Необхідність використання систем рівнянь

Багато економічних взаємозв'язків допускають моделювання одним рівнянням. У більшості випадків використання МНК для оцінки параметрів таких моделей є найбільш спроможною процедурою. Однак ряд економічних процесів моделюється не одним, а декількома рівняннями, що містять як повторювані, так і власні змінні. Внаслідок цього виникає необхідність використання систем рівнянь. Крім того, в одних рівняннях певна змінна розглядається як пояснююча (незалежна), але в той же час вона входить в інше рівняння як залежна (пояснювальна) змінна.

1. Модель «Попит - пропозиція»

Одна з найпростіших систем одночасних рівнянь використовується при моделюванні попиту-пропозиції в ринковій економіці. У цьому випадку в припущенні, що попит Q^D і пропозиція Q^S у момент часу t є лінійними функціями від ціни Р в один і той же момент часу, можна отримати наступну систему:

Функція попиту: q_t^D = α₀ + α₁ р_t + u_t1, α₁ < 0, (1₁)

Функція пропозиції: q_t ^S = β₀ + β₁ р_t + u_{t 2}, β₁ > 0, (1₂)

Умова рівноваги: q_t^D = q_t ^S. (1₃)

 

Наявність випадкових відхилень у даних моделях пов'язана в першу чергу з відсутністю ряду важливих пояснюючих змінних (доходу, цін супутніх товарів, смаків, очікувань, ціни ресурсів, податків тощо). Зміна одного із цих факторів може відобразитися на моделі. Наприклад, ріст доходу споживачів може зрушити криву попиту нагору (рис.14). Це призведе до зміни рівноважної ціни й рівноважної кількості.

Рис. 16

Модель (1) може бути вдосконалена. Наприклад, якщо до функції попиту додати дохід споживачів Y, то одержимо систему (2):

Функція попиту: q_t^D = α₀ + α₁ р_t + α₂ у_t + u_t1, α₁ < 0, (2₁)

Функція пропозиції: q_t ^S = β₀ + β₁ р_t + u_{t 2}, β₁ > 0, (2₂)

Умова рівноваги: q^D = q^s. (2₃)

2. Модель формування доходів Кейнса

Найпростіша модель даного типу в припущенні, що розглядається закрита економіка без державних видатків, має вид:

Функція споживання: c_t = β₀ + β₁ у_t + u_t (З₁)

Макроекономічна тотожність: у_t = c_t + і_t (3₂)

Тут Y, С, I характеризують сукупний випуск, обсяги споживання та інвестицій відповідно (y_t, c_t, i_t - значення цих змінних у момент часу t).

3. Моделі IS-LM

Однією з можливих нестохастичних форм моделі IS (рівноваги на ринку товарів) є наступна модель: Функція споживання: c_t = β₀ + β₁ у_(d)t, (4₁)

Функція податків: τ_t = α₀ + α_{1 ·} у_t, (4₂)

Функція інвестицій: і_t = γ₀ + γ_1· r_t, (4₃)

Розташований дохід: у_(d)t = у _t - τ_t, (4₄)

Державні видатки: g_t = , (4₅)

Макроекономічна тотожність: y_t = c_t + і_t + g_t. (4_б),

де y_t , c_t , i_t , g_t , τ_t , у_(d)t , r_t - значення в момент часу t національного доходу (Y), споживання (С), очікуваного обсягу чистих інвестицій (І), державних видатків (G, у цьому випадку G = = const), обсягу податків (Т), наявного доходу (Y_d), процентної ставки (r).

Підставляючи (4₂) і (4₄) до (4₁). Потім результуюче співвідношення, а також (4з) і (4₅) підставимо у (4_б). Маємо y_t = π_о + π_1· r_t (5)

де ,

Формула (5) є рівнянням лінії IS, що задає таке співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому ринок товарів перебуває в рівновазі.

Рівняння лінії LM (лінії рівноваги на ринку грошей) задає таке співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому попит на гроші дорівнює їхній пропозиції. Одна з нестохастичних форм даної моделі має вигляд:

Функція попиту на гроші: M_t^D = а + by_t - cr_t, (6₁)
Функція пропозиції грошей: M_t^S = (6₂)

Умова рівноваги: M_t^D = M_t^S. (6₃)

Тоді співвідношення системи (б₁) можна представити у вигляді y_t = λ₀ + ^,λ₁· + λ₂r_t. (7)

Тут λ₀= - а/b, λ₁· = l/b, λ₂· = c/b.

Співвідношення (7) відоме як рівняння LM. Модель IS -LM представлена на рис. 15.

Рис. 17

Точка перетину даних ліній визначає співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому обидва ринки перебувають у стані рівноваги. Ця точка знаходиться із розв’язання системи рівнянь (5) і (7).

Складові систем рівнянь

При дослідженні систем одночасних рівнянь змінні діляться на два великі класи - ендогенні й екзогенні змінні. Ендогенні змінні - це змінні, значення яких визначаються всередині моделі. Екзогенні змінні - це зовнішні щодо моделі змінні. Їхні значення визначаються поза моделлю і тому вони вважаються фіксованими.

Така класифікація змінних дозволяє вказати методи визначення ендогенних змінних. Наприклад, у системі (1) функції попиту та пропозиції, умова рівноваги визначають величини попиту q_t^D пропозиції q_t ^S і ціну Р. Всі ці змінні є ендогенними, тому що вони визначаються усередині системи. У моделі (3) змінні С і Y є ендогенними змінними, які оцінюються усередині моделі. Змінна I задається (визначається) поза моделлю. Отже, вона є екзогенною змінною.

Зі співвідношення (З) видно, що змінна С залежить від Y і від ε, зі співвідношення (З₂) - Y залежить від С и від I. Неважко помітити, що обидві змінні С и Y можуть бути виражені через І і ε. Підставивши c_t із другого співвідношення в перше, маємо:

y_t = (8₁ ) с_t = (8₂ )

Коефіцієнт в (8₁) представляє грошовий мультиплікатор, що визначає, на яку величину збільшується сукупний дохід при збільшенні обсягу інвестицій на одиницю.

Рівняння, що становлять вихідну модель, називають структурними рівняннями моделі. Їх підрозділяють на поведінкові рівняння й рівняння-тотожності. У перших з них описуються взаємодії між змінними. У других - співвідношення, які мають виконуватися у всіх випадках (помітимо, що тотожності не містять оцінцені параметри й випадкові складовіі). Наприклад, у моделі (3) рівняння (3₁) - поведінкове, а (3₂) - тотожність.

Рівняння, які відображають схему визначення ендогенних змінних, називаються рівняннями у наведеній формі (наведеними рівняннями): ендогенні змінні виражені тільки через екзогенні або визначені заздалегідь змінні, а також випадкові складовіі. Прикладами таких рівнянь є рівняння (8₁) і (8₂). Визначеними заздалегідь змінними називаються лагові ендогенні змінні, значення яких визначені до розгляду співвідношень. Наприклад, рівняння попиту в моделі «попит - пропозиція» матиме вигляд q_t ^S = α₀ + α₁ і_t + α₂ р_{t -1} + ε_t, (9)

Тут змінна p_t -₁ – це ціна товару в попередній момент часу; p_t+1 - визначена заздалегідь змінна.

3. МНК для систем одночасних рівнянь - непрямий метод найменших квадратів(НМНК).

Безпосереднє використання МНК для оцінки параметрів кожного з рівнянь регресії, що входять до системи одночасних рівнянь, у більшості випадків приводить до незадовільного результату: оцінки виходять зміщені й неспроможними, а статистичні висновки за ними - некоректними.

Один з таких можливих методів - непрямий метод найменших квадратів (НМНК), заснований на використанні наведених рівнянь.

Для ілюстрації КМНК розглянемо модель Кейнса формування доходів (3). У наведеному виді ця модель виражається через систему (8).

Покладемо в (8₁) ,

Покладемо в (8₂) , , ≈

Тоді замість (8₁) і (8₂) маємо:

y_t = λ₁₀ + λ₁₁ · і_t + v_t, (9₁)

c_t = λ ₂₀ + λ_21· і_t + v_t. (9₂)

Тому що обсяг інвестицій I є екзогенною змінною моделі, то і_t некорелює із випадковим членом ε_t в рівняннях (8₁), (8₂), а отже, і з v_t в (9₁) і (9₂). Це означає, що для випадкового члена v_t виконуються передумови МНК. Тому оцінки λ*₁₀ , λ*₁₁, λ*₂₀ , λ*₂₁, отримані за МНК, будуть значущими оцінками параметрів λ₁₀ , λ₁₁, λ₂₀ , λ₂₁. Знаючи отримані оцінки, нескладно визначити оцінки b₀ і b₁ коефіцієнтів β₀ і β₁ рівняння c_t = β₀ + β₁ у_t + ε_t (З₁): b₁ = β₁ ^* = b₀ = β₀ ^* =

Визначення оцінок за зазначеною схемою називається непрямим методом найменших квадратів (НМНК). Оцінки b₀ і b₁, отримані за НМНК, є спроможними, а отже, при більших вибірках велика ймовірність, що вони будуть близькі до істинних значень параметрів.

Таким чином, НМНК складається із наступних етапів:

1. Виходячи із структурних рівнянь, будуються рівняння у наведеній формі.

2. Оцінюються за МНК параметри рівнянь у наведеній формі.

3. На підставі оцінок, знайдених на етапі 2, оцінюються параметри структурних рівнянь.