Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Пусть - декартова система координат, - произвольная плоскость. Проведем через точку прямую , точку пересечения обозначим . Возьмем вектор такой, что: приложен к точке О, , направление совпадает с направлением вектора .

Если , направление выберем произвольно (рис. 4.6).

Пусть - углы наклона вектора к осям, и соответственно. Тогда . Обозначим . Имеем

; (4.11) ; (4.12)

. (4.13)

Из (4.11), (4.12) и (4.13) получим:

или

. (4.14)

Уравнение (4.14) называется нормированным уравнением плоскости (в 4(.14) - расстояние от начала координат до плоскости, - углы наклона вектора к осям, и соответственно).

Приведем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 3. Расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине результата подстановки координат этой точки в левую часть нормированного уравнения плоскости:

. (4.15)

Замечание. Для того чтобы от общего уравнения плоскости

(4.16)

перейти к нормированному уравнению (4.14), нужно обе части (4.16) умножить на нормирующий множитель ; знак выбирается противоположным знаку в (4.16).

Действительно, уравнения (4.16) и (4.14) определяют одну и ту же плоскость в том и только в том случае, когда все четыре коэффициента пропорциональны, т.е. найдется такое, что , , , .

Из первых трех равенств получим

и.

Из равенства следует, что (так как ), следовательно, и разных знаков.

Пример 3. Найти расстояние от точки до плоскости .

Найдем нормирующий множитель . Нормированное уравнение плоскости:

,

.

Прямая линия в пространстве

Определение 4. Пусть - произвольная прямая, любой вектор , такой, что параллелен, называется направляющим вектором прямой.

Пусть - произвольная декартова система координат, - произвольная прямая, , – направляющий вектор прямой. Этими условиями полностью определяется положение прямой в пространстве.

коллинеарен

. (4.17)

Уравнения (4.17) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через точку и имеющей в качестве направляющего вектор.

Обозначим в (4.17) общее отношение через , тогда

(4.18)

Так как, то хотя бы одно из чисел , , либо отлично от нуля. Пусть для определенности . Тогда при число пробегает всю ось и , и, таким образом, .

Соотношения (4.18) при называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку и имеющей в качестве направляющего вектор.

Замечание. Линию в пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т.е. как совокупность точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.

Если и - уравнения двух поверхностей, пересечением которых является линия, то система уравнений

(4.19)

определяет линию.

Пусть: и:, не параллельна и не совпадает с ней. Тогда система уравнений

(4.20)

определяет линию пересечения и, т.е. прямую.

Таким образом, система (4.20) – задание прямой как линии пересечения двух плоскостей и.

Угол между двумя прямыми в пространстве и между прямой и плоскостью

Определение 5. Углом между прямыми и называется любой из двух углов, образуемых двумя прямыми и , соответственно параллельными данным и проходящими через одну точку (рис. 4.7).

Пусть: ,: .

Тогда ,

в частности .

Отметим еще один частный случай:

и коллинеарны .

Определение 6. Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 4.8).

Пусть - произвольная плоскость, - произвольная прямая, не перпендикулярная,

:,

:.

Из определения 6 Поэтому

.

Частные случаи:

1) и перпендикулярны (рис. 4.9);

2) и коллинеарны (рис. 4.10).

 

Вопрос. Расстояние между точкой и прямой на плоскости

Определение.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d =	|A·Mx + B·My + C|
√A^2 + B^2

 

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

d =	|3·(-1) + 4·3 - 6|	=	|-3 + 12 - 6|	=	|3|	= 0.6
√3^2 + 4^2	√9 + 16

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.