Відарысы прасторавых фігур у паралельнай праекцыі

Опр.: Пусть в пространстве дана плоскость и прямая , пересекающая эту плоскость. ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПРОЕКТИРОВАНИЕМ на плоскость называется такое отображение, при котором каждой точке ставится в соответствие точка , где , а каждой точке . Плоскость называется плоскостью проекций, - проектирующей прямой.

Замечание: Параллельное проектирование зависит от выбора плоскости проекций и проектирующей прямой. Пусть F – проектирующее пространство, тогда называется ПРОЕКЦИЕЙ на плоскость .

Опр.: Изображение фигуры F называется любая фигура, подобная проекции фигуры F на некоторую плоскость.

Теорема Польке-Шварца: За изображение произвольной треугольной пирамиды можно принять любой 4-угольник с его диагоналями.

Изображением параллелепипеда (в том числе прямоугольного параллелепипеда, куба) является фи­гура, состоящая из трех пар параллелограммов, причем в каждой паре один получается из другого параллельным переносом.

Изображением -угольной призмы на плоскости является фигура, состоящая из двух равных -угольников (один получается из другого параллельным переносом), изображающих основания призмы, и параллелограммов, для каждого из которых противоположными сторонами являются изображения параллельных сторон оснований.

Изображением пирамиды является фигура, состоящая из многоугольника, изображающего основание пирами­ды-оригинала, и нескольких треугольников с общей вершиной, изо­бражающих боковые грани пирамиды (рис. 81).

Для построения изображения данной пирамиды следует учесть, что по теореме Польке — Шварца за изображение вершины пира­миды и трех вершин основания можно взять вершины произвольного четырехугольника плоскости 0. Тогда изображения остальных вер­шин основания и всех ребер получаются построением с учетом пра­вил изображений плоских многоугольников.

Цилиндр. А₀В₀, А₀С₀ - сопряженные диаметры элипса.По Т. Польке-Шварца А₀В₀С₀D₀ есть изображение тетраэдра ABCD в некоторой паралл-ой проекции.

При этом, изображением нижнего основания оригинала будет некий эллипс со сполученными диаматрами А₀В₀, А₀С₀. Так как эллипс однозначно определяется своими спал-ми диам-ми, то это изображение совпадает с основным изображением.

Шар. При параллельном проектировании шара всегда рассматривается случай, когда это проектирование прямоугольное. При этом контур шара получается в виде окружности. Ось шара - это диаметр шара плоскости сечения.

5. Гладкія паверхні ў трохмернай эўклідавай прасторы. Першая квадратычная форма паверхні.

Опред. Пусть G={(u,v)|-1<u<1, -1<v<1}?R-любое мн-во, гомоморфное открытому кругу.

Опред. Элем. пов-тью в трехмерном Евклидовом пр-ве назыв. Любое мн-во F гомоморфное открытому кругу.

Опред. Пусть F-некоторая элем пов-ть в Е³. Тогда существует гомоморфизм φ, кот отображает открытый круг на мно-во F.

(u,v)¾>(φ) φ(u,v)?F

Каждой паре чисел (u,v) поставили в соответствие вектор r(u,v)

(u,v)¾> вектор r (u,v)

Т.о. возникает вектор-ф-ция вектор r= вектор r (u,v), (u,v)?G, кот назыв вектор-ф-цией элем пов-ти или параметризацией элем пов-ти

Опред. Поверхностью в трехмерном Евклидовом пр-ве назыв.мн-во, кот можно представить как объединение конечного или счетного мн-ва элем пов-тей.

Примером пов-ти, кот не явл элементарными:сфера (сферу можно представить как объединение двух элементарных поверхностей, каждая из которых представляет собой сферу с выколотой точкой), эллипсоид, цилиндр (эллиптический)

Опред. Пусть вектор r=вектор (u,v), (u,v)?G-параметризация элем пов-ти. Элем пов-ть наз гладкой класса С_к, если вектор-ф-ция r(u,v)имеет непрерывные части произв до к порядка включительно, кроме того вектор r_u не параллелен вектору r_v.

