Равновесный рост экономики в модели Харрода—Домара

t	K - капитал	y^S - предложение	S - сбережения	I - инвестиции	C - потребление	y^D- спрос	D y / y
		157,5	31,5	31,5		157,5	0,05
	661,5	165,4	33,1	33,1	132,3	165,4	0,05
	694,6	173,6	34,7	34,7	138,9	173,6	0,05
	729,3	182,3	36,5	36,5	145,9	182,3	0,05
	765,8	191,4	38,3	38,3	153,2	191,4	0,05

 

Если же инвестиции в каждом периоде будут увеличиваться лишь на 3%, то, несмотря на замедление темпов роста производства, избыток на рынке благ будет расти (табл. 14.2), что побудит предпринимателей снизить инвестиционную активность, в то время как для восстановления равновесия необходим рост инвестиции.

Таблица 14.2.

Неустойчивость равновесного роста экономики в модели Харрода—Домара

t	K	y^S	S	I	C	y^D	y^S–y^D
		157,5	31,5	30,9		156,9	0,6
	660,9	165,2	33,0	31,8	132,2	164,0	1,22
	692,7	173,2	34,6	32,8	138,5	171,3	1,85
	725,5	181,4	36,3	33,8	145,1	178,9	2,51
	759,3	189,8	38,0	34,8	151,9	186,6	3,19

 

Гарантированный темп роста выпуска (дохода) обеспечивает полное использование растущего объема капитала. А как обстоит дело с использованием также увеличивающегося предложения труда?

В соответствии с заданной технологией полное использование одновременно обоих факторов производства достигается при . Следовательно, экономический рост при полном использовании труда и капитала возможен только при одинаковых темпах их роста: . Темп роста труда экзогенно задан, а капитала равен темпу роста инвестиций, который представляет собой произведение s s. Поэтому для поддержания полной занятости и полной загрузки производственных мощностей должно выполняться равенство

s s = n. (14.2)

 

Поскольку в рассматриваемой модели все три параметра этого равенства экзогенно заданы, то экономический рост с полным использованием производственного потенциала страны – явление случайное.

Для построения модели с устойчивым экономическим ростом и полным использованием труда и капитала приходится либо эндогенно определять норму сбережений (модель Калдора), либо применять технологию с взаимозаменяемыми факторами производства (модель Солоу—Свана).

Модель Калдора3. Н. Калдор превратил норму сбережений в эндогенный параметр на основе следующих допущений:

– получатели прибыли (предприниматели) сберегают большую часть своего дохода, чем получатели заработной платы (рабочие);

– цены на рынках факторов производства гибко реагируют на соотношение спроса и предложения (условие совершенной конкуренции).

Обозначим норму сбережений предпринимателей и рабочих соответственно s_b и s_w. Так как

 

и при совершенной конкуренции ; (где w – ставка реальной зарплаты; r – реальная доходность капитала), то y = wN + rK и общий объем сбережений в стране

.

 

Обозначим долю предпринимателей в национальном доходе . Тогда народнохозяйственную норму сбережений можно представить в виде функции от доли предпринимателей в национальном доходе

.

Теперь равенство (14.2), выражающее условие роста национального дохода с гарантированным темпом при полном использовании растущих трудовых ресурсов, принимает вид

 

.

 

Это условие выполняется, когда доля прибыли в национальном доходе

 

.

 

На рис 14.1 показано, как находится равновесная точка на графике s (W).

рис 14.1

Гибкие цены факторов производства и эндогенная норма сбережений обеспечивают в модели Калдора устойчивое равновесие независимо от типа производственной функции. Если W > W^*, то

 

,

 

т.е. объем инвестиций превысит необходимый для оснащения дополнительных работников объем капитала. Избыток капитала при невзаимозаменяемых факторах производства увеличит спрос на труд и его цену. Из-за повышения доли труда в национальном доходе снизится норма сбережений. При W < W* сбережений недостаточно для оснащения всех дополнительных рабочих капиталом; вследствие появления конъюнктурной безработицы цена труда и его доля в национальном доходе снизятся, что приведет к повышению нормы сбережений.

