Задача о «рождественской ёлке»

Задачи этого типа часто фигурируют под названием задачи о «рождественской ёлке» или задачи о «продавце газет», так как задача торговца ёлками или задача продавца газет состоит в том, чтобы определить, сколько ёлок заказать к рождественским праздникам или сколько газет закупить для киоска на определенный день. Это так называемые задачи управления запасами в течение одного периода.

Сформулируем задачу о «рождественской ёлке» более подробно. Предположим, что продавец рождественских ёлок должен заказать партию за месяц до Рождества. После этого срока, даже если возникнет необходимость, он больше заказать не может. Таким образом, в течение сезона продавец имеет только одну возможность подачи заказа. Одна елка обходится в долларов, а продаётся за долларов. Затраты за непроданные до конца сезона ёлки составляют итоговые потери из-за нереализованных товаров.

Пусть означает вероятность того, что за сезон потребуется елей. Если к началу сезона было заготовлено деревьев, то математическое ожидание прибыли за сезон составит

,

так как если , то годовой доход равен , если , то за проданные ёлки будет получено долларов.

Задача состоит в том, чтобы найти такое , которое максимизирует среднюю прибыль.

Задача рождественской ёлки представляет частный случай более общей задачи, которая может быть сформулирована так.

Товары можно заказать только в начале периода. Единица товаров стоит долларов независимо от объёма заказываемой партии. Товар продаётся по цене долларов за штуку. Пусть – вероятность того, что за период потребуется штук. Если в момент возникновения требования на складе нет товаров, то помимо недополученной прибыли, фирма терпит убытки, связанные с потерей предпочтения, которые можно оценить долларов в пересчёте на единицу товара. Все товары, не распроданные к концу периода, могут быть реализованы по цене долларов .

В задаче требуется определить оптимальный объём наличных запасов в начальный момент времени по критерию максимума средней прибыли за период.

Если в начале периода было заготовлено единиц, то средняя прибыль равна

где -средний спрос за период.

В данной задаче требуется определить значение , которое максимизирует среднюю прибыль.

18. Модель определения количества запасных частей.

Модель определения количества запасных частей.

 

При рассмотрении этой модели штрафы, связанные с дефицитом запасов считаются конечными. Кроме того, данная модель имеет следующие особенности:

1. Спрос и пополнение заказов оцениваются на основе опытных данных.

2. Рассматривается производство и потребление дискретного продукта.

3. Распределения во времени спроса и заказов на пополнение дискретные и неравномерные.

4. Известно и постоянно время выполнения заказов.

Пример. Компания по производству электроэнергии собирается приобрести новый генератор для своей электростанции. Одна из основных деталей генератора весьма сложна и дорога, и целесообразно при заказе генератора заказать и несколько штук этих деталей в запас. Однако эта деталь индивидуально подгоняется для каждого генератора, и ее уже нельзя будет использовать на другом генераторе.

Компания желает знать, сколько запасных частей ей следует заказывать для каждого генератора. При решении этого вопроса компания располагает следующей информацией. Стоимость одной детали, если ее заказывать вместе с генератором, составляет 500$. Отсутствие этой детали в запасе при поломке приводит к выходу генератора из строя, а простой генератора и срочный заказ детали обходятся в 10 000$. Данные о частоте выхода этой детали из строя (по 100 генераторам) приведены в таблице 3.2.1.

Уравнение издержек.

Составим уравнение издержек, т.е. математическую модель. Пусть в запасе имелось деталей, а за все время эксплуатации генератора потребовалось деталей. Тогда запасу в деталей будут соответствовать следующие затраты: . Если , то запас оказался чрезмерным и , если , т.е. запасных деталей не хватило.

Число деталей, которое потребуется для ремонта генератора, заранее неизвестно, однако вероятности выхода из строя определенного числа деталей мы знаем.

Чтобы вычислить ожидаемые при данном уровне запасов затраты, необходимо просуммировать значения расходов для каждого , умноженные на соответствующие вероятности. В результате получаем

.

Таблица 3.2.1

Потребовалось запасных деталей							6 и более
Число генераторов, для которых потребовались детали
Эмпирическая вероятность выхода из строя указанного числа деталей.	0,90	0,05	0,02	0,01	0,01	0,01

 

Подсчитаем сначала численно ожидаемый суммарный расход при различных, но разумных уровнях запасов (т.е. от 0 до 5).

Будем считать, что убыток от неиспользованных запасных деталей равен их покупной стоимости, так как расходы на хранение пренебрежимо малы. Таким образом . Нехватка запасных деталей обходится в за одну штуку – такова плата за простой генератора и срочный заказ недостающей детали.

Произведя с помощью этого уравнения расчеты для различных уровней запасов, получаем следующие значения для ожидаемых суммарных расходов:

Это показывает, что оптимальный уровень запасов равен 2.

Рассмотрим аналитическое решение этой задачи.

Определим величину S, при которой ожидаемые суммарные доходы будут минимальными

.

Положим в этом уравнении , тогда

.

Но =1 или =1- .

Отсюда получаем

.

Точно также можно получить, что

.

Определим теперь , при котором и . Для этого, как видно из соотношений, определяющих и , необходимо, чтобы

.

Для любого целого , большего , и любого целого , меньшего , эти неравенства будут выполняться, поскольку при будет больше , а при будет меньше .

Поэтому при любом и при любом .

Таким образом, определено значение , при котором ожидаемые суммарные расходы будут минимальными. Это будет , удовлетворяющее приведенным неравенствам. Эти неравенства можно записать в следующем виде

.

Если таково, что

,

то из уравнения для определения получим

.

Если же таково, что

,

то из уравнения для определения получим

.
20. Проблемы управления многопродуктовыми запасами. А, В, С анализ. №9-4