Чисельні методи. Застосування. Основні принципи побудови.

Теоретичні відомості.

Чисельні методи. Застосування. Основні принципи побудови.

Чисельні методи — методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними.

Чисельні методи називаються стійкими, якщо результати неперервно залежать від вхідних даних задачі або якщо похибка округлення, пов'язана з реалізацією чисельних методів на ЕОМ, залишається обмеженою при заданих межах зміни параметрів чисельних методів.

Чисельні методи називаються збіжними, якщо результати прямують до точного розв'язання задачі при прямуванні параметрів чисельних методів до певних граничних значень.

Основне питання теорії чисельних методів: отримання чисельних методів, які задовольняють вимогам високої точності, стійкості та економічності. Складання чисельних методів, що задовольняють цим вимогам, представляє собою складну задачу оптимізації чисельних методів.

Статистична обробка експериментальних даних зазвичай ґрунтується на граничних теоремах теорії ймовірностей та вимагає обчислення оцінок в порівнянні з простими формулами. Однак для підвищення якості оцінок необхідна велика кількість даних, і обсяг обчислень може виявитися дуже великим. Тому чисельні методи тут націлені на скорочення обсягу обчислень при збереженні якості результатів. Найбільш ефективними чисельними методами в цій області відносяться методи, які застосовують швидке перетворення Фур'є.

Для розв'язань задач апроксимації та обчислення функцій різних класів застосовують чисельні методи інтерполювання, найменших квадратів, ортогоналізації, врівноваження значень, умовної мінімізації та ін. Найбільш актуальним є методи кусково многочленної та раціональної сплайнової апроксимації, а також адаптивної апроксимації та нелінійної за параметром апроксимації.

Чисельне інтегрування та диференціювання відбувається із означення відповідних операцій, однак з урахуванням необхідності економії обсягу обчислень та з урахування некоректності задачі диференціювання з'являється велика кількість чисельних методів для різних класів функцій та різного роду вихідних даних.

Основою чисельних методів розв'язання багатьох класів рівнянь є дискретизація задачі з наступним зведенням отриманих, загалом кажучи, нелінійні рівняння до послідовності систем алгебраїчних рівнянь. В зв'язку з цим чисельні методи можна поділити за способом дискретизації на проекційні, скінченно-різницеві та проекційно-різницеві, а за способом розв'язання лінійної системи — на прямі методи, ітераційні методи та комбіновані.

Розв'язання різних класів рівнянь та багатьох інших задач зводяться до задач мінімізації функцій та функціоналів за наявності або відсутності обмежень. Чисельні методи розв'язання задач мінімізації випливають із різних ідей швидкого спуску по поверхні, яка відповідає мінімізованій функції. Сюди відносяться методи швидкого спуску, градієнтного, загального градієнтного та найшвидкішого спуску, методу можливих та спряжених напрямів і т. д.

 

Метод половинного ділення

Метод половинного ділення – це найпростіший метод уточнення кореня рівняння. Він сходиться для будь-яких неперервних функцій , в тому числі недиференційованих. Швидкість сходження невелика

.

Алгоритм методу

1) На відрізку вибираємо точку , яка розділяє його на два рівних відрізки і , довжина яких рівна і знаходиться за формулою

2) Перевіряємо чи , якщо так, то – точний корінь початкового рівняння і переходимо до пункту 6.

3) У випадку, коли , то з двох отриманих відрізків і вибираємо той, на кінцях якого функція приймає значення протилежних знаків, тобто, якщо , тоді залишаємо відрізок і точку переносимо в точку (); якщо , то залишаємо відрізок і переносимо точку в точку () і переходимо до пункту 1.

4) Процес ділення відрізка навпіл виконується доти, поки на якомусь етапі, або середина відрізка буде коренем, або буде виконана умова закінчення ітераційного процесу: .

5) У цьому випадку за наближене значення кореня вибирають .

6) Вивід результатів. Кінець алгоритму.