 

Неоклассические модели

 

Основными характеристиками неоклассических моделей экономического роста являются:

· предположение о функционировании экономики в условиях совершенной конкуренции, обеспечивающей гибкую систему цен и равенство цен факторов производства их предельной производительности;

· отсутствие функции совокупного спроса, поскольку гибкая система цен постоянно приравнивает объем совокупного спроса к объему совокупного предложения;

· отсутствие функции инвестиций, так как при равновесии на рынке благ I = S;

· представление технологии в виде производственной функции с взаимозаменяемыми факторами производства и постоянным эффектом масштаба.

Основоположниками неоклассических моделей роста являются Р. Солоу4 и Т. Сван5.

 

Модель Солоу—Свана. В закрытой экономике без государства предложение труда и капитала в каждом периоде определяется так же, как в посткейнсианских моделях

 

.

 

Труд увеличивается с экзогенно заданным темпом прироста, а прирост капитала соответствует объему инвестиций; в свою очередь инвестиции равны сбережениям, объем которых определяется кейнсианской функцией сбережений.

Технология производства представлена производственной функцией Кобба—Дугласа: .

Поскольку технология позволяет производить блага при различных сочетаниях труда и капитала, то существует возможность в каждом периоде полностью использовать оба фактора производства даже в случае их роста с неодинаковой скоростью: избыточное предложение труда можно устранить посредством снижения его капиталовооруженности, а избыток капитала – посредством повышения капиталовооруженности труда. Будет ли изменяться последняя таким образом, зависит от соотношения цен факторов производства.

Проанализируем, как должна изменяться капиталовооруженность труда в рассматриваемой модели, чтобы труд и капитал использовались полностью.

Из дефиниционного уравнения следует, что . В условиях модели темп прироста труда экзогенно задан: , а темп прироста капитала определяется нормой сбережений

 

.

 

Поэтому в заданных условиях темп прироста капиталовооруженности труда определяется по формуле

= .

 

При некоторых значениях и капиталовооруженность труда стабилизируется ( = 0). Следовательно, равенство

 

(14.3)

 

соответствует растущей экономике, в которой полностью используются постоянно увеличи­вающиеся объемы труда и капитала. Раскроем экономический смысл формулы (14.3).

Так как q есть доход на одного работника, то произведение sq представляет объем его сбережений (предложения капитала). Произведение n y показывает, сколько в среднем каждый работающий должен предложить капитала за период, чтобы оснастить всех вновь вовлекаемых в производство рабочих на уровне y. Поэтому при объем сбережений равен такому объему инвестиций, который необходим для того, чтобы при растущем с темпом n предложении труда его капиталовооруженность постоянно была равна y^*. Вновь вовлекаемые в производство рабочие должны иметь одинаковую с остальными капиталовооруженность труда потому, что у всех одна и та же ставка зарплаты, равная предельной производительности труда; последняя будет одинаковой только при одной и той же капиталовооруженности труда.

Используемую в модели производственную функцию можно представить в виде

 

.

 

Поэтому равенство (14.3) выполняется при

 

.

 

Устойчиво ли состояние экономики, когда ? При гибкой системе цен ответ на этот вопрос является утвердительным.

Допустим, что в исходной системе цен оптимальная (максимизирующая прибыль) капиталовооруженность труда равна ; тогда , что свидетельствует об избытке предложения капитала, и его цена снизится. В новой системе цен оптимальной для предпринимателей окажется более высокая, чем y₁, капиталовооруженность труда. Рост y будет продолжаться до y*. Соответственно при из-за избытка предложения труда будет снижаться его цена и капиталовооруженность.

Таким образом, техническая взаимозаменяемость факторов производства и гибкая система цен приводят экономику к устойчивому экономическому росту при полном использовании труда и капитала даже в том случае, когда исходное состояние не является равновесным.

