Статично невизначувані стержневі системи

Загальні поняття про статично невизначувані системи

Література: [1, с. 309–316]; [2, с. 193–198]; [3, с. 233–238]; [4, с. 101–102];

[5, с. 129–132].

Основні поняття та ключові слова розділу: статично невизначувані системи, внутрішня й зовнішня статична невизначуваність, зайві в’язі, принцип нерозривності переміщень.

Методичні вказівки

Властивості статично невизначуваних систем (СНС): наявність зайвих в’язей, що підвищує несучу здатність; більша, ніж у статично визначуваних системах, жорсткість; залежність внутрішніх зусиль від співвідношення жорсткостей елементів конструкцій; температурні впливи та переміщення опор призводять до виникнення внутрішніх зусиль. Основні методи розрахунку статично невизначуваних систем (метод сил, метод переміщень, змішаний і комбінований методи, метод скінченних елементів тощо).

Запитання для самоконтролю

1. Яка система називається статично невизначуваною?

2. Основна ознака статично невизначуваної системи.

3. Властивості статично невизначуваних систем та їх обґрунтування.

4. Основні методи розрахунку СНС.

Метод сил

Література: [1, с. 316–349, 361–368]; [2, с. 198–231, 238–249];

[3, с. 238–258]; [4, с. 102–131]; [5, с. 132–135, 154–191].

Основні поняття та ключові слова розділу: ступінь статичної невизначуваності системи, основна система й основні невідомі, канонічні рівняння, матриця податливості, вектор вільних членів, ортогональні епюри.

Методичні вказівки

Метод сил є одним з основних для розрахунку СНС. Його засвоєння необхідне при подальшому проектуванні конструкцій, будівель і споруд та успішному вивченні інших тем курсу. Важливо навчитися визначати кількість невідомих методу сил (ступінь статичної невизначуваності системи) та їх сутність.

У методі сил використовується система, яка називається основною системою. Вона утворюється із заданої системи шляхом відкидання умовно зайвих в’язей і навантаження її зовнішніми силами та зусиллями, що виникають у відкинутих зайвих в’язях від діючого навантаження або інших впливів. Ці зусилля називають основними невідомими методу сил, котрі зазвичай позначають . Для основної системи методу сил можна записати умови її еквівалентності заданій системі у формі рівнянь нерозривності переміщень у перерізах, де відкинуті зайві в’язі. Деяка і -та умова еквівалентності відображає те, що переміщення перерізу (перерізів), де прикладена і -та основна невідома в напрямку її дії від основних невідомих, зовнішнього навантаження й інших впливів, дорівнює нулю. Умови еквівалентності записують у канонічній формі і називають канонічними рівняннями методу сил. Кількість канонічних рівнянь, як правило, дорівнює ступеню статичної невизначуваності. При розв’язанні цих рівнянь знаходять основні невідомі.

Важливо засвоїти сутність коефіцієнтів та вільних членів канонічних рівнянь методу сил і звернути увагу на їх знаки та виконання умови , згідно з теоремою про взаємність переміщень. Основна система повинна бути вибрана таким чином, щоб епюри внутрішніх зусиль від одиничних і зовнішніх навантажень були якомога більш простими й взаємно ортогональними. При цьому рекомендується розглянути декілька варіантів основних систем і, порівнюючи їх, вибрати раціональну.

Коефіцієнти та вільні члени канонічних рівнянь визначаються за допомогою методу Мора. При цьому інтеграли Мора можна обчислювати, використовуючи правило Верещагіна або формулу Сімпсона–Корноухова, якщо підінтегральний вираз не є поліномом більше третього ступеня. При визначенні коефіцієнтів і вільних членів канонічних рівнянь обов’язково виконується їх перевірка з використанням сумарної епюри внутрішніх зусиль від одиничних значень основних невідомих методу сил. Для симетричних систем значних спрощень можна досягти, враховуючи їх симетрію (за геометрією, жорсткістю, розміщенням опор та необов’язково за навантаженням).

При розрахунку статично невизначуваних систем на дію температури і нерівномірного зміщення опор специфічним є лише знаходження вільних членів канонічних рівнянь.

Епюри внутрішніх зусиль для заданої статично невизначуваної системи будуються на основі принципу незалежності дії основних невідомих, заданого навантаження чи інших впливів. Так, епюра згинальних моментів від заданого навантаження будується за формулою

(6)

де – епюра згинальних моментів в основній системі від

– епюра згинальних моментів в основній системі від заданого навантаження або інших впливів;

Л – ступінь статичної невизначуваності системи.

Побудову епюр M, Q і N для заданої системи краще виконувати за таким алгоритмом:

1) за допомогою формули (6), згідно з принципом суперпозиції, обчислюються згинальні моменти в характерних перерізах кожного стержня заданої системи;

2) за необхідності уточнення на окремих ділянках заданої системи епюри згинальних моментів така ділянка системи розглядається як балка із шарнірними опорами на кінцях та її крайовими умовами (згинальні моменти), для якої уточнюються епюри M і Q від зовнішнього навантаження чи інших впливів;

3) епюру поперечних сил будуємо на основі одержаної епюри згинальних моментів з уточненням на відповідних ділянках згідно з пунктом 2;

4) епюру поздовжніх зусиль N будуємо шляхом використання умов рівноваги окремих вузлів системи.

Після побудови епюр внутрішніх зусиль необхідно виконати їх статичну й кінематичну перевірки.

Знаходження переміщень у статично невизначуваних системах виконується так, як і в статично визначуваних, на основі принципу можливих переміщень, теореми Бетті з використанням методу Мора, правила Верещагіна або формули Сімпсона–Корноухова. Наприклад, у балках та рамах переміщення, пов’язане зі згином, обчислюється за формулою

(7)

де – будь-яке лінійне чи кутове переміщення;

– функція згинального моменту, складена для j -тої ділянки інтегрування у допоміжному (одиничному) стані будь-якоїосновної системи методу сил;

– функція згинального моменту, складена для j -тої ділянки інтегрування у заданій статично невизначуваній системі.

Використання обчислювальної техніки зменшує трудомісткість розрахунку статично невизначуваних систем методом сил. При цьому найбільш раціональною є матрична форма розв’язання задачі.

 

Запитання для самоконтролю

1. Як обчислити ступінь статичної невизначуваності системи?

2. У чому полягає ідея методу сил? Основні невідомі методу сил.

3. Що являє собою основна система методу сил і способи її утворення?

4. Які фактори впливають на вибір раціональної основної системи?

5. Зміст канонічних рівнянь і окремих їх елементів при розрахунку балок, рам, арок та ферм.

6. Які спрощення використовуються при обчисленні коефіцієнтів матриці податливості й вектора вільних членів у розрахунках різних типів стержневих систем?

7. Як виконуються перевірки коефіцієнтів матриці податливості та вектора вільних членів канонічних рівнянь?

8. Як побудувати епюри внутрішніх зусиль для різних типів стержневих систем (балок, рам, арок, ферм)?

9. Як виконуються перевірки епюр внутрішніх зусиль?

10. Урахування симетрії при розрахунку СНС методом сил.

11. Особливості використання групових невідомих при виборі основної системи методу сил.

12. Як виконується розрахунок статично невизначуваних ферм?

13. Особливості розрахунку статично невизначуваних арок.

14. Алгоритм обчислення переміщень у СНС.

15. Особливості розрахунку СНС на зміну температури та нерівномірне зміщення опор.

16. Сформулюйте пункти алгоритму розрахунку СНС методом сил.

3 ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ
РОЗРАХУНКОВО - ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