Показатели формы распределения

Показатель асимметрии для сгруппированных данных находится из выражения

, (31)

а показатель эксцесса:

(32)

Их относительные значения вычислены по формулам (7) и (10) и реализованы в ячейках В99 и В100.

Формулы (31 и 32) записаны в ячейки В97 и В98.

Проверка соответствия эмпирического распределения активов банков нормальному распределению с помощью критериев согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова

1. Критерий Пирсона

(33)

где - эмпирические и теоретические частоты.

Теоретические частоты вычисляются с помощью функции = 48*$B$83*НОРМРАСП(V3:V7; $В$84;$В$89;0).

Формула (33) реализована в ячейке В101 =СУММПРОИЗВ (СТЕПЕНЬ (W3:W7-AF3:AF7; 2)/(AF3:AF7)).

В ячейке В102 помещена формула , по которой вычисляется количество степеней свободы.

Ячейка В103 содержит формулу = ХИ2РАСП(В101;В102) – вычисляет значение вероятности . Искомая вероятность , следовательно эмпирическое распределение не противоречит нормальному.

Другой подход к решению задачи основан на проверке попадания -критерия в критическую область, т.е. проверяется выполнение условия

. (34)

Для вычисления задается уровень значимости и количество степеней свободы. Формула = ХИ2ОБР(0,05; 2) рассчитывает значение 5,99, задающее правостороннюю критическую область (5,99; +∞). Так как условие (34) выполняется, то отклонения теоретических частот от эмпирических являются случайными и распределение активов банков не противоречит нормальному.

Диаграмма эмпирических и теоретических частот приведена на рис. 9.

Рисунок 9

2. Критерий Романовского

(35)

Расчетное значение критерия равно 0,43, следовательно, расхождения теоретических и эмпирических частот являются случайными и несущественными.

3. Критерий Колмогорова ()

Основан на определении максимального (по модулю) расхождения между накопленными частостями эмпирического и теоретического распределений (d):

(36)

Значения приведены в ячейках AI3: AI7. Следовательно, d=0,036. В ячейке В106 записана формула (36). По известному значению определяется вероятность (П.2 табл. 1), если она близка к 1, то расхождение между случайны.

ВЫВОДЫ

1. В качестве характеристики центра распределения необходимо использовать среднюю арифметическую, т.к. совокупность является однородной (коэффициент вариации равен 10,87%, что менее 33%).

2. Степень дифференциации активов банков слабая.

3. Концентрация активов банков практически отсутствует.

4. Распределение активов банков плосковершинно и имеет правостороннюю асимметрию. Отклонения эмпирических частот от теоретических носят случайный характер, следовательно, эмпирическое распределение активов банков не противоречит нормальному.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА ДЛЯ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ АКТИВОВ БАНКОВ В ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

Величина доверительного интервала (предельная ошибка выборки) находится из выражения

, (37)

где t – коэффициент доверия;

- средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка бесповторной выборки:

, (38)

где - дисперсия генеральной совокупности;

- объем выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности.

Дисперсия генеральной совокупности связана с выборочной дисперсией следующим отношением:

, (39)

Следовательно, среднюю ошибку выборки можно представить выражением:

(40)

Коэффициент доверия в распределении Гаусса является только функцией доверительной вероятности, а в распределении Стьюдента, кроме того, еще и функцией объема выборки. Следовательно, для одной и той же доверительной вероятности можно получить два значения предельной ошибки.

Указанные значения приведены в ячейках D61 и D62 соответственно. В них реализованы следующие формулы: = НОРМСТОБР ((0,9973+1)/2)*D60;

= СТЬЮДРАСПОБР (1-0,9973; 47)*D60.

Выборка считается репрезентативной, если величина ее относительной ошибки составляет не более 5%, т.е.

(41)

Учитывая, что , выборку следует признать представительной. Вместе с тем и вывод следует противоположный. В связи с этим, возникает естественный вопрос: какой же из результатов следует считать правильным? В различных источниках существуют разные рекомендации какую выборку считать малой: в одних менее 20 [4], в других менее 30 [5], в третьих менее 40 [10] и т.д. Для ответа на данный вопрос построим график функции

, приведенной на рис. 13.

Рисунок 10

Указанное преобразование возможно в силу того, что величина средней ошибки является одинаковой для и .Коэффициент доверия Гаусса на указанном рисунке изменяется от 1 до 3 с шагом 0,5. Соответствующие ему вероятности имеют следующие значения: 0,6827; 0,8664; 0,9545; 0,9876; 0,9973. Как следует из графика, погрешность в определении предельной ошибки при t =2, n=190 составляет около 1%, что соизмеримо с величиной относительной ошибки предельной выборки.

Известно, что распределение Стьюдента при увеличении объема выборки стремится к нормальному, а доверительный интервал, вычисленный с его применением является более надежным. Поэтому с точки зрения статистика (исполнителя) целесообразно использовать распределение Стьюдента в малых и больших выборках.

Учитывая изложенное, генеральная средняя активов банков с доверительной вероятностью 0,9973 лежит в пределах (ячейки D63, D 64).

В практике наиболее часто используется доверительная вероятность равная 0,95 [10], а величина относительной ошибки предельной выборки задается на уровне 5%.

Для рассматриваемого примера покажем зависимость объема бесповторной выборки от величины относительной ошибки, начиная с 0,01 до 0,05 с шагом 0,01, и коэффициентов доверия Гаусса от 1 до 3 с шагом 0,5.

Объем выборки в случае использования нормального распределения можно вычислить по формуле:

,

где или ,

где фигурные скобки означают округление вверх до ближайшего целого.

Формула объема выборки с использованием распределения Стьюдента аналогична приведенной выше, но вместе с тем решение можно получить только применением итерационных методов, так как . Поэтому решения, полученные с применением , можно использовать в качестве нулевого приближения для вычисления объемов бесповторной выборки с коэффициентами доверия Стьюдента.

На рис. 11, 12 показана зависимость объема бесповторной выборки от перечисленных ранее факторов. Анализ рисунков позволяет сделать вывод о том, что выбор величины коэффициентов доверия (вероятностей) и относительной ошибки должен быть достаточно обоснованным, т.к. это приводит к резкому увеличению объема выборки и, как следствие, к возрастанию материальных и временных затрат.

Рисунок 11

Рисунок 12

При известных значениях объемов выборок для различных сочетаний и , представляется возможным рассчитать соответствующие им величины предельных ошибок, используя распределения Стьюдента, т.е. оценить погрешность в вычислениях предельных ошибок, обусловленным применением распределения Гаусса. Соответствующий график представлен на рис. 13.

 

Рисунок 13

Как следует из графика – с увеличением значения относительной ошибки выборки погрешность ее вычисления резко возрастает и превосходит величину относительной ошибки почти в 2 раза. Изломы на графике объясняются дискретностью значений выборки.

. 4. АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ПРИБЫЛИ БАНКОВ ОТ СТОИМОСТИ ИХ АКТИВОВ