Для представления движения экономики к равновесному росту на рис. 14.2 построен график q (y).

рис. 14.2

Угол наклона прямой, соединяющей любую точку этого графика с началом координат, представляет среднюю производительность капитала, так как

 

.

 

Предельная производительность капитала при данной капиталовооруженности труда равна тангенсу наклона касательной в этой же точке; это следует из того, что

 

.

 

Так как в соответствии с неоклассической концепцией , то отрезок ab как произведение tgg на y₀ равен прибыли на одного работающего, а отрезок 0 а – оплате единицы труда w; поэтому отношение этих отрезков представляет пропорцию распределения национального дохода между трудом и капиталом. Касательная к графику q (y) пересекает ось абсцисс в точке w / r, так как отношение катетов прямоугольного треугольника в квадранте II равно r, а 0 a = 0.

Графически условие (14.3) представлено на рис. 14.3. Кривая sq (y) проходит под кривой q (y), так как s < 1. Наклон луча, идущего из начала координат, задан темпом прироста населения. Точка пересечения обоих линий определяет равновесные значения q ^* и y^*.

рис. 14.3.

Учитывая, что , условие равновесного роста (14.3) можно представить в виде: s s^* = n. Внешне оно совпадает с условием экономического роста при полном использовании обоих факторов производства в модели Харрода—Домара. Однако за формальным сходством условия полного использования труда и капитала в обеих моделях экономического роста следует видеть существенное отличие между ними. В модели Харрода—Домара постоянство производительности капитала обусловлено технологией производства и состояние экономической конъюнктуры не влияет на значение s. В модели Солоу—Свана производительность капитала постоянна только при равновесном росте и не по техническим, а по экономическим причинам; при неравновесном росте значение s меняется, стремясь к s^*. Из рис. 14.2 и 14.3 следует, что s > s^* при y < y^* и наоборот.

Определим характеристики экономического роста в модели Солоу—Свана. Поскольку y = =const, то . При заданной технологии с неизменным эффектом масштаба и фиксированной норме сбережений это равенство расширяется

 

.

 

Следовательно, в модели Солоу—Свана экономика выходит на устойчивый рост национального дохода с постоянным темпом, равным темпу роста трудовых ресурсов; с такой же скоростью увеличиваются инвестиции и капитал. Поэтому при равновесном росте не изменяется ни производительность труда, ни производительность капитала.

На рис. 14.4 показано, как национальный доход распределяется между потреблением и сбережением (инвестициями). Поскольку каждая точка кривой q (y) отражает, сколько национального дохода приходится на одного работника, а кривая sq (y) – сколько в среднем каждый работник сберегает, то расстояние между этими кривыми представляет объем потребления на одного работника.

рис. 14.4.

Чтобы выяснить, как национальный доход распределяется между трудом и капиталом (зарплатой и прибылью), рассмотрим рис. 14.5.

рис. 14.5

Тангенс угла наклона касательной к кривой q (y) равен предельной производительности капитала. Поскольку в условиях совершенной конкуренции прокатная цена капитала соответствует его предельной производительности, то tgg = r. В этом случае отрезок EF представляет величину прибыли, приходящейся в среднем на одного работника

 

EF = tgg× HF = r y* = rK* / N*.

 

Соответственно отрезок y^* F представляет зарплату на единицу труда, т.е. цену труда

 

.

 

Проследим теперь за последствиями изменения экзогенных параметров n и s. Увеличение темпа прироста трудовых ресурсов отображено на рис. 14.6 поворотом луча n y против часовой стрелки. При заданной норме сбережений не хватает инвестиций для равновесной капиталовооруженности труда. Увеличение предложения труда снижает его цену и предприниматели переходят к менее капиталоемким способам изготовления продукции. Когда капиталовооруженность труда снизится до y₁, тогда установится новое динамическое равновесие при полном использовании труда и капитала с возросшим темпом роста национального дохода при более низкой производительности труда.

