Напряженное состояние в точке

Напряженное состояние в точке можно описать с компонентами напряжения:

δ_х, δ_у, δ_z, τ_ху, τ_xz, τ_yz,

 

δ_х, δ_у, δ_z. - нормальные напряжения

τ_ху,τ_xz,τ_yz - касательные напряжения

z

δ_z

 

τ_хz

τ_yz

τ_zy τ_xz

 

τ_xy δ_х

δ_х τ_yz

х

 

y δ_у

 

Обобщенный закон Гука

Согласно закону Гука деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению:

(3.1)

где - деформация растяжения или сжатия;

- нормальное напряжение;

Е – модуль Юнга (модуль деформации при растяжении и сжатии).

μ - коэффициент Пуассона, характеризует упругие свойства тела, связывает деформации по взаимно перпендикулярным направлениям.

γ - деформации сдвига.

, (3.2)

где G – модуль деформации при сдвиге, причем:

(3.3)

Действие внешних сил приводит к изменению не только линейных размеров и форм тела, но и объема.

Объемная деформация пропорциональна среднему напряжению:

(3.4)

где ΔV – изменение объема элементарного куба под действием внешней нагрузки;

V – начальный объем элементарного куба;

К – модуль объемной деформации.

(3.5)

Тогда, обобщенный закон Гука записывается в виде:

(3.6)

(3.7)

 

Зависимость напряжения от деформации для различных тел:

 

 

δ_с – предел прочности хрупкого тела,

δ_s', δ_s" - пределы текучести

Соответственно, зависимости δ от деформации έ различают:

1- хрупкие тела,

2- упрочняющиеся тела,

3- идеально упруго-пластические тела.

 

Хрупкие (1) деформируются упруго вплоть до разрушения. Упрочняющиеся (2) тела до предела текучести деформируются упруго, а после происходит пластическая деформация. Идеально упруго-пластические (3) до предела текучести также упруго деформируются, затем пластическая деформация увеличивается при постоянном напряжении.

Основными видами разрушений является отрыв и срез.

Отрыв характерен для хрупких тел, пластические деформации незначительны, поверхность разрушения перпендикулярна к напряжению.

Для пластических и упрочняющихся тел характерно разрушение срезом, поверхность разрушения совпадает с плоскостью действия макс. касательных напряжений.

3.3. Условия перехода твердых тел из упругого состояния в пластическое.

Условие Треска-Сен-Венана (Треск – француз. инженер):

Пластическое состояние наступает, когда во всех точках среды макс. касательное напряжение достигает определенного значения:

2 | τ₂ | = |σ₁-σ₃| =σ_s, (3.8)

где σ_s – предел текучести материала при простом растяжении.

 

Условие Мизеса определяет пластическое состояние в случае, когда удельная упругая энергия изменения формы достигает определенной величины, характерной для материала данного тела

Удельная упругая энергия деформирования:

(3.9)

U можно представить в виде суммы удельных энергий упругого изменения объема U₀ и упругого изменения формы U_ф.

Удельная упругая энергия изменения объема:

(3.10)

Тогда удельная упругая энергия изменения формы:

U_ф=U-U₀ = ½ (σ₁ε₁ + σ₂ε₂ + σ₃ε₃) – 3 (1-2μ) σ₀²/2Е (3.11)

После преобразований получим:

- УСЛОВИЕ МИЗЕСА (3.12)

Условие Мизеса учитывает 3 главных напряжения и в случае 3-осного напряженного состояния дает лучшие результаты, чем условие Треска-Сан-Венана, которое не учитывает σ_2.

Теории прочности.

Первые исследования, проводимые Леонардо да Винчи и Галилеем привели к созданию первой теории прочности, согласно которой предельное состояние наступает тогда, когда достигает предельного значения одно из главных напряжений:

-σ_n < σ₁ < σ_n;

-σ_n < σ₂< σ_n; (3.13)

-σ_n < σ₃ < σ_n,

где σ_n – предельное напряжение, полученное при одноосном растяжении (+) или сжатии (-).

 

Вторая теория прочности определяет предельное состояние в случае, когда главная деформация достигает предельного значения.

Запишем через обобщенный закон Гука, используя нормальные напряжения:

-σ_n < σ₁ - μ (σ₂ + σ₃) < σ_n;

-σ_n < σ₂- μ (σ₁ + σ₃) < σ_n; (3.14)

-σ_n < σ₃ - μ (σ₁ + σ₂) < σ_n.

