Решение задачи теплопроводности по радиальной переменной

 

Имеем цилиндрически-симметричную задачу теплопроводности:

(1)

С начальными условиями:

(2)

Краевыми условиями:

(3)

(4)

В месте расположения спирали задается условие сосредоточенного источника тепла:

(5)

(6)

Обозначим L:

(7)

Введем сетку:

,

.

L аппроксимируем:

(8)

(9)

Задачу аппроксимируем методом баланса. Функции кусочно-непрерывны, поэтому

Возьмем σ=1.

Получаем неявную разностную схему,

(10)

 

 

Разностная схема определена на шаблоне:

* * *

*

Коэффициенты являются нелинейными функциями, таким образом приходим к нелинейному уравнению теплопроводности и для нахождения ее решения используется метод итераций

(11)

Относительно разностная схема оказывается линейной.

Задача в точке имеет в наличии сосредоточенный источник тепла и удовлетворяет условию сопряжения. Уравнение примет вид

(12)

Граничное условие (3) аппроксимируем методом баланса, σ=1:

(13)

(14)

Аппроксимируем краевое условие (4) приr=0, σ=1:

(15)

,

.

Получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей [15-18]. Такая система решается методом прогонки:

Найдем коэффициенты системы:

Решение задачи теплопроводности по осевой переменной

 

Имеем обычную задачу теплопроводности в декартовых координатах:

(1)

С начальными условиями:

(2)

Краевыми условиями:

(3)

(4)

Введем сетку:

,

.

Задачу аппроксимируем методом баланса. Функции кусочно-непрерывны, поэтому

Возьмем σ=1.

Получаем неявную разностную схему. Коэффициенты являются нелинейными функциями, таким образом приходим к нелинейному уравнению теплопроводности и для нахождения ее решения используется метод итераций:

. (4)

Граничное условие (3) аппроксимируем методом баланса

Возьмем σ=1

(5)

Условие (4) первого рода аппроксимируется точно:

Получаем систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Решаем методом прогонки:

Найдем коэффициенты системы:

В качестве начального приближения берется функция температуры с предыдущего шага по времени: . Прекращаем итерации по условию:

Заключение.

 

· Предложена математическая модель теплового процесса приварки сварочной гильзы в полиэтиленовую армированную трубу для газопроводов;

· Разработан алгоритм численного решения двумерной задачи Стефана для определения нестационарного температурного поля при приварке сварочной гильзы в полимерных армированных трубах;

 

 

Список использованной литературы

 

1. Пепеляев В.С., Тараканов А.И. Полиэтиленовые трубы, армированные синтетическими нитями для нефтепромысловых трубопроводов // Интервал. Передовые нефтегазовые технологии. – 2006. - №9. –С. 33-37.

2. Пепеляев В.С., Тараканов А.И. Полиэтиленовые армированные трубы для газопроводов с рабочим давлением свыше 1,2 Мпа // Полимергаз. – 2006. -№4. –С. 14-18.

3. Пепеляев В.С., Тараканов А.И. Выбор методики испытаний промысловых трубопроводов из полиэтиленовых армированных синтетическими нитями труб // Оборудование и технологии для нефтегазового комплекса. – 2007. -№3. –С. 78-80.

4. Галичанин Е.Н. Применение новых технологий в транспортировке углеводородного сырья // Нефть. Газ. Промышленность. – 2007. -№1(29). –С. 52-55.

5. СП 42-103-2003. Проектирование и строительство газопроводов из полиэтиленовых труб и реконструкция изношенных газопроводов. – М.:Полимергаз, ФГУП ЦПП, 2004. -86 с.

6. Пат. РФ. №2343331 RUF16L 13/00, 47/00. Способ сварки полимерных труб / Старостин Н.П., Герасимов А.И., Аммосова О.А.; Институт проблем нефти и газа СО РАН. – 2006144681/06; заявл. 14.12.2006; опубл. 10.01.2009, Бюл. №1.

7. Старостин Н.П., Аммосова О.А. Математическое моделирование теплового процесса при сварке полиэтиленовых труб встык при температурах воздуха ниже нормативных // Вестник машиностроения. – 2009.

8. Старостин Н.П., Аммосова О.А. Контактная сварка полимерных труб оплавлением при низких температурах окружающей среды. Математическое моделирование теплового процесса // Сварочное производство. -2007. -№1. –С. 17-20.

9. Старостин Н.П., Аммосова О.А. Контактная сварка полиэтиленовых труб оплавлением при низких температурах окружающей среды Ч.2. Исследование процесса охлаждения // Сварочное производство. – 2008. – № 9. – С. 31–34.

10. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журн. вычислит. матем. и мат. физики. – 1965. – Т. 5., №5. – С.816–827.

11. Старостин Н.П., Егорова М.П., Герасимов А.И. Температурный режим при электромуфтовой сварке полиэтиленовых труб для газопроводов // Нефтегазовое дело, 2009.http://www.ogbus.ru/authors/Starostin/Starostin_3.pdf

12. Родионов А.К., Бабенко Ф.И., Коваленко Н.А. Трещиностойкость сварных стыковых соединений полиэтиленовых труб // Материалы. Технологии. Инструменты. – 2003.. – Т. 8. – № 3. – С. 19–20.

13. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука, 1983. –С. 69-97.

14. Самарский А.А. Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. Москва – 2003. –С. 341-362.

15. Охлопков Н.М. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 1. Якутск, ЯГУ, 1994.

16. Охлопков Н.М. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2. Якутск, ЯГУ, 1995.

17. Охлопков Н.М. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 3. Якутск, ЯГУ, 1996.

18. Охлопков Н.М. Численные методы решения краевых задач математической физики. Якутск, ЯГУ, 1993.

19. Васильев В.И., Максимов А.М. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. Москва 1997. –С. 116-136.

20. Бондарев Э.А., Васильев В.И. Задача Стефана с неизвестной температурой фазового перехода. 1984. Минск –T.7. –С. 155-159.

21. Мейрманов A.M. Зaдaчa Cтeфaнa. - Hoвoсибиpск: Нayкa, 1986. –С. 240.

22. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации. –Рига: Зинатне, 1980. –С. 169.

23. Самарский А.А., Гулuн А.B. Численные методы. М: Наука, 1989. –С.432.

24. Бакирова О.И. О некоторых методах решения задачи Стефана. 1983. №3. –С. 491-500.