рис. 14.6.

Последствия повышения нормы сбережений представлены на рис. 14.7. Рост нормы сбережений сдвигает кривую sq вверх. В результате новое динамическое равновесие устанав­ли­вается при более высоких значениях капиталовооруженности и производительности труда, но с исходным темпом роста национального дохода, равным темпу роста населения.

рис. 14.7

В момент повышения нормы сбережений темп роста национального дохода резко увеличивается, так как возрастает не только масштаб производства, но и производительность труда из-за увеличения его капиталовооруженности. В дальнейшем вместе с замедлением роста производительности труда по мере приближения к новому равновесию темп роста национального дохода снижается до темпа роста населения. Динамика показателей результативности производства в переходный период показана на рис. 14.8.

рис. 14.8.

Поскольку в модели Солоу—Свана устойчивый рост при полном использовании обоих факторов производства достигается при любой норме сбережений и темп прироста национального дохода всегда равен темпу прироста населения, то возникает проблема определения оптимальной нормы сбережения.

«Золотое правило» накопления. Примем в качестве критерия оптимальности максимум потребления на одного занятого в каждом периоде: C/N ® max и определим ее зависимость от капиталовооруженности труда. С учетом равенств

 

 

среднюю норму потребления можно представить в виде

 

y.

 

Она достигает максимума при

 

= 0 Þ .

 

Таким образом, объем потребления на одного работающего достигает максимума, когда темп прироста капитала равен его предельной производительности.

Для определения нормы сбережений, максимизирующей среднюю норму потребления в динамическом равновесии, продифференцируем по s. Так как

, то .

 

Следовательно, средняя норма потребления максимальна при

 

. (14.4)

 

Равенство (14.4) представляет «золотое правило» накопления: если норма сбережений равна эластичности выпуска по капиталу, то в растущей с постоянным темпом экономике средняя норма потребления достигает максимума при полном использовании труда и капитала.

Так как в условиях совершенной конкуренции доля прибыли в национальном доходе равна эластичности выпуска по капиталу, то из равенства (14.4) следует, что в соответствии с «золотым правилом» вся прибыль должна инвестироваться в реальный капитал.

Графический способ определения нормы сбережений, соответствующей «золотому правилу», показан на рис. 14.9.

рис. 14.9.

При заданной технологии и фиксированном темпе роста трудовых ресурсов каждой норме сбережений соответствует своя устойчивая капиталовооруженность труда. Чтобы определить, какая s обеспечивает максимум , нужно к графику производственной функции провести касательную, тангенс угла наклона которой равен n, так как в соответствии с «золотым правилом» , а при равновесном росте = n. Точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки касания на ось абсцисс, с лучом n y определит оптимальную норму сбережений. Через эту точку должна проходить кривая sq.

Эндогенная норма сбережений. Возможность устойчивого экономического роста с полным использованием факторов производства при различных нормах сбережений указывает на то, что в модели Солоу—Свана норма сбережений может быть эндогенным параметром. Рассмотрим два варианта эндогенной нормы сбережений.

В соответствии с неоклассической концепцией (s = s (r)): норма сбережений повышается по мере роста реальной доходности (предельной производительности) капитала. В этом случае условие равновесного роста принимает вид: . Так как с повышением (понижением) капиталовооруженности труда предельная производительность капитала снижается (повышается), то при равновесие достигается не только за счет изменения y, но и в результате сдвига кривой sq: при график смещается вниз, а при – вверх. Поэтому при s = s (r) в динамическом равновесии производительность и капиталовооруженность труда ниже, чем при s = const.

В соответствии с концепцией Н. Калдора (см. 14.1) норма сбережений тоже зависит от производительности капитала

 

.