 

Третья теория прочности

При разрушении или достижении пластического состояния значительную роль играют касательные напряжения.

Условие прочности имеет вид:

-τ_n < τ₁ < τ_n;

-τ_n < τ₂ < τ_n; (3.15)

-τ_n < τ₃ < τ_n;

Выразим касательные напряжения через нормальные:

; ; (3.16)

получим:

-σ_n < σ₂ - σ₃ < σ_n;

-σ_n < σ₁ - σ₃ < σ_n; - третья теория прочности (3.17)

-σ_n < σ₁ - σ₂ < σ_n.

 

Третья теория прочности совпадает с условиями Треска-Сен-Венана. С экспериментальными данными хорошо согласуется при двухосном напряженном состоянии, нашла применение в технике.

Четвертая или энергетическая теория прочности связывает разрушение или достижение пластического состояния с предельным значением удельной энергии формоизменения.

Запишем это условие через главные нормальные напряжения:

2σ²_n ≥ (σ₁ – σ₂)² + (σ₁ - σ₃ ² +(σ₂ - σ₃)² (3.18)

Проведем аналогию с условиями Мизеса.

(3.19)

, (3.20)

По теории прочности U_фп ≥ U_ф. Произведя соответствующие преобразования, можно убедиться, что энергетическая теория прочности совпадает с условием Мизеса. Энергетическая теория носит название Губера-Мизеса-Генки.

 

Теория прочности Мора определяет зависимость предельного напряжения от среднего напряжения.

τ_n=f(σ_ср), - теория прочности мора, где (3.21)

τ_n- предельное значение касательных напряжений.

; (3.22)

Графически выражением теории прочности Мора является огибающая кругов Мора, построенная по результатам испытаний.

σ_р – предел прочности при растяжении

Недостатком этой теории является то, что не учитывается главное напряжение - σ₂

Обобщенное условие прочности Мора в отличии от теории прочности Мора учитывает все главные напряжения

σ_in=f(σ₀),

где σ_in – предельная интенсивность касательных напряжений, определяемая по формуле:

, (3.23)

где σ₀ – среднее напряжение.

σ₀ = 1/3 (σ₁+ σ₂+ σ₃)(3.24)

Реологические модели

Реология изучает поведение деформируемых тел во времени.

Для реальных твердых тел закон Гука выполняется лишь приближенно.

1) Реологическое уравнение твердовязкого тела (тела Кельвина-Фохта).

Характерным является наличие зависимости деформации от времени, т.е. проявление вязкостных свойств твердых тел.

Например: в случае быстрой погрузки модуль деформации при погружении несколько меньше, чем при разгрузке, что влечет за собой остаточную деформацию ε_ост.

а) б)

 

Это явление носит название упругого гистерезиса (а). Но с течением времени исчезает остаточная деформация и твердое тело восстанавливает свои размеры. Это явление называют упругим последствием.

При наличии этих явлений реологическую модель твердого тела представляют как комбинацию идеально упругого и вязкого тел. Для вязкого тела справедлив закон внутреннего трения Ньютона:

; (3.25)

где η – коэффициент вязкости;

t – время;

γ – деформация.

При параллельном деформировании двух тел получается выражение:

- реологическое уравнение твердовязкого тела (тела Кельвина-Фохта).

Решение этого уравнения, при приложенном напряжении τ₀ в момент времени t=0 имеет вид:

(3.26)

 

 

2) Реологическое уравнение упруговязкого тела Максвелла.

Рассматривается случай, когда происходит релаксация напряжений и ползучесть одновременно.

Релаксация напряжений характеризуется самопроизвольным уменьшением напряжений для тела, которое деформировано и в напряженном состоянии находится в течение длительного времени.

Ползучестью называется постепенное увеличение деформации при длительном действии на твердое тело нагрузки.

A’B’ – неустановившаяся ползучесть;

B’C’ – установившаяся ползучесть;

C’D’ – разрушение.

Деформация тела представляется как сумма упругой γ_у и вязкой γ_в деформаций, которые удовлетворяют условиям:

; . (3.27)

Скорость деформирования при этом

- упруговязкое тело Максвелла. (3.28)

Решение уравнения с учетом Gγ₀=τ₀, если к моменту времени t=0 тело деформировано на величину γ₀ и даже деформация во времени не изменяется

- называется уравнением релаксации напряжений. (3.30)

Для случая, когда тело не деформировано к моменту времени t=0, а затем приложено постоянное напряжение τ₀, то общая деформация:

- уравнение установившейся ползучести. (3.31)