7) Відомо, що при цьому похибка не перевищує , де – число ітерацій.

Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом половинного ділення представлена на рисунку 1.2.2.

Рисунок 1.2.2. – Схема алгоритму розв'язання нелінійного рівняння методом половинного ділення

 

Метод хорд.

· Метод хорд є одним з найбільш поширених методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. В літературі він також зустрічається під назвою "метод лінійного інтерполювання" і "метод пропорційних частин".

· Постановка задачі

· Розглянемо рівняння , де неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована і має єдиний корінь (тобто ). Потрібно знайти наближене значення кореня з заданою похибкою .

· Суть методу хорд полягає в тому, що на достатньо малому відрізку дуга функції замінюється хордою ab, яка її стягує. За наближене значення кореня приймається точка х₁ перетину хорди з віссю (рис.1.2.3.а).

 

Рисунок 1.2.3. – Графічна інтерпретація методу хорд і процедури визначення рухомого кінця хорди

Рівняння хорди, яка проходить через точки має вигляд

Знайдемо значення , для якого , тобто для нерухомого кінця:

Ця формула називається формулою методу хорд. Тепер корінь знаходиться всередині відрізка . Значення кореня можна уточнити за допомогою метода хорд на відрізку , тоді нове наближене значення кореня х₂ знаходиться за формулою

.

Аналогічна для всякого -го наближення до точного значення кореня даного рівняння використовується формула:

Процес стягування хордою продовжується багаторазово доти, поки не одержано наближений корінь із заданим степенем точності

де – наближені значення коренів рівняння , відповідно на і -му ітераційному кроці; – задана точність обчислень.

Слід відмітити, що розглянутий випадок (рис.1.2.3.а) перетину функції відрізку не є єдиним. Існує ще три варіанти перетину функції, кожний з яких відрізняється напрямком побудови хорд і відповідно рухомими кінцями відрізку. Наприклад, на рис.1.2.3.а,б рухомий кінець відрізку а, а на рис.1.2.3.в,г рухомий кінець – і відповідно формула для нього має вигляд:

Для автоматизації цього алгоритму необхідно розробити правило для автоматичного вибору рухомого кінця хорди і відповідно формули для обчислення наближеного значення кореня. Існує два правила визначення рухомого кінця хорди.

Комбінований метод.

Методи хорд і дотичних дають наближення кореня з різних сторін відрізку . Тому їх часто використовують в поєднанні один з одним, і процес уточнення кореня нелінійного рівняння проходить скоріше.

Постановка задачі

Нехай дано рівняння , де неперервна нелінійна функція, яка на відрізку монотонна, диференційована і має єдиний корінь (тобто ). Потрібно знайти наближене значення кореня з заданою похибкою .

Використаємо комбінований метод хорд і дотичних з урахуванням поведінки функції на відрізку . Якщо f'(x)Чf''(x)>0, то метод хорд дає наближення кореня з недостачею, а метод дотичних – з залишком (рис.1.2.4.а,б). Якщо ж f'(x)Чf''(x)<0, то методом хорд отримуємо значення:

 

Рисунок 1.2.4. – Геометричний зміст комбінованого методу.

методом дотичних – з недостачею (рис.1.2.4.в,г). Однак в усіх випадках справжній корінь знаходиться між наближеними коренями, які отримані за методом хорд і методом дотичних, тобто виконується нерівність а< х_n < x < х_n<b, де х_n – наближене значення кореня з недоліком, `- з надлишком.

Суть методу полягає в тому, що на досить малому відрізку (отриманому при відокремлені коренів) дуга функції з одного кінця відрізка стягується хордою, а з другого – дотичною. Тобто, якщо сумістити обидва методи, то після знаходження коренів відрізок на кожному кроці ітерації звужується шляхом переносу кінців відрізка в точки перетину хорди та дотичної з віссю .