 

Опред. Пусть дана F-гладкая пов-ть, вектор r=вектор (u,v) -ее векторное ур-ние. Первая квадратичная форма пов-ти -дифференциал вектор-ф-ции.

Найдем скалярный квадрат вектора

()²=()²= +2 +

Обозначим

E(u,v)=

F(u,v)=

G=

Тогда получим ()²= +2F(u,v)dudv+ (*)

Квадратичная форма стоящая в правой части равенства (*) наз первой квадратичной формой пов-ти.

E,G,F-коэффициенты 1КФП

Поскольку du,dv одновременно не обращаются ноль, то 1КФП явл положительно определяемой.

Зная 1КФП можно решать след задачи:

1) Находить длину дуги линии пов-ти

2) Угол м.д линиями на пов-ти

3) Площадь замкнутой обл пов-ти

 

 

 

6.Група афінных пераўтварэнняў плоскасці і некаторыя яе падгрупы

Опр. Любое преобразование плоскости называется аффинным преобразованием, если оно любые три точки, принадлежащие одной прямой, отображает в три точки, принадлежащие одной прямой и сохраняет простое отношение трех точек.

Из свойств движения, гомотетии, подобия следует, что эти преобразования плоскости являются частными случаями аффинных преобразований.

Лемма. Пусть f₁, f₂ – аффинные преобразования плоскости, А,В – произвольные точки на плоскости. A’=f₁(A), A’=f₂(A), B’=f₁(B), B’=f₂(B). Тогда для любой точки М принадлежащей АВ f₁(М)= f₂(М).

Свойство. Если аффинные преобразования f₁, f₂ одинаковым образом действуют на А и В, то они одинаковым образом действуют на каждую точку прямой АВ.

Док-во. (от противного) М – произвольная точка. f₁(М)= М’, f₂(М)= М’’. покажем, что М’= М’’.

f₁, f₂ - аффинные преобразования.

(АВ,М)=(A’B’,M’), (АВ,М)=(A’B’,M’’), значит, (A’B’,M’)=(A’B’,M’’), тогда М’= М’’. доказано.

Теорема. Пусть на плоскости даны две аффинные СК R=(O, = , = ) и R’=(O’, = , = ). Тогда существует единственное преобразование плоскости, когда систему R отображают в систему R’, причем образ точки М(х,у)_R имеет такие же координаты М’(х,у)_R’

М’=f(M), f – аффинное преобразование.

Теорема 2. Множество всех аффинных преобразований плоскости образуют подгруппу группы преобразований плоскости.

Док-во. Необходимо доказать, что композиция двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием и обратное к аффинному преобразованию является аффинным преобразованием.

1)Пусть f₁, f₂ – аффинные преобразования, тогда f₁ᵒ f₂ – аффинное преобразование сохраняет принадлежность трех точек одной прямой и простое отношение этих точек, т.к. каждое преобразование f₁, f₂ обладают такими свойствами.

2)Пусть f – аффинное преобразование, тогда f^-1 также является аффинным. Покажем это. А,В,С принадлежат одной прямой. Пусть A’= f^-1(A), В’= f^-1(В), С’= f^-1(С) – отображение (образы). Точки A’,B’,C’принадлежат одной прямой. Если бы это было не так, тогда аффинное преобразование f эти три точки отобразила бы в три точки, не лежащие на одной прямой (противоречие свойству после леммы).

Значит, f^-1сохраняет простое отношение, так как сохраняет его отображение f, т.к. оно аффинное. Доказано.

Опр. Две фигуры F₁ и F₂ называются аффинно-эквивалентными, если существует аффинное преобразование плоскости f такое, что F₂=f(F₁).

Из Т2 следует, что существует единственное аффинное преобразование, которое любой треугольник отображает на заданный треугольник, любые два треугольника являются аффинно эквивалентными.

Теорема. Для того чтобы два треугольника были аффинно эквивалентными, необходимо их обозначить так, чтобы выполнялось условие (AC,F)=(A’C’,F’) и (BD,F)=(B’D’,F’), где F=FCᴖBD, F’=A’C’ᴖB’D’.

