Расчёт тарифов предпринимательских рисков

Виды предпринимательских рисков:

· страхование убытков по единица продаж

· депозитов

· банков невозврата кредитов

· остановок производства

· инноваций – венчурного бизнеса

· рисков снижения объемов продаж или увеличение расходов

· страхование урожаев

Все эти виды страхования страхуют потери, которые произошли не по вине страхователя. Страховщик имеет право контролировать прочес соблюдения технологий норм.

На примере страхования урожаев

X-сам урожай

FК-функция распределения величины урожая.

 

В качестве ориентира вводится ф-я потерь. За ориентир принимается некоторая средняя , f-франшиза, ,

 

величина обратная по отношения к ф-ции х

Fy=1-Fx

dFy = - fFx

 

ML – средние потери

EL –ожидаемые потери, они меньше чем средние

EL=ML-pa

Событие

 

Х Y

0

0

 

Ф-я потерь 1 и 2 способ соответсвенно

 

1)

 

 

 

Таким образом

EL=F нижний частный момент порядка 1, относительно

 

2) ;

 

 

dFy = -dFx

 

EL=E(Y|I)pa; E(Y|I) ML

 

 

 

Модель коллективного риска и стохастическое ур-ние динамики страховых резервов.

 

Составной Пуассоновский процесс N(t)

 

Zi = Ki Ii Si

n – договоров

EIi = p

 

Модель коллективного риска имеют следующие допущения:

1) процесс поступления рисков растянут во времени. У нее есть динамика, при это не рассматривается вероятность индивидуальных рисков (нет n и p).

2) Размеры выплат друг от друга не зависят

3) В страх. компанию поступает непрерывно во времени приток договоров с некоторой интенсивностью.

 

В этих моделях рассмотрим динамику резервов.

 

Задача: ставится задача исследовать вероятность разорения компании (резервы станут <0) в зависимости от стартового капитала и страховой премии, величины страхового тарифа.

 

Yt –диск переменная – стартовый капитал страховщика

у + ct -

с – страховая премия

t – время

N(t) – случайная величина, кол-во рисков

 

Z=

 

N=

 

 

Z= ; N=1,2,3……

 

Будем считать, что все Zn друг от друга не зависят и все они одинаковы.

 

Sn=1, Rn-одинаковые

Zn=Rn

 

Z=

 

ER =

ED=

EN

DN=

 

Надо найти EZ, DZ

 

Если бы Z=NR, то как неоднородный портфель (???)

EZ= * (???)

 

EZ= ) * p(N=n)

 

= =

 

=ER = ER EN

EN

 

DZ =

интенсивность, скорость

E(ct)=EZ= , тогда C= , С - страховая премия, тариф.

C= *(1+ )

Т Т0 Т+r

 

 

вероятность, величина разорения

=p(Yt

 

Если Y0<0, то =1

 

N(t) – представляет собой пуассоновский процесс

P(N(t) = e

N(t)

T

-среднее время между 2 скачками

T-время между событиями

 

Ezt= (???)

 

Величину можно получить решая интегрально дифференциальное уравнение и если Z распределеятеся по экспоненциальному закону F(Zt Z) = 1- e , то имеется решение:

 

 

Если y =0, то

 

-средние суммы, на которые мы страхуем

 

В общем случае имеет место неравенство Крамера-Лундберга

 

Где R -положительный корень интегрального уравнения

 

 

x=0,1….

генерирует поток событий

 

t

 

- время между событиями

Так же потоки являются аппаратами массового обслуживания.

 

Простейший пуассоновский поток – процесс с независимыми приращениями

Этот поток обладает св-ми

1)стационарность, т.е. вероятность появления х событий на интервале (t; t+ )

Зависит от -ширины интервала и от х, но от t не зависит. Пара (х; ) определяет интенсивность событий.

постоянна, потому поток стационарен

 

2) отсутствие последействия – предыстория не влияет на вероятности появления событий в будущем. Только начальное состояние влияет на будущее, прошлое не имеет значения, его нет.

 

3)ординарность, т.е. вероятность появления в некотором «малом» интервале времени более чем одного события почти равна 0. Эта вероятность на порядок меньше, чем вероятность вообще ни одного события или одного события.

 

- среднее время между события малость означает, что T <<1

 

Следствием из этих св-в является то, что интервалы времени между событиями распределены экспоненциально. расположены экспоненциально

 

Проверка св-в

 

1)

Разложим е в ряд Тейлора и будем считать, что , т.е -величина маленькая.

А если , то является величиной второго порядка малости.

 

означает, что интервал

T=среднее время между отдельными событиями

 

Из проверки видно, что интервалы времени распределены по экспоненциальному закону.

 

Т.к от t не зависит, то можно положить, что t=0

Это означает, что ф-я распределения

 

Кривая