Наближене значення кореня нелінійного рівняння визначається відповідно до таких правил:

Правило 1. Якщо добуток першої на другу похідну функції більший за нуль: , (рис. 1.2.4.а, б) то рухомим для методу хорд є кінець a, і наближене значення кореня з боку кінця a обчислюється за формулою хорд:

.

Для методу дотичних рухомим є кінець , і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних:

.

Правило 2. Якщо добуток першої на другу похідну функції менший за нуль: (рис. 1.2.4. в, г), то рухомим для методу хорд є кінець b, і наближене значення кореня з боку кінця b обчислюється за формулою хорд:

.

Для методу дотичних рухомим є кінець a, і наближене значення кореня обчислюється за формулою дотичних:

.

Комбінований метод дуже зручний при оцінці похибки обчислень. Ітераційний процес продовжується доти, поки не стане виконуватися нерівність . За наближене значення кореня приймають , де і – наближені значення кореня відповідно з недостачею та з надлишком.

Метод прямокутників.

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h= xi=xi+1-xi), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:
In= f(x)dx» Si=h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]= f(xi);
якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

Iпр= f(x)dx»h[f(xn)+...+f(x1)]= f(xi).

 

 

Метод трапецій.

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.
Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ S_i прямокутних трапецій N.
Площа кожної такої трапеції визначається як:
S_i=h (f(x_i)+f(x_i+1)).

Отже,формулатрапеції:
I= » S_i=h( f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n-1)+ f(x_N)= = [ (f(x₀)+f(x_n))+ f(x_i)].
Графічна модель
Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як
Де М₂ –максимальне значення другої похідної.f (x) при h- крок обчислень.

Рис.1.3.1.

Метод парабол.

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dx» Si [1].

 

Рисунок 1.3.2.

Графічна модель.
Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:
Si= [f(xi)+4f( xi+1)+f(xi+2)], тобто
(y₀+4y₁+y₂),
(y₂+4y₃+y₄),
(y₄+4y₅+y₆),
.......................
(y_2n-2+4y_2n-1+y_2n),
Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто [y₀+y_2n+4(y₁+...+y_2n-1)+2(y₂+...+y_2n-2)],
або
[y₀+y_2n+4 y_2i-1+2 y_2i],(1.8)
де h =(b-a)/2N.
Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

де М₄ –максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h- крок обчислень.

 

 

Математичні вирази.

До основних елементів математичних виразів MathCAD відносяться типи даних, оператори, функції і керуючі структури.

Оператори - елементи MathCAD, за допомогою яких можна створювати математичні вирази. До них, наприклад, відносяться символи арифметичних операцій, знаки обчислення сум, добутків, похідної, інтегралу і т.д.

Оператор визначає:

1. дію, що повинна виконуватися при наявності тих чи інших значень операндів;

2. скільки, де і які операнди повинні бути введені в оператор.

Операнд – число чи вираз, на яке діє оператор. Наприклад, у виразі 5! + 3 число 3 і вираз 5! – операнди оператору + (плюс), а число 5 операнд оператору факторіал (!). Після вказівки операндів оператори стають блоками, що виконуються у документі. У Додатку 2 даного посібника наведено список операторів, що найбільш часто використовуються.

Типи даних.

До типів даних відносяться числові константи, звичайні і системні змінні, масиви (вектори і матриці) і дані файлового типу.

Константами називають пойменовані об'єкти, що зберігають деякі значення, що не можуть бути змінені. Змінні є пойменованими об'єктами, що мають деяке значення, що може змінюватися по ходу виконання програми. Тип змінної визначається її значенням; змінні можуть бути числовими, рядковими, символьними і т.д. Імена констант, змінних і інших об'єктів називають ідентифікаторами. Ідентифікатори в MathCAD являють собою набір латинських чи грецьких букв і цифр.

У MathCAD міститься невелика група особливих об'єктів, які не можна віднести ні до класу констант, ні до класу змінних, значення яких визначені одразу після запуску програми. Їх вірніше вважати системними змінними, що мають визначені системою початкові значення Зміну значень системних змінних роблять у вкладці Вбудовані змінні діалогового вікна

Math Options команди Математика Þ Опції.

