Методичні вказівки до виконання завдання 1.2.

Перед складанням рівнянь за законами Кірхгофа треба спочатку довільно обрати напрямки струмів в гілках електричного кола. Кількість незалежних рівнянь має дорівнювати кількості невідомих струмів. При складанні рівнянь за I законом Кірхгофа при наявності m-вузлів кількість рівнянь повинно бути на одне менше, тобто (m-1) рівняння. Якщо кількість невідомих струмів n, то за II законом Кірхгофа треба скласти n-(m-1) рівняння. При аналізі електричного кола, якщо в умові вказаний внутрішній опір джерела живлення, доречно зобразити його на електричній схемі.

 

Приклад 1: розглянемо електричне коло, що складається із 2-х контурів, в яких діють Е.Р.С. Е₁=20 В і Е₂=10 В з внутрішніми опорами R₀₁=R₀₂=1 Ом,а також опори споживачів R₁=5 Ом, R₂=10 Ом, R₃=8 Ом. Треба скласти рівняння за законами Кірхгофа, визначити невідомі струми методом контурних струмів

(мал.1.2.2)

 

 

I_I I_II

 

I₁ I₃ I₂

 

 

Мал. 1.2.2

 

Розв’язання: спочатку довільно обираємо напрямки струмів в гілках кола (ив. малюнок);

1). складаємо одне рівняння за першим законом Кірхгофа для вузла А

(оскільки маємо 2 вузли - не має значення для якого)

І₁−І₂−І₃ = 0

2). складаємо 2 рівняння за другим законом Кірхгофа (для кожного контуру, в якому діє джерело Е.Р.С.)

І₁•R₁+I₁•R₀₁+I₃•R₃ = E₁

I₂•R₂+I₂•R₀₂−I₃•R₃ = E₂

Маємо три рівняння для трьох невідомих струмів (розв’язувати їх не потрібно). Таки чином дана відповідь на перший пункт завдання.

3). визначаємо струми в гілках кола методом контурних струмів. Для цього обираємо контурнi струми І_І та І_ІІ, які протікають в межах тільки одного контуру за годинниковою стрілкою. Зазначимо, що вони співпадають з дійсними струмами у зовнішніх гілках кола. