Расчет подкрепленных тонкостенных конструкций по балочной теории

 

Рассчитать сечение оболочки типа крыла самолета

 

 

b, см	A, см	B, см	C, см	H, см	,	δ, см	, кГ	, кГ·см
					2,4	0,13		1,5

 

Примечание:

Принять:

 

Материал поясов лонжеронов – сталь (F₅, F₆), а стрингеров (f₁), стенок и обшивки оболочки – дюралюминий.

 

Определить:

1. Нормальные и касательные напряжения. Построить эпюры s_z и q.

2. Погонный угол закручивания.

3. Координаты центра изгиба.

 

Определение нормальных напряжений

1.1 Определение коэффициента редуцирования

В качестве приведения принимается материал поясов лонжеронов – сталь. Тогда для поясов имею

 

Для стрингеров и обшивки:

Где E=2,1·10⁵ МПа – модуль Юнга стали, E =7,4·10⁴ МПа – модуль упругости алюминиевого сплава φ=7,4·10⁴/2,1·10⁵ 0,33

 

1.2 Определение приведенных площадей сечения

Приведенные площади продольных элементов вычисляются по следующей формуле:

F_pi=F_i·φ_i

 

где F_i – истинная площадь i-го элемента, φ_i – коэффициент редуцирования i-го элемента.

 

1.3 Определение моментов инерции сечения

Согласно данным нахожу координаты центров тяжести (x_i, y_i) всех стрингеров и поясов лонжеронов относительно системы координат OXY, указанной на рисунке.

 

Статические моменты определяю по следующим формулам:

где у_i – ордината площади F_Pi.

здесь х_i – абсцисса площади F_Pi.

 

Определяю осевые моменты инерции:

Центробежный момент инерции:

1.4 Определение центра тяжести и центральных моментов инерции сечения.

Координаты ЦТ сечения нахожу по формулам:

где F – суммарная площадь сечения подкреплённой оболочки.

 

Центральные моменты инерции:

 

1.5 Определение коэффициента несимметрии сечения

Коэффициент несимметрии сечения k нахожу по следующей формуле:

1.6 Определение обобщенных координат центров тяжести стрингеров и поясов лонжеронов

 

Обобщённые абсциссы и ординаты определим по формуле:

1.7 Определение нормальных напряжений.

Предполагая, что нормальные нагрузки воспринимаются стрингерами и поясами лонжеронов с присоединённой обшивкой, записываю следующую формулу для вычисления s_i:

 

где М_ОХ=М_изг= ·10⁶ к ·см, М_ОУ=0, N=0.

 

Таким образом, выражение примет следующий вид:

Результаты вычислений по пункту 2.1. сведены в таблицу 1.

 

Для проверки правильности расчётов использую следующее равенство:

= ·10⁶ кг ·см

 

 

Таблица 1
i	FPi (см^2)	Xi(см)	Yi(см)	(см)	(см)	si(кг/см^2)
	0,8			-58,57	5,48	1211,53
	0,8		-6	-58,79	-8,52	-1883,62
	0,8			-33,14	7,67	1695,7
	0,8		-8	-35,0	-10,33	-2283,78
	9,6			-8,93	9,86	6487,09
	7,2		-10	-11,21	-12,14	-7987,15
	0,8			44,65	6,29	1390,61
	0,8		-6	43,21	-7,71	-1704,54
	1,6			71,24	2,51	554,92
	1,6		-2	70,62	-3,49	-771,58
SX=51,2 см^3	SY=2016 см^3	JX=2387,2см^4
JY=192009,6см^4	JXY=3916,8 см^4	F=24,8см^2
J0Х=2281,96 см^4	J0Y=28129,61 см^4	J0XY= -236,14
X0=81,29 см	Y0=2,06 см	k=1,0009

1.8 Построение эпюры нормальных напряжений (кг/см²)

Определение касательных напряжений и погонного угла закручивания

2.1 Определение ПКС в незамкнутом контуре

Преобразую двузамкнутый контур сечения оболочки в открытый, введя разрезы в обшивке вдоль образующих оболочки, справа и слева от точки 5 (см. рис. 3). Искомые ПКС представляю в виде:

 

, (1)

где:

 

В последнем выражении величины известны.

Величину определяю для участков обеих контуров, предварительно определив величину

 

Обозначаю, участки номерами тех продольных элементов, с которых они начинаются вдоль принятого обхода контуров

 

2.2 Определение ПКС q₀₁, q₀₂.

 

Направления ПКС q₀₁ и q₀₂ показаны на рисунке 3. Составляю разрешающую систему уравнений для определения ПКС q₀₁ и q₀₂, и погонного угла закручивания q:

 

 

(2)

 

 

где удвоенные площади первого и второго контуров соответственно;

r - расстояние меду полюсом и касательной к контуру в точке с координатой продольного элемента (стрингера или пояса лонжерона).

 

Принимаю координаты полюса P(0;0); cм – координата перерезывающей силы.

 

Остальные неизвестные коэффициенты определяю по следующим формулам:

 

/см

/см

/см

/см

см

см

Ω₁= см²;

Ω₂= см²;

кг см

Система (2) имеет следующее решение:

 

69,745 кГ/см

 

75,691 кГ/см

 

Погонный угол закручивания определён. Строим эпюру

 

 

Определение суммарного ПКС

Суммарный ПКС определяю по формуле (1), эпюра представлена на рисунке

Расчёты ПКС приведены в приложении 2, результаты сведены в таблицу 2

 

№ участка
Первый Контур	5 – 3				94,5	69,745
3 – 1	5,289	5,289	-17,623	94,5	67,678
1 – 2	4,956	8,627	-29,417	94,5	45,884
2 – 4	-5,153	5,062	-15,380	94,5	65,921
4 – 6	-7,101	-3,435	6,39	94,5	78,698
Второй Контур	5 – 6	21,209	21,209	-64,274	239,38	-23,973
6 – 8	-17,536	4,205	-10,865	239,38	67,125
8 – 10	-5,023	-1,704	4,319	239,38	75,62
10 – 9	-6,648	-7,472	23,93	239,38	65,224
9 – 7	5,863	-2,762	6,806	239,38	77,108
7 – 5	4,589			239,38	75,691