Функція – вираз, відповідно до якого проводяться деякі обчислення з аргументами і визначається його числове значення.

Слід особливо зазначити різницю між аргументами і параметрами функції. Змінні, зазначені в дужках після імені функції, є її аргументами і замінюються при обчисленні функції значеннями з дужок. Змінні в правій частині визначення функції, не зазначені дужках у лівій частині, є параметрами і повинні задаватися до визначення функції (див. Приклад 2 Малюнку 1).

Головною ознакою функції є повернення значення, тобто функція у відповідь на звернення до неї по імені з вказівкою її аргументів повинна повернути своє значення.

Функції в пакеті MathCAD можуть бути вбудовані (див. Додаток 3), тобто завчасно введені розроблювачами, і визначені користувачем.

Способи вставки вбудованої функції:

1. Вибрати пункт меню Вставка Þ Функція.

2. Натиснути комбінацію клавіш Ctrl + E.

3. Клацнути на кнопці функції.

 

Типи даних в Паскалі

З точки зору програмування величини — це дані, якими оперує програма і які потребують місця в пам’яті комп’ютера. Залежно від формату представлення значень величини в пам’яті комп’ютера, множини допустимих значень, множини допустимих операцій величини поділяються на типи. Стандартні типи даних.

Величини, значення яких зберігаються в одному елементі пам’яті, називають простими величинами. У Паскалі до них належать стандартні (базові) типи та їхні похідні:
• різновиди цілого типу — Integer, Shortint, Longint, Byte, Word;
• різновиди дійсного типу — Real, Singl, Double, Extended, Comp;
• символьний тип Char;
• логічний тип Boolean.

Опис величин. Для опису (оголошення) постійних величин використовується службове слово CONST, змінних — VAR. За допомогою оголошення встановлюється не тільки факт існування змінної, але і її тип.

Приклад:
CONST n=5;

VAR summer: integer; a1, b1: char;

Структуровані типи даних. Це дані, що складаються з декількох елементів простого типу. Такі типи даних зручно використовувати, коли обробляється велика кількість даних одного типу або декілька даних різних типів об’єднуються в одну групу.

До структурованих типів даних можна віднести рядки, масиви, записи, множини.

 

Чисельне інтегрування.

Лістинг програми 1.

uses crt;

var h,s,a,x,b,e,suma:real;

i,n:integer;

function fun(var x:real):real;

begin

fun:=x/exp(1/2*ln(2+cos(pi*2)));

end;

begin

clrscr;

a:=0;

b:=1.1;

write('n=');

readln(n);

e:=0.0000001;

suma:=0;

repeat

s:=suma;

suma:=0;

h:=(b-a)/n;

x:=a+h/2;

for i:=1 to n do

begin

suma:=suma+h*fun(x);

x:=x+h;

end;

writeln('suma=',suma:14:12, ' n=', n:2, ' pogreshnost=', abs(s-suma):14:12);

n:=n*2;

until e>=abs(s-suma);

writeln('suma=',suma:14:12, ' pogreshnost=', abs(s-suma):14:12, '<', e:10:7);

readkey;

end.

Результат виконання.

 

 

Лістинг програми 2.

uses crt;

var h,s,sk,a,x,b,e:real;

i,n:longint;

begin

clrscr;

a:=0;

b:=1.1;

write('vvedit n=');

readln(n);

e:=0.0000001;

sk:=0;

repeat

s:=sk;

sk:=0;

h:=(b-a)/n;

x:=a;

for i:=1 to n do

begin

sk:=sk+(ln(1+h)/ln(1+h))*h/2;

x:=x+h;

end;

writeln('suma=',sk:16:12, ' n=', n:2, ' pogreshnost=', abs(s-sk):14:12);

n:=n*2;

until e>=abs(s-sk);

writeln('s=',sk:16:12, ' pogreshnost=', abs(s-sk):14:12, '<', e:14:12);

readkey;

end.