 

Поэтому условием равновесного роста является

 

. (14.5)

 

В том, что и с нормой сбережений Н. Калдора в модели Солоу—Свана существует устойчивое равновесие, можно убедиться на основе следующих рассуждений: при малых значениях y средняя и предельная производительности капитала большие, поэтому левая часть равенства (14.5) больше n; при больших значениях y средняя и предельная производительности капитала низкие, поэтому левая часть равенства (14.5) меньше n. Следовательно, при увеличении y найдется точка равновесия, устойчивость которого обеспечивается гибкостью цен.

«Омут бедности». В соответствии с производственной функцией, используемой в модели Солоу—Свана, рост капиталовооруженности труда сопровождается снижением производительности капитала: кривая q (y) выпукла к оси ординат. Такое соотношение затраты—выпуск при заданном уровне развития техники характерно для индустриальных и постиндустриальных экономик в условиях полного использования трудовых ресурсов. Для стран, переходящих от аграрной к индустриальной стадии развития, рост капиталовооруженности труда может сочетаться с повышением производительности капитала. В этом случае график q (y) принимает вид кривой, изображенной на рис. 14.10, и равенство (14.3) выполняется при трех различных значениях капиталовооруженности труда, как показано на рис. 14.11.

рис. 14.10. рис. 14.11.

Динамическое равновесие, устанавливающееся при y₂^*, является неустойчивым: любое отклонение от него приводит к такому соотношению между спросом и предложением на рынке капитала, которое либо снижает капиталовооруженность труда до y₁^*, либо повышает ее до y₃^*. Поэтому, если страна находится в динамическом равновесии при капиталовооруженности труда y₁*, то для устойчивого повышения производительности труда ей нужны большие единовременные капиталовложения: если не удастся сразу превзойти y₂^*, то восстановится исходное состояние экономики. Сократить разрыв между y₁^* и y₂^* можно за счет увеличения нормы сбережения (сдвига кривой sq (y) вверх).

Поскольку во время перехода от аграрной стадии развития к индустриальной страна, как правило, не имеет собственных средств для крупных капиталовложений, то выбраться из «омута бедности» без помощи из вне ей не удается.

Эластичность замещения факторов производства и равновесный рост. Как уже отмечалось, условие устойчивого роста в модели Солоу—Свана можно представить в виде уравнения: ; в нем экзогенно заданы s и n, а s снижается по мере роста капиталовооруженности труда

 

 

Поэтому графически процесс движения к устойчивому экономическому росту можно представить так, как показано на рис. 14.12. Поскольку = , то расстояние между изображенными на этом рисунке линиями представляет темп прироста капиталовооружен­ности труда.

рис. 14.12.

Так как n > 0, а s ® ¥ при y ® 0 и s ® 0 при y ® ¥, то существует единственная точка устойчивого равновесного роста с неизменными значениями капиталовооруженности труда и производительности капитала. Это — свойство технологии, отображающейся производственной функцией Кобба—Дугласа.

Специфика технологии (зависимости затраты—выпуск) характеризуется эластичностью замещения факторов производства

,

 

где e – коэффициент эластичности замещения, показывающий, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда при изменении отношения предельных производительностей труда и капитала на 1%, чтобы выпуск не изменился. В технологии Кобба—Дугласа e = 1.

В наиболее общем виде технология производства отображается производственной функцией с постоянной эластичностью замещения

 

Эластичность замещения факторов производства при такой технологии определяется по формуле: e = 1/(1 + r). Когда r ® ¥, тогда y ® ; если r ® 0, то y ® .

Средняя производительность капитала при технологии с постоянной эластичностью замещения факторов

 

.

 

Если , т. е. , то ; соответственно . Поэтому когда технология такова, что эластичность замещения факторов производства больше единицы, и темп прироста трудовых ресурсов превышает , тогда в растущей экономике установится динамическое равновесие с постоянным темпом прироста капиталовооруженности и производительности труда, равным разности ( – n). Такой вариант изображен на рис. 14.13.

рис. 14.13.