 

7. Гладкія крывыя ў трохмернай эўклідавай прасторы. Формулы Фрэнэ

Опр. Элементарной линией наз мн-во Ϫ включ в Eⁿ(n=2,3…), для кот сущ некоторое гомоморфное отображение числового интервала на мн-во. Или это образ открытого интервала при некотором гомоморфизме.

Опр. Пусть Ϫ – элементарная линия и r=r(t)=x(t) + y(t) + z(t) ее параметризация (или вектор-функция). Элементарная линия наз гладкой класса С^к, если функции x(t), y(t), z(t) имеют непрерывные производные до к-го порядка включительно.

Опр. линия наз гладкой класса С^к, если ее можно представить в виде объединения конечного или счетного множества элементарных гладких класса С^к линий.

Среди гладких элементарных линий выделяют бирегулярные ( ‘(t₀)не параллельно ‘’(t₀)) и регулярные ( ‘ (t)≠ ).

r’(t)-направляющий вектор.

Опр. Пусть Ϫ – гладкая элементарная регулярная линия, r=r(s) ее параметризация. Параметризация линии наз натуральной, если выполняется условие | (s)|=1, т.е.касательный вектор каждой точки линии имеет длину, равную 1.

Теорема. Для любой регулярной линии существует натуральная параметризация.

 

Формулы Френе

Найдём разложение векторов по векторам репера Френе.

(1), где к – кривизна линии. ┴ , значит. * =0 (2)

 

Продифференцируем равенство (2):

 

Так как вектор ┴ , то этот вектор компланарен с векторами и n, значит, его можно разложить по векторам и n, т.е. можно записать

 

+æ (4) æ-каппа

Теперь из (1) и (4) следует (3). Т.е. получаем k∙ ∙ + (α æ ) =0

α=-k

т.о. получили, =-k + æ (5)

 

=-

 

=- (6)

 

(*) Формулы (*) назыв формулами Френе.

 

8. Група пераўтварэнняў падобнасці плоскасці і некаторыя яе падгрупы

Опр. Преобразование плоскости наз преобразованием гомотетии, если каждой точке М ставится в соответствие точка M’так, что выполняется условие: OM’=kOM, а точке О ставится в соответствие саму эту точку, где О – фиксированная точка плоскости и называется центром гомотетии, k – коэффициент гомотетии. Обозначение:

Опр. Преобразование плоскости наз преобразованием подобия, если для любых двух точек А,В и их образов A’, B’ при этом преобразовании выполняется условие A’B’=kАВ, k>0. k - коэффициент подобия. Обозначение: P_k

Теорема. Множество всех преобразований подобия образуют подгруппу группы преобразований плоскости.

Док-во. 1)Пусть Р_к1, Р_к2 – два преобразования подобия с коэффициентами к1 и к2. Надо доказать, что Р_к1 ᵒ Р_к2 – преобразования подобия.

Для любых А, В Р_к1(А)=A’, Р_к2(A’)=A’’. Р_к1(B)=B’, Р_к2(B’)=B’’.

Р_к2 ᵒ Р_к1(A)=A’’

Р_к2 ᵒ Р_к1(B)=B’’

Т.к. Р_к1 и Р_к2 – подобия и A’B’=k₁АВ и A’’B’’=k₂А’В’, значит, A’’B’’= k₁k₂АВ, значит, Р_к1 ᵒ Р_к2 – преобразование подобия с коэффициентом k₁k₂.

2)Пусть Р_к – преобразование подобия с коэффициентом k. Докажем, что - тоже преобразование подобия. Покажем это

Для любых А и В A’=Р_к (А) и В’=Р_к(В) получаем (A’)=A, (B’)=B. т.к. Р_к – преобразование подобия, то A’B’=kАВ. Отсюда АВ=1/к A’B’. Значит, преобразование подобия с коэффициентом 1/к. доказано.

Теорема. Любое преобразование подобия Р_к можно представить в виде композиции ᵩº , где - гомотетия с некоторым центром в точке О, ᵩ- движение плоскости.

Свойства.

1)прямую отображает на прямую, луч на луч, отрезок на отрезок, полуплоскость на полуплоскость, угол на равный ему угол.

2)при преобразовании подобия сохраняется простое отношение трех точек.

Замечание. Всякая гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом модуль к.

Отсюда следует, что множество всех гомотетий с общим центром образуют подгруппу группы преобразований подобия. Всякое движение является преобразованием подобия с коэффициентом к=1. Множество всех движений плоскости образуют подгруппу преобразований подобия плоскости.

 

9. Група рухаў плоскасці. Класіфікацыя рухаў

Движением пл-ти наз преобразование пл-ти, кот сохраняет расстояние между каждыми 2 точками пл-ти (преобразование пл-ти – биективное отображение пл-ти на себя).

Т. Множество всех движений пл-ти образуют подгруппу группы преобразований пл-ти.

Док-во. Для доказательства необходимо доказать, что 1)для любых движений f и g композиция fᵒg явл движением, 2)если f движение, то f^-1 тоже движение.

1)пусть f и g – движения, А,В – произвольные точки Е². Обозначим (gᵒf)(A)=A’’, (gᵒf)(B)=B’’. Покажем, что АВ= A’’ B’’.

Пусть f(A)=A’, g(A’)=A’’, f(B)=B’, g(B’)=B’’. т.к. f- движение, то A’B’=AB, и g-движение, то A’B’=A’’B’’. Значит, A’’ B’’.

Композиция сохраняет расстояние между двумя любыми точками.

2)пусть f- движение. Докажем, что f^-1 тоже движение. Возьмем произвольные точки С, D. f^-1 (С)=А, f^-1 (D)=B, f(A)=C, f(B)=D. Покажем, что CD=AB. Т.к. f- движение, то AB=CD, отсюда следует, что f^-1 - движение. Доказано.

Свойства движения:

1.Любое движение плоскости 3 точки, принадлежащие одной прямой, отображает в 3 точки, принадлежащие другой прямой.

2.Всякое движение три точки, не принадлежащие одной прямой, отображает в три точки, не принадлежащие одной прямой.

3.Любое движение плоскости прямую отображает на прямую.

4.Любое движение отрезок отображает на равный ему отрезок.

5.Любое движение плоскости треугольник отображает на равный ему треугольник.

6.Любое движение отображает угол на равный ему угол, луч на луч, полуплоскость на полуплоскость и сохраняет простое отношение трех точек.

Опр. Пусть фи – движение, R=(o,i,j) – прямоугольная СК, R’=(o’,I’,j’)- образ прямоугольной СК при движении фи. Движение фи называется движением первого рода, если базисы (I,j)и (I’,j’) одинаково ориентированы и фи называется движением второго рода, если эти базисы противоположно ориентированы.

Т3.. Пусть фи – движение, которое определяется двумя СК R=(o,i,j) и R’=(o’,I’,j’).), R’= ᵩ(R). Тогда координаты точки М и точки M’ связаны соотношениями

Где ε=±1. Причем, ε=1, если формулы определяют движение первого рода, ε=-1, если формулы определяют движение второго рода.

Классификация движений.

1)Всякое движение первого рода является либо тождественным преобразованием, либо параллельным переносом, либо поворотом.

2)Всякое движение второго рода есть осевая или скользящая симметрия.

Определения.

1)Пусть – некотор. вектор на пл-ти. Преобразование пл-ти, кот. т.М ставит в соответствие такую т. М’, что вектор ММ’= наз параллельным переносом пл-ти на вектор

2)пусть α – некоторый ориентированный угол, О – фиксированная точка на пл-ти. Поворотом пл-ти вокруг точки О наз преобразование пл-ти, при кот каждой т.М, не совпадающей с т.О, ставится в соответствие т.M’ так что: 1.ОМ=OM’. 2.угол MOM’= α,А точке О ставят в соответствие саму эту точку. О – центр поворота.

3)Пусть О – фиксированная т.на пл-ти. Центральной симметрией с центром в т.О наз преобразование пл-ти, кот любой т.М≠0 ставит в соответствие т.M’, симметричную М относительно т.О, а т.О ставит в соответствие саму эту точку. О – центр симметрии.

4)Пусть на пл-ти дана некоторая прямая L. Осевой симметрией относительно пр.L наз преобразование пл-ти, при кот. каждой т.М, не ϵ прям L, ставится в соответствие т.M’, симметрич т.М относит прям L. И кажд т.Р, ϵ прям L, став в соответствие сама эта точка.

5)Пусть L-некоторая прям Е², ‖L. Скользящей симметрией наз преобразование, кот. явл. произведением (композицией) осевой симметрии и параллельного переноса.

 

10. Ізамарфізм вектарных прастораў. Бaзіс і памернасць канечнамернай вектарнай прасторы. Падпрасторы

Опр. Пусть Р- поле. Непустое мн-ва V наз. линейным пространством (или векторным пространством) над Р (элементы V будем называть векторами, элементы Р- скалярами), когда: 0) На V задана бинарная алгебраическая операция, кот наз. сложением или суммой, это зн., что указан вектор ), кот удовлетворяет условиям: 1) = ; 2) , что ; 3) такой, что ; 4) ; Задана операция умножения скаляров (эл-тов с Р) на векторы (эл-ты из V) (это.зн., что , указан вектор ); 5) ; 6) ; 7) ; 8)

Опр. Пусть V, U – линейное пр-во над полем P. Отображение наз. линейным (гомоморфизмом лин. пространства), когда 1) ; 2)

Опр. V, U – лин пр-ва над P. -гомоморфизм. Когда f-биекция,то f наз. изоморфизмом.

Опр. сист вект-в лин. простр V над P (1) наз. базисом простр V, если вып. 2усл: 1) сист(1)лин.незав. 2) (усл полноты)

Опр. Упорядоченная n-ка из разложения наз. координатами вектора в базисе .

Опр. Число вект-в в базисе наз. ее размерностью простр V над P. Обоз. n= .

Св-ва: 1) если dim V =n, то каждая лин незавмс сист вект-в из V содержит не больше чем n вект-ов. 2) любая миним (па кол-ву вект-ов) полная сист вект-ов образует базис. 3) любая максим лин незав сист вект-ов образует базис. 4) любую лин незав сист вект-в м дополн до базиса. 5) люб конечная сист вект-в, котор владеет св-ом полноты, содержит базис. 6) пусть (1) – базис прастр V. Каждый в-р Î V единств образом расклад па базису,это зн един паслед-ть l_1, l_2,…,l_n ÎP такая, что (3)

Опр. Упорядоченная n-ка из разлож наз. координ в-ра в базисе и запис в ряд(l₁;...;l_n) или в столбик в квадр скобках.

Опр пусть V лин. простр. над полем Р. Непустое подмн-во U V назыв. подпростр. простр. V, если U явл лінейным прастр. относит опер, котор поредеоены в V. ( наприм Р_n[x] P_n+1[x] P[x] і каждое из подмн. Явл подпространством)

Критерий подпростр. V лин простр над Р. Падмн-во U V зявл падпростр в V т і т т, к выполн 3 усл:1) U ≠Ø;2) Для всех і U + U;3) Для люб λ Р и любого U λ U.

 

11. Кольца. Прыклады кольцаў. Найпрасцейшыя уласцівасці кольца.Падкольца. Гомамарфізмы і ізамарфізмы кольцаў.

Непустое множество А – кольцо, если на нем задана бинарная операция, обычно обозначаемая «+» и называемая сложением. Такая, что «К;+» - аддитивная коммутативная группа. И выполняются условия: 1) а, в а+в К, 2) 0 К, а а+0=0+а=а, 3) а (-а) а+(-а)=(-а)+а=0, 4) а,в а+в=в+а, 5) а,в,с (а+в)+с=а+(в+с).

На К задана бинарная операция обозначаемая «*» и называемая умножением, такая что «К;*»-полугруппа,т.е. 1) а,в а*в К, 2) а,в,с (а*в)*с=а*(в*с)

Операция сложения и умножения в К согласованы условиями дистрибутивности т.е.

а,в,с а(в+с)=ав+ас или а,в,с (а+в)с=ас+вс

Кольцо К – коммутативно если операция умножения коммутативна т.е. а,в ав=ва

Кольцо К – кольцо с единицей если в нем элемент нейтральный относительно умножения т.е. а К а*1=1*а=а

Прим:

«Z;+;*» - комуттативное кольцо с 1

«5Z;+;◦» - коммуттативное кольцо без 1

«С;+; ◦» - кольцо

Подкольца

Пусть «К;+;◦»-кольцо. Непустое подмножество К в К –подкольцо в К, если оно само является кольцом относительно операций в К.