 

Результат виконання.

 

Лістинг програми 3.

PROGRAM kyr;

 

USES

CRT, Graph,VGL_Small;

TYPE

BaseType = real;

Point = Record

x, y: BaseType

end;

Index = 1..65520 div SizeOf (Point);

PArrayPoint = ^ArrayPoint;

ArrayPoint = array [Index] of Point;

Clip = record

Xmin:Integer;

Ymin:Integer;

Xmax:Integer;

Ymax:integer;

end;

VAR

nxmin, nxmax, nymin, nymax,a: Integer;

ymin, ymax,xmin,xmax, pixx, pixy, tmin, tmax: real;

ArrP,ArrTemp: PArrayPoint;

ColPoint: Integer;

gd,gm:integer;

P:Clip;

FUNCTION F1 (x: real): real;

Begin

F1:= x*cos(x);

End;

 

FUNCTION F2 (t: real): real;

Begin

F2:= 2*arctan(t);

End;

 

FUNCTION F3 (t: real): real;

Begin

F3:= 2*a*sqr(sin(t));

End;

Function Gx(x:real):real;

begin

Gx:=x+(nxmax-nxmin) div 2+nxmin;

end;

Function Gy(y:real):real;

Var Xasp,Yasp:word;

begin

GetAspectRatio(Xasp, Yasp);

Gy:=(nymax-nymin) div 2 -(Xasp/Yasp)*y + nymin;

end;

Procedure LineClip(x1,y1,x2,y2:Integer);

Const

CodeBottom = 1;

CodeTop = 2;

CodeLeft = 4;

CodeRight = 8;

PROCEDURE Razm (var m, n, cp: Integer; pix: real);

Begin

m:= 1;

n:= 0;

If Round (m * Exp(n*Ln(10)) / pix) < 30 then

While Round (m * Exp(n*Ln(10)) / pix) < 30 do

begin

Case m of

1: m:= 2;

2: m:= 5;

5: begin

m:= 1;

Inc (n)

end

end

end

Else

begin

While Round (m * Exp(n*Ln(10)) / pix) > 30 do

begin

Case m of

1: begin

m:= 5;

Dec (n)

end;

2: m:= 1;

5: m:= 2;

end

end;

Case m of

1: m:= 2;

2: m:= 5;

5: begin

m:= 1;

Inc (n)

end

end

end;

cp:= Round (m * Exp(n*Ln(10)) / pix)

End;

 

PROCEDURE Out_CoordAxle;

Var

x, y, m, n, cp, ost, y1, x1, ch, i: Integer;

mn: real;

f: Boolean;

Begin

SetColor (GREEN);

f:= true;

if ymin >= 0 then y:= nymax

else

if ymax <= 0 then

begin

y:= nymin;

f:= false;

end

else y:= nymax + Round (ymin/pixy);

Line (nxmin, y, nxmax, y);

Line (nxmax, y, nxmax-10, y+3);

Line (nxmax, y, nxmax-10, y-3);

if xmin >= 0 then x:= nxmin

else if xmax <= 0 then x:= nxmax

else x:= nxmin - Round (xmin/pixx);

Line (x, nymin, x, nymax);

if f

then

begin

Line (x, nymin, x-3, nymin+10);

Line (x, nymin, x+3, nymin+10);

end;

Razm (m, n, cp, pixx);

ost:= abs (nxmin - x) mod cp;

ch:= m * ((nxmin - x) div cp);

SetTextJustify (centertext, toptext);

if (nxmin - x) > 0 then

begin

ost:= cp - ost;

Inc (ch, m)

end;

x1:= ost + nxmin;

While x1 <= nxmax - 10 do

begin

Line (x1, y-3, x1, y+3);

if ch <> 0 then OutTextXY (x1, y+10, MakeStr (ch))

else OutTextXY (x1 - 5, y+10, MakeStr (ch));

