Математическое выражение для кривой Лиссажу

,

где A, B – амплитуды колебаний, a, b – частоты, δ – сдвиг фаз.

Вид кривой сильно зависит от соотношения a / b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности и отрезка прямой . Ещё один пример фигуры Лиссажу – парабола .

При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии – рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где , ( – натуральное число) и

(4)

являются полиномами Чебышева первого рода степени .

Фигуры Лиссажу можно наблюдать, например, на экране электронно-лучевого осциллографа, если к двум парам отклоняющих пластин подведены переменное напряжения с равными или кратными периодами. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между периодами и фазами обоих колебаний. Если колебания, которые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные фигурам Лиссажу но искажённой формы. По виду этих фигур можно судить о форме колебаний. Таким образом, наблюдение фигур Лиссажу – удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также и формы колебаний.

Теория лабораторной работы

Для определения частоты неизвестного гармонического колебания часто используется метод фигур Лиссажу, который заключается в следующем: исследуемое колебание складывается с взаимно-перпендикулярным ему колебанием известной частоты. В общем случае в результате сложения получаются фигуры Лиссажу, по общему виду которых можно определить частоты исследуемого напряжения. В настоящей работе сравнение частот производится с помощью электронного осциллографа, на вертикально отклоняющие пластины которого подается исследуемое напряжение от источника колебаний звуковой частоты, а на горизонтально отклоняющие пластины - напряжение определенной частоты от другого генератора.

Рассмотрим два взаимно-перпендикулярных колебания и с частотами и .

(5)

где - начальная разность фаз между колебаниями. Очевидно,

Система уравнений (5) представляет собой уравнение кривой, являющейся результатом сложения этих колебаний, заданной в параметрической форме. Определим уравнение траектории точки, участвующей в данных колебаниях, исключая из уравнения (5) время :

; , где (6)

Прибавим к левой и правой части (6) минимальную величину , получим:

.

По формуле Муавра: .

Продолжим преобразования:

.(7)

Но ; .

Подставляя эти значения в формулу (7), получим:

.(8)

Разлагая по биному Ньютона выражение в квадратных скобках и приравнивая действительные части слева и справа, получим уравнение траектории колеблющейся точки.

Рассмотрим частный случай - сложение колебаний с одинаковыми частотами

, ,

Откуда: . (9)

Это уравнение в общем случае является уравнением эллипса. Рассмотрим частные случаи этого уравнения. Пусть колебания происходят с разностью фаз равной нулю или . В этом случае уравнение (9) принимает вид:

, или ,

т.е. эллипс вырождается в прямую (рис. 7).

Рис. 7.

Пусть разность фаз между колебаниями равна . Тогда уравнение (9) будет иметь вид: .

Рис. 8.

Полученная кривая является эллипсом, оси которого совпадают с осями координат (рис. 8). Если амплитуды колебаний одинаковы, то эллипс вырождается в окружность . В тех случаях, когда , по общему виду уравнения результирующего колебания, получаемого по формуле (8), трудно судить о форме траектории.

Пусть показатель степени в уравнении (8) есть число рациональное, т, е. может быть представлено в виде отношения двух целых чисел и :

.

Из системы уравнений (5) следует, что:

,

где и – частота и период колебаний в направлении оси ; и – частота и период колебаний в направлении оси . Перепишем последнее соотношение в виде:

.

Отсюда следует, что за промежуток времени точка совершит полных колебаний в направлении оси и полных колебаний в направлении оси .

После истечения времени точка будет находиться в той же фазе, что и в начальный момент, т. е. за следующий промежуток времени колебания в точности повторятся. В результате колебания будут накладываться сами на себя и дадут устойчивую картину (фигуры Лиссажу). Если же одно из чисел или иррациональное, т. е. нельзя представить в виде отношения целых чисел, то это приведет к добавочной разности фаз. В результате картина результирующего колебания будет непрерывно изменяться. Если частота одного из колебаний известна, то по виду фигур Лиссажу можно определить частоту другого. Такое сравнение частот можно проделать осциллографическим методом, подавая на горизонтально отклоняющие пластины напряжение с известной частотой а на вертикально отклоняющие пластины – исследуемое напряжение с частотой _.

Пусть , тогда: . (10)

Выведем правило нахождения отношения частоты по фигурам Лиссажу. Учитывая уравнение (10), можно переписать уравнение (8) в виде:

.

Рис. 9.

Положим . Тогда, возводя левую и правую части по биному Ньютона и приравнивая действительные части, получим уравнение – степени относительно , имеющее корней. Графически это означает, что ось пересекает кривую раз. Если , где – произвольная постоянная, то получим так же уравнение, имеющее корней.

Фигура Лиссажу будет пересекать раз прямую, параллельную оси .

Полагая , получим уравнение степени относительно X, т. е. кривая будет пересекать прямую, параллельную оси , раз. Так на рис. 9 и . Следовательно,