Деление угла на две равные части

Для того чтобы разделить угол АВС пополам нужно провести биссектрису из вершины угла. Построение биссектрисы выполняется в следующей последовательности:

· Из вершины угла проводят дугу окружности произвольного радиуса r до пересечения со сторонами угла в точках D и F;

· Из полученных точек проводят две дуги радиусом R, величина которого больше половины длины дуги DF, до взаимного пересечения в точке К;

Прямая проходящая через вершину В и точку К - биссектриса данного угла т.е. делит угол на две равные части (рис. 55).

Деление прямого угла на три равные части

Деление прямого угла АВС на три равные части выполняется в следующей последовательности:

· Из вершины угла проводят дугу окружности произвольного радиуса R до пересечения со сторонами угла в точках D и F;

 

 

· Из полученных точек проводят две дуги тем же радиусом R, до взаимного пересечения с дугой DF в точках К и М;

· Точки К и М соединяют с вершиной В прямыми, которые разделят угол АВС на три равные части (рис. 56).

 

Определение центра дуги окружности

Нахождение положения центра и величины радиуса данной дуги окружности выполняется в следующей последовательности:

1. На дуге произвольно выбирают три точки A, В и С;

2. Соединяют выбранные точки отрезками (хордами);

К отрезкам АВ и ВС через их середины восстанавливают перпендикуляры;

3. Точка О пересечения перпендикуляров определяет положение центра дуги, а отрезок ОА равен радиусу дуги (рис. 57).

Построение касательных

Построение касательной к окружности

Касательную из точки А к окружности можно провести следующим образом:

1. На отрезке ОА как на диаметре строят окружность радиуса R=0,5[OA];

2. Точки 1 и 2 пересечения полученной окружности с заданной определяют положение точек касания;

3. Отрезки [1A] и [2A] определяют положение касательных t₁ и t₂ проведенных из точки А к окружности (рис. 58).

Построение внешней касательной к двум дугам окружности

Внешнее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R-r из центра О дуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На продолжении луча ОМ отмечаем точку касания 1;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой и отмечаем точку касания 2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательную t (рис. 59).

Построение внутренней касательной к двум дугам окружности

 

Внутреннее касание к двум дугам разного диаметра выполняется следующим образом:

1. Проводят окружность радиусом R+r из центра О дуги большего радиуса;

2. К полученной окружности строят касательную МO*, проходящую через центр дуги меньшего радиуса;

3. На луче ОМ отмечаем точку касания 1 - точка пересечения луча с дугой радиуса R;

4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до пересечения с дугой радиуса r и отмечаем точку касания 2;

5. Через точки 1 и 2 проводим искомую касательную t (рис. 60).

 

Скругление углов

Скругление прямого угла

Cкругление прямого угла, имеющего вершину О, дугой радиуса R осуществляется в следующей последовательности:

1. Из вершины О проводят дугу заданным радиусом R, до пересечения со сторонами угла в точках А и В (точки сопряжения);

2. Центр скругления О₁ должен находится на геометрическом месте точек, равноудаленных от сторон угла, т.е. на биссектрисе угла АОВ и определяется точкой пересечения дуг радиуса R, проведенных из точек сопряжения А и В;

3. Проводят дугу АВ радиусом R и центром О₁ (рис. 61).

Скругление острого угла

Скругление острого угла дугой радиуса R можно выполнить в следующей последовательности:

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, будут являться прямые, параллельные сторонам угла и проходящие от них на расстоянии R;

2. Точка пересечение этих прямых определяет центр скругления О₁;

3. Пересечение перпендикуляров опущенных из центра скругления со сторонами определят положение точек сопряжения А и В;

4. Поводим дугу АВ из центра О₁ радиусом R (рис. 62).

Скругление тупого угла

Скругление тупого угла производится точно так же, как и острого. Можно несколько изменить ход построения, если воспользоваться биссектрисой угла:

1. Строят биссектрису угла;

2. Проводят прямую, параллельную одной из сторон угла и отстоящую от нее на расстоянии R;

3. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой определяет положение центра скругления О₁;

4. Пересечение перпендикуляров опущенных из центра скругления со сторонами определят положение точек сопряжения А и В;

5. Поводим дугу АВ из центра О₁ радиусом R (рис. 63).

 

Сопряжение