Inc (x1, cp);

Inc (ch, m)

end;

if xmin > 0 then

begin

mn:= 1;

for i:= 1 to Abs (n) do

begin

if n < 0 then mn:= mn * 10

else mn:= mn / 10

end;

OutTextXY (nxmax-20, y+20, '(x+'+MakeStrR(xmin*mn, 2, 0)+')*10^'+MakeStr(n))

end

else OutTextXY (nxmax, y+20, 'x*10^'+MakeStr(n));

Razm (m, n, cp, pixy);

ost:= abs (-nymax + y) mod cp;

ch:= m * ((-nymax + y) div cp);

if (-nymax + y) > 0 then

begin

ost:= cp - ost;

Inc (ch, m)

end;

y1:= nymax - ost;

While y1 >= nymin+10 do

begin

Line (x-3, y1, x+3, y1);

if ch <> 0 then OutTextXY (x-17, y1-3, MakeStr (ch));

Dec (y1, cp);

Inc (ch, m);

end;

if ymin > 0 then OutTextXY (x, nymin-10, '(y+'+MakeStr(round(xmin))+')*10^'+MakeStr(n))

else OutTextXY (x, nymin-10, 'y*10^'+MakeStr(n));

SetColor (White)

End;

 

var ch,ch1:char;

k,h,d,t1,t2:real;

i,j:integer;

BEGIN

ch:=#0;

gd:=detect;

{ gm:=VgaHi;}

initGraph(gd,gm,'c:\bp\bgi');

SetColor(Yellow);

InitVgl;

repeat

ClearDevice;

nxmin:= 50;

nxmax:= 590;

nymin:= 50;

nymax:= 430;

SetTextJustify (LeftText, TopText);

SetColor(Yellow);

OutTextXY(0,0,'1: Function given Obviously');

OutTextXY(0,20,'2: Function given in parameter');

OutTextXY(0,40,'3: Transformation of the diagrams');

OutTextXY(0,60,'Esc: Exit');

Ch:=readkey;

case ch of

'1': begin

ClearDevice;

SetColor(Yellow);

Rectangle(nxmin-40, nymin-40, nxmax+40, nymax+40);

xmin:= -pi;

xmax:= 2*pi;

MinMax1;

SetColor (Red);

Out_Wind;

Out_CoordAxle;

FreeMem (ArrP, Round ((nxmax-nxmin)) * Sizeof (Point));

OutTextXY(320,460,'Press any key');

ch:=readkey;

ClearDevice;

ch:=#0;

end;

'2': begin

ClearDevice;

SetColor(Yellow);

Rectangle(nxmin-40, nymin-40, nxmax+40, nymax+40);

tmin:= 0.01;

tmax:= 10;

a:=1;

MinMax2;

SetColor (Red);

Out_Wind;

Out_CoordAxle;

FreeMem (ArrP, Round((nxmax-nxmin)) * Sizeof (Point));

OutTextXY(320,460,'Press any key');

ch:=readkey;

ClearDevice;

ch:=#0;

end;

'3': begin

repeat

nxmin:= 50;

nxmax:= 450;

nymin:= 50;

nymax:= 430;

P.xmin:= 50;

P.xmax:= 450;

P.ymin:= 50;

P.ymax:= 430;

ClearDevice;

Rectangle(nxmin-40, nymin-40, nxmax+40, nymax+40);

xmin:= -10;

xmax:= 10;

MinMax1;

SetColor (Red);

Out_Wind;

Out_CoordAxle;

SetTextJustify (LeftText, TopText);

SetColor(Yellow);

OutTextXY(500,0,'1: y=kx(x+h)+d');

OutTextXY(500,20,'2: y=F(|x|)');

OutTextXY(500,40,'3: y=|F(x)|');

OutTextXY(500,60,'4: y=|F(|x|)|');

ch1:=readkey;

case ch1 of

'1':begin

OutTextXy(500,100,'k=');

