Расчет погрешности измерений

 

Все погрешности можно разделить на два типа - систематические и случайные.

Систематические обычно остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Случайные же хаотически изменяются и в равной степени могут быть как положительными (увеличивают значение измеряемой величины по отношению к ее истинному значению), так и отрицательными (уменьшают значение измеряемой величины).

Случайные ошибки всегда присутствуют при измерениях. При многократном повторении измерений они являются причиной разброса отдельных результатов, благодаря чему их можно обнаружить путем повторных измерений и учесть. Для этого следует увеличивать количество повторных измерений и находить их среднее арифметическое значение, при этом будет получаться величина, монотонно приближающаяся к истинному значению.

Разновидность случайных ошибок - грубые ошибки или промахи. Их источник - неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. В большинстве случаев промахи хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других. При обработке результатов измерений такие отсчеты следует отбрасывать. Однако промах можно заметить, только если проделано несколько измерений одной и той же величины. Поэтому если есть основания полагать, что на результат измерения воздействуют случайные факторы, то нельзя ограничиваться одним измерением, обязательно следует провести его несколько раз.

Систематические ошибки возникают вследствие погрешностей измерительной аппаратуры (спешит или отстает секундомер, сбилась настройка электронного прибора, сместился регулировочный грузик в механических весах и т.д.), а также из-за того, что условия измерения отличаются от нормальных для работы прибора, а поправку на это несоответствие не делают. Например, при определении плотности вещества по объему тела надо учитывать, что размеры тел при повышении температуры обычно увеличиваются, а масса остается одной и той же. Поэтому плотность нагретых тел ниже, чем холодных.

Часто роль случайных факторов незначительна. В этом случае измерение каждой величины проводится, как правило, только один раз, и точность его определяется погрешностью используемого прибора (ее часто называют приборной).

При оценке измерений, помимо абсолютной погрешности ∆Х=|А_п-А_д|, равной абсолютной величине разности между показанием прибора А_п и действительным (истинным) значением А_д измеряемой величины, часто используют относительную погрешность, равную │∆Х/А_д│, и приведенную погрешность. Последняя равна отношению абсолютной погрешности к предельно возможному значению на шкале, т.е. │∆Х/А_m│, где А_m - наибольшее значение, которое можно измерить по шкале прибора. Наибольшее значение приведенной погрешности, соответствующее максимально возможной абсолютной погрешности, допускаемой данным прибором, называется классом точности:

К = (∆Х / А_m)∙100 %.

Так, по ГОСТ 1845-52, электроизмерительные приборы делятся на семь классов точности: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,8; 2,5; 4,0.

Значение класса точности помещается на лицевой стороне прибора. Зная К, можно найти наибольшую абсолютную погрешность:

∆Х_max=(К∙А_m) / 100.

Предположим, что мы провели серию измерений некоторой физической величины х. Результат отдельного i -го измерения обозначим через х_i, а общее число измерений n. Если систематическая ошибка отсутствует, то разумно предположить, что значения измерений расположатся вблизи неизвестного нам истинного значения А_Д измеряемой величины, причем отклонения в сторону больших и меньших значений будут равновероятными. Опыт показывает, что во многих случаях такое предположение справедливо. Тогда в качестве наилучшего приближения к истинному значению следует взять среднее арифметическое всех n отдельных измерений:

Для упрощения вычислений, когда количество измерений n велико, в качестве приближенного значения измеряемой величины можно взять среднее между максимальным и минимальным значениями, полученными при измерениях (естественно, что в этом случае гарантированно не должно быть промахов):

Точность соответствия среднего значения истинному зависит от ряда факторов, и в первую очередь от точности каждого отдельного измерения и их числа. Поэтому желательно, выполнив измерения, оценить точность полученных результатов.

При оценке принято указывать интервал значений измеряемой величины как ± Δx, в пределах которого с определенной вероятностью может оказаться истинное значение измеряемой величины. Величина Δ x называется погрешностью или ошибкой измерения, а интервал значений от( - Δx)до ( + Δx) - доверительныминтервалом.

Доверительный интервал не является исчерпывающей характеристикой точности измерения. Нужна количественная характеристика его достоверности, показывающая, насколько можно быть уверенным в том, что истинное значение измеряемой величины окажется в пределах доверительного интервала. Такая характеристика - вероятность того, что среднее значение отличается от истинного не более, чем наΔ x, - называется доверительной вероятностью.

Пусть результат серии измерений записан в виде Х = 25 ± 2 и сказано, что приведенный доверительный интервал (от 23 до 27) соответствует доверительной вероятности α = 0,95. Что это означает?

Пусть измерения производятся большое число раз. Например, сделаем n = 1000 однотипных измерений. Результаты будут отличаться друг от друга. Причем примерно в a_n = 950 случаях результаты будут отличаться от истинного значения измеряемой величины не более чем на Δ x = 2, а результаты остальных измерений выйдут за пределы доверительного интервала.

Заметим, что колебание результатов измерений - следствие, как правило, случайных факторов. В ряде случаев их влияние незначительно. Тогда предельную ошибку измерений часто берут равной приборной погрешности (понятие приборной погрешности рассматривается ниже) и доверительный интервал определяют исходя из этой погрешности. Однако если случайная погрешность существенна, то используются специальные методы определения доверительного интервала по результатам серии измерений.

Один из простейших - метод Корнфельда - заключается в выборе доверительного интервала в пределах от минимального до максимального значения результата измерений.

В этом случае справедливы следующие формулы:

где n - число измерений, a – доверительная вероятность.

Неудобство метода заключается в том, что при заданном числе измерений мы не можем произвольно выбрать доверительную вероятность a, она вычисляется для данного числа измерений. В некоторых случаях она может оказаться слишком маленькой, чтобы можно было воспользоваться полученными результатами.

Существуют методы, свободные от этого недостатка. Однако они требуют несколько более сложных вычислений.

Кроме среднего арифметического для оценки точности измерений часто используют среднеквадратичное отклонение:

 

 

Обычно случайную погрешность рассчитывают по формуле:

 

 

где a_n,p - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и выбранного значения доверительной вероятности p. Значения a_n,p для ряда случаев приведены в табл. 1.

Таблица 1