Критерий подкольца: «К;+;◦» - кольцо; К1 К, К1 К1 – подкольцо в К ó 1) К1- аддитивная подгруппа в К; 2) а*в К1

Примеры:

5Z- подкальцо в Z

К= Mat(nxn;R) K1 = где a,b,c R

Гомоморфизм и изоморфизм

Пусть <K₁;+; > и <K₁; ; > -кольца. Отображение f:K₁ K₂ наз. гомоморфизмом колец, если оно сохраняет операцию, т.е.

-- изоморфизмом, если f - биекция.

- биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f (x) = y имеет одно и только одно решение.)

 

12. Кольца цэлых лікаў. Тэарэма аб дзяленні з астачай.

*

*

, рассмотрим на нем бинарное отношение , такое что

*

Опр. Целое число – класс эквивалентн элем с относительно отношения эквивалентности . Мн-во всех классов эквивал – мн-во целых чисел, обозн . Класс эквивал пары обозн , целые числа гречискими бквами

Опр .Сложение целых чисел: і - целое число .

Опр .Умножение целых чисел: і - целое число

Опр .Кольцо наз. линейно-упорядоченным, когдана им можно задать такой порядок, что: 1) , 2) .

Т. 1 (преобразование кольца в линейно-упорядоченное кольцо)

Пусть 1) , 2) , 3) , 4) . .

Т. 2 Кольцо явл. линейно-упорядоченным.

Определение 2.1.

Пусть и b≠0. Делением a на b с остатком называется представление числа a в виде a=bq+r, где q, r , 0≤r<ΙbΙ

В этом случае число q называется частным, число r – остатком от деления a на b.

 

Теорема 2.2. (о делении с остатком)

Пусть , b≠0, b>0, тогда существует единственное представление числа a в виде a=bq+r, q, r 0≤r<b

Док-во:

“ ”: рассмотрим все возможные произведения вида bn, n : …, -kb, …, -b, 0, b, 2b, 3b, …, kb, …

Очевидно, что существует q , такое что bq≤a<b(q+1)

(((b=3: ab: …, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, … a=10 между 9 и 12)))

Тогда рассмотрим a=bq+(-bq+a) и 0≤a-bq<b

a=bq+r, 0≤r<b

 

“ ”: пусть , тогда a=b + , 0≤ <b

bq+r= b +

(b(q- )= => () b; т. к. 0≤r, <b, то Ιr- Ι<b) => (из следствие 1.3.6.: В кольце Z выполнены следующие утверждения: a b => либо a=0, либо ΙaΙ ≥ΙbΙ) => r= => (b(q- )= =0, b≠0 => q-

13. Найбольшы агульны дзельнік і найменшы агульны кратны двух лікаў.

Опр.: Пусть . Целое число называется общим делителем , если

Опр.: Пусть , хотя бы одно из которых не равно нулю. Наибольшим общим делителем называется целое число , которое является общим делителем и кратно любому их общему делителю. d=НОД(a,b).

Лемма: Если (не обязательно деление с остатком), то 1) 2) .

Алгоритм Евклида

Пусть , тогда остаток равен нулю. Остатки от делений – это целые неотрицательные числа, которые удовлетворяют условию: . Эта последовательность не может быть бесконечной. Значит, на каком-то шаге деления получится остаток =0. Этим и объясняется последнее равенство (1). Равенство (1) – алгоритм Евклида.

ТЕОРЕМА ЕВКЛИДА: Последний не равный нулю остаток в алгоритме Евклида равен

u Докажем, что - общий делитель . Следуем по алгоритму Евклида снизу вверх. , но тогда Пусть , докажем, что . По алгоритму Евклида сверху вниз ¢

Наименьшее общее кратное

Опр.: Пусть целые ненулевые числа. Целое число называют из общим кратным, если

Опр.: . Натуральное число называют наименьшим общим кратным чисел , если оно является их общим кратным и при этом оно делит любое общее кратное чисел и .

Св-во: Если существует, то оно единственное.