GotoXY(66,7);Read(k);

SetFillStyle(0,0);

Bar(500,90,600,110);

OutTextXy(500,100,'h=');

GotoXY(66,7);Read(h);

Bar(500,90,600,110);

OutTextXy(500,100,'d=');

GotoXY(66,7);Read(d);

Bar(500,90,600,110);

vgl_pushmatrix;

vgl_scale(1,k);

vgl_translated(d,h);

for i:=1 to (nxmax - nxmin) do

begin

arrp^[i].x:=XG(arrp^[i].x);arrp^[i].y:=YG(arrp^[i].y);

Vgl_GetPoint(arrp^[i].x,arrp^[i].y);

arrp^[i].x:=GX(arrp^[i].x);arrp^[i].y:=GY(arrp^[i].y);

end;

vgl_popmatrix;

setcolor(green);

Out_Wind1;

ch1:=readkey;

end;

'2':begin

vgl_pushmatrix;

vgl_reflectionY;

j:=0;

for i:=(nxmax-nxmin) downto (nxmax-nxmin) div 2 do

begin

t1:=XG(arrp^[i].x);t2:=YG(arrp^[i].y);

vgl_getPoint(t1,t2);

t1:=Gx(t1);t2:=Gy(t2);

arrp^[j+1].x:=t1;

arrp^[j+1].y:=t2;

j:=j+1;

end;

vgl_popmatrix;

setcolor(green);

Out_Wind;

ch1:=readkey;

end;

'3':begin

vgl_pushmatrix;

vgl_reflectionX;

for i:=1 to (nxmax - nxmin) do

begin

arrp^[i].x:=XG(arrp^[i].x);arrp^[i].y:=YG(arrp^[i].y);

if arrp^[i].y<0 then VGL_GetPoint(arrp^[i].x,arrp^[i].y);

arrp^[i].x:=GX(arrp^[i].x);arrp^[i].y:=GY(arrp^[i].y);

end;

vgl_popmatrix;

setcolor(green);

Out_Wind;

ch1:=readkey;

end;

'4':begin

vgl_pushmatrix;

vgl_reflectionY;

j:=0;

for i:=(nxmax-nxmin) downto (nxmax-nxmin) div 2 do

begin

t1:=XG(arrp^[i].x);t2:=YG(arrp^[i].y);

vgl_getPoint(t1,t2);

t1:=Gx(t1);t2:=Gy(t2);

arrp^[j+1].x:=t1;

arrp^[j+1].y:=t2;

j:=j+1;

end;

vgl_popmatrix;

vgl_pushmatrix;

vgl_reflectionX;

for i:=1 to (nxmax - nxmin) do

begin

arrp^[i].x:=XG(arrp^[i].x);arrp^[i].y:=YG(arrp^[i].y);

if arrp^[i].y<0 then VGL_GetPoint(arrp^[i].x,arrp^[i].y);

arrp^[i].x:=GX(arrp^[i].x);arrp^[i].y:=GY(arrp^[i].y);

end;

vgl_popmatrix;

setcolor(green);

Out_Wind;

ch1:=readkey;

end;

end;

FreeMem (ArrP, Round ((nxmax-nxmin)) * Sizeof (Point));

until ch1=#27;

end;

end;

Until ch=#27;

CloseGraph;

 

END.

 

Результат виконання.

Висновки.

Під час виконання розрахунокво-графічної роботи я досліджував методи половинного ділення, правий і лівих прямокутників, трапеції та інші. Кожен метод ефективний в залежності від виду функції. Я порівнював виконання цих методів у Excel та Pascal та звірив результати з Math Cad. Виконуючи завдання, я закріпив свої навички набуті протягом навчального року.

Перелік літератури.

1. Е.А. Волков. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1987.- 248с.

2. В.А. Ильина, П.К. Силаев. Численные методы для физиков-теоретиков. – Москва-Ижевск:ИКИ, 2003. – т 1,2.

