Операції з класами, їх властивості.

Над класами можна виконувати такі операції: об’єднання, переріз, різницю, декартів добуток та розбиття. Об’єднання – це операція, в результаті якої з двох класів А і В отримують третійклас , який складається з тих елементів, які належать хоча б до одного з класів А чи В. Операція об’єднання володіє такими властивостями, як комутативність () та асоціативність . Переріз – це операція, в результаті якої з двох класів А і В отримують новийклас А , який складається тільки з тих елементів, які належать одночасно обом класам А і В. Властивості операції перерізу такі ж, як і у об’єднання – комутативність та асоціативність. Варто зауважити, що дані операції об’єднані дистрибутивними законами. Різниця – це операція, в результаті якої з двох класів А і В отримуємо третійклас А\В, який складається з тих елементів класу А, які не належать до класу В. Властивість операції різниці класів – некомутативність: А\В В\А. Декартів добуток – це операція, в результаті якої з двох множин А і В отримують множину всіх можливих пар (a;b), таких, що перша компонента пари є елементом першої множини А, а друга є елементом другої множини В: А . Дані пари будуть рівними лише тоді, коли рівні їх відповідні компоненти. Також існує така властивість пар: .

Властивості:

1)

2) ;3) ;4) 5) 6) ;7)
8)

13. Судження як форма мислення. Судження і речення. Прості судження, їх види та структура. Судження – це більш складна за поняття форма мислення, в ній стверджується або заперечується існування предмета як такого, наявність або відсутність у предмета певної ознаки або відношення між предметами. В розмовній мові судження виражається розповідним реченням чи словосполученням. Ті речення, які є питальними (окрім риторичних), а також речення, які не несуть в собі розгорнутого стверджувального змістовного навантаження, не є судженнями. Найважливішою характеристикою судження є його істинність або хибність – тобто правдивість чи неправдивість віддзеркалення дійсності. Поняття не має такої характеристики. Істинність або хибність судження – це об’єктивна ознака, оскільки вона не залежить від нашого ставлення до предмета чи знання його ознак. Кожне судження виражається у формі граматичного речення. Судження не може існувати поза реченням. Речення є безпосередньою дійсністю судження, його матеріальною оболонкою. Проте не кожне речення є судженням. Характерні особливості судження полягають у ствердженні або запереченні чого-небудь, тому якщо в реченні щось стверджується чи заперечується, воно виражає судження, якщо ж ствердження чи заперечення там відсутнє – речення не є судженням. Будь-яке судження має чітку структуру, за якою в логіці розрізняють прості і складні судження. Просте судження складається з поняття про предмет – суб’єкта S, і поняття про ознаку предмета – предикат P. Суб’єкт включає в собі отримане раніше знання, а предикат – елемент, який утворює нове знання. Між суб’єктом та предикатом існує тісний взаємозв’язок – наявність предикату може стверджуватись. Таким чином, структуру простого судження можна символічно записати у вигляді логічної зв’язки: . Крім цього, в суджені може бути така складова, як квантор, яка уточнює об’єм суб’єкта і стоїть перед ним. 14. Судження із складним суб’єктом, складним предикатом. Серед складених суджень виділяють судження зі складним предикатом та судження зі складним суб’єктом. Судження зі складним суб’єктом мають структуру: , а судження зі складним предикатом мають вигляд: Також складені висловлення можуть бути утворені за допомогою пропозиціональних зв’язок або функторів, які називаються логічними операторами: «не», «або», «і», «якщо, то». 15. Заперечення суджень. Диз’юнкція, кон’юнкція двох суджень. Запереченням судження А називається таке нове судження , яке істинне тоді і лише тоді, коли А – хибне, а хибне тоді, коли А – істинне. Це нове судження читають як «не А». Операція заперечення є унарною, що означає, що вона виконується тільки над одним судженням. Ця операція має властивість: . Це означає, що подвійне заперечення судження А дорівнює цьому ж судженню А, а ця властивість називається законом подвійного заперечення судження.Диз’юнкцією двох суджень А та В називається таке нове складне судження яке істинне тоді і тільки, коли хоча б одне з суджень А чи В істинне. Операцію диз’юнкції також називають логічним додаванням, а складне судження, отримане в результаті диз’юнкції, називають логічною сумою. Диз’юнкція буде хибною тоді і тільки тоді, коли обидва висловлення хибні. Властивість комутативності диз’юнкції: BVA=AVB. Властивість асоціативності диз’юнкції: (AVB)VC= AV(BVC). Кон’юнкція двох суджень А та В – це таке нове складне судження , яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва судження одночасно істинні. Дію кон’юнкції також називають логічним множенням, а результат цієї дії – нове складене судження – називають логічним добутком. Кон’юнкція, як і диз’юнкція, підлягає комутативному законові, а кон’юнкція трьох висловлень підлягає асоціативному законові:1) ; . (Навести таблиці значень логічної вартості диз’юнкції, кон’юнкції та заперечення). 16. Імплікація двох суджень. Види імплікацій, зв’язки між ними. Імплікація двох суджень А та В – це таке нове складене судження , яке хибне тоді і тільки тоді, коли А – істинне, а В – хибне. Судження А в імплікації називається умовою, а В – висновком. Операція імплікації пов’язана з операцією диз’юнкції і заперечення: .

Якщо поміняти місцями в даній імплікації умову і висновок, отримаємо імплікацію, обернену даній. Якщо виконати заперечення умови і висновку, то отримаємо імплікацію, протилежну даній. Якщо поміняти місцями умову і висновок і заперечити їх, отримаємо імплікацію, обернену до протилежної. Дана імплікація і імплікація, обернена до протилежної, приймають однакові значення логічної вартості, як і імплікації, обернена даній, і імплікація, обернена до даної. Такі пари імплікацій називають рівносильними, або еквівалентними.

 

(Навести таблиці значень логічної вартості і записати види імплікацій у символьній формі).

 

Еквіваленція двох суджень.

Еквіваленція двох суджень А та В – це таке нове складене судження (А рівносильне В), яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення логічних вартостей цих суджень однакові. Тобто еквіваленція буде істинною в тому випадку, коли обидва судження одночасно істинні або одночасно хибні. Еквіваленція зв’язана з операціями імплікації і кон’юнкції:

. Це означає, що еквіваленція двох суджень дорівнює кон’юнкції взаємно обернених імплікацій, утворених з цих суджень.

 

(Навести таблицю значень логічної вартості).

 

Закони алгебри висловлень.

Певні логічні операції зв’язані між собою законами. Ці закони називають законами алгебри висловлень:

1) закон подвійного заперечення висловлення: .

2) закон протиріччя: . Цей закон пов’язує висловлення з його запереченням операцією кон’юнкції. Він означає, що два протилежні судження не можуть бути одночасно істинними.

3) закон виключеного третього: . Цей закон пов’язує висловлення з його запереченням операцією диз’юнкції, і означає, що з двох протилежних тверджень завжди одне є істинним.

4) закони комутативності диз’юнкції та кон’юнкції:

.

5) закони асоціативності диз’юнкції та кон’юнкції:

;

.

6) дистрибутивні закони, які пов’язують кон’юнкцію та диз’юнкцію:

;

Закони, які стосуються операції заперечення диз’юнкції та кон’юнкції двох висловлень, були названі на честь шотландського математики де Моргана, який їх сформулював:

1) заперечення диз’юнкції двох висловлень дорівнює кон’юнкції заперечень цих висловлень:

2) заперечення кон’юнкції двох висловлень дорівнює диз’юнкції заперечень цих висловлень: