую же температуру, как рассматриваемое серое тело, равна

 

Вт/ м³.

 

Из выражения для максимального значения спектральной плотности излучательности и закона смещения Вина найдем температуру тела и длину волны, на которую рассчитан светофильтр:

 

Þ (1)

(2)

Произведем вычисления по формулам (1) и (2):

мкм.

2) Исходя из закона Стефана-Больцмана R _e = s× T ⁴, найдем площадь излучающей поверхности серого тела:

Произведем вычисления:

 

Ответ: Светофильтр рассчитан на длину волны = (1,620 0,005 ) мкм; температура исследуемого тела равна 1780 К, а площадь его излучающей поверхности равна 70 см².

 

Пример 8. Фотон с энергией e_ф = 20 эВ падает на металлическую пластину и вызывает фотоэффект. Пластина получает при этом импульс p_пл = 2,19 10^-24 кг×м/с. Считая, что направления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластины, определить, из какого металла сделана пластина.

Импульс фотона можно записать в виде:

, (3)

а импульс фотоэлектрона p _e может быть найден из уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

 

(4)

 

где А – работа выхода электрона из металла – индивидуальная (см. Табл.14) характеристика каждого металла, m _e – масса электрона, v _e – скорость электрона.

Так как p _e = m _e× v _e, получаем:

(5)

Очевидно, что, определив А, можно по справочным таблицам найти, о каком металле идет речь.

Подставив выражения (3) и (5) в (2), получим:

₌ p _пл - . (6)

 

Из этого соотношения (6) находим А:

(7)

19 20

Проверим размерность полученного выражения

Определим, согласно (7), работу выхода электрона из металла.

По табл.14 для работ выхода электронов находим, что такой работой выхода обладает Al (алюминий).

Ответ: Фотоэффект происходит на алюминиевой пластине.

 

Пример 9. При эффекте Комптона фотон с длиной волны λ = 1,2 пм был рассеян на свободном электроне. Импульс электрона отдачи составил при этом p_e = 6×10^-22 кг×м/сек. Определить длину волны рассеянного излучения и угол рассеяния.

Е = Дж.

 

Кинетическая энергия электрона, соответственно, равна:

Т = Е – Е ₀ = 19,8×10^-14 – 8,16 10^-14 = 11,6 10^-14 Дж.

 

Длину волны рассеянного излучения найдем из закона сохранения энергии , где e_l - энергия падающего фотона, - энергия рассеянного фотона. Отсюда, с учетом того, что , находим:

.

На основании найденного значения энергии рассеянного фотона находим длину волны рассеянного фотона:

2) Угол рассеяния фотона при эффекте Комптона qопределим в соответствии с формулой Комптона:

 

.

Следовательно, ;

 

Ответ: Угол рассеяния фотона при эффекте Комптона составляет 98,4⁰; при этом длина волны рассеянного излучения равна 3,98 пм.

 

Пример 10. На расстоянии r = 5 мот точечного изотропного монохроматического источника ( мкм) расположена зачерненная площадка (S = 8 см²), ориентированная перпендикулярно падающим лучам. Определить число фотонов, ежесекундно падающих на площадку, и силу давления света, действующую на нее. Поток излучения источника равен 10 кВт.

 

 

 

с^-1 .

 

2) Сила давления F _давл, действующая на зачерненную площадку, равна:

21 22

, (1)

где - коэффициент отражения зачерненной площадки.

 

Произведем вычисления по формуле (1):

Н .

 

Ответ: Число фотонов, ежесекундно падающих на площадку, составляет 6,35×10¹⁶ с^-1; сила давления света на поверхность S равна 8,5 10^-11 Н.

 

 

Варианты задач