3. Л.П. Фельдман, А.І. Петренко, О.А. Дмитрієва. Чисельні методи в інформатиці. – К.:Видавнича група BHV, 2006. - 480 c.

4. Н.Н. Калиткин Численные методы. М.: Наука, 1978.

5. Д. Каханер, К. Моулер, С.Неш. Численные методы и программное обеспечение. – М.:Мир, 2001. – 575с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2–х т. М., 1959, т.1.– 464 с. т.2 – 602 с.

7. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. - М.: Наука, 1987 – 600с.

8. И.А. Гулин, А.А. Самарский. Численные методы. М.: Наука, 1989.

9. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие/ Иванов В. В. — Киев: Наук. думка, 1986. — 564 с.

10. Р.Н.Кветний Методи комп’ютерних обчислень. Навчальний посібник.- Вінниця: ВДТУ, 2001.-148с.

11. www.posibnyky.vstu.vinnica.ua/chis_met/lek4.htm.

 

 

Теоретичні відомості.

Чисельні методи. Застосування. Основні принципи побудови.

Чисельні методи — методи наближеного або точного розв'язування задач чистої або прикладної математики, які ґрунтуються на побудові послідовності дій над скінченною множиною чисел. Основні вимоги до чисельних методів, щоб вони були стійкими та збіжними.

Чисельні методи називаються стійкими, якщо результати неперервно залежать від вхідних даних задачі або якщо похибка округлення, пов'язана з реалізацією чисельних методів на ЕОМ, залишається обмеженою при заданих межах зміни параметрів чисельних методів.

Чисельні методи називаються збіжними, якщо результати прямують до точного розв'язання задачі при прямуванні параметрів чисельних методів до певних граничних значень.

Основне питання теорії чисельних методів: отримання чисельних методів, які задовольняють вимогам високої точності, стійкості та економічності. Складання чисельних методів, що задовольняють цим вимогам, представляє собою складну задачу оптимізації чисельних методів.

Статистична обробка експериментальних даних зазвичай ґрунтується на граничних теоремах теорії ймовірностей та вимагає обчислення оцінок в порівнянні з простими формулами. Однак для підвищення якості оцінок необхідна велика кількість даних, і обсяг обчислень може виявитися дуже великим. Тому чисельні методи тут націлені на скорочення обсягу обчислень при збереженні якості результатів. Найбільш ефективними чисельними методами в цій області відносяться методи, які застосовують швидке перетворення Фур'є.

Для розв'язань задач апроксимації та обчислення функцій різних класів застосовують чисельні методи інтерполювання, найменших квадратів, ортогоналізації, врівноваження значень, умовної мінімізації та ін. Найбільш актуальним є методи кусково многочленної та раціональної сплайнової апроксимації, а також адаптивної апроксимації та нелінійної за параметром апроксимації.

Чисельне інтегрування та диференціювання відбувається із означення відповідних операцій, однак з урахуванням необхідності економії обсягу обчислень та з урахування некоректності задачі диференціювання з'являється велика кількість чисельних методів для різних класів функцій та різного роду вихідних даних.

Основою чисельних методів розв'язання багатьох класів рівнянь є дискретизація задачі з наступним зведенням отриманих, загалом кажучи, нелінійні рівняння до послідовності систем алгебраїчних рівнянь. В зв'язку з цим чисельні методи можна поділити за способом дискретизації на проекційні, скінченно-різницеві та проекційно-різницеві, а за способом розв'язання лінійної системи — на прямі методи, ітераційні методи та комбіновані.

Розв'язання різних класів рівнянь та багатьох інших задач зводяться до задач мінімізації функцій та функціоналів за наявності або відсутності обмежень. Чисельні методи розв'язання задач мінімізації випливають із різних ідей швидкого спуску по поверхні, яка відповідає мінімізованій функції. Сюди відносяться методи швидкого спуску, градієнтного, загального градієнтного та найшвидкішого спуску, методу можливих та спряжених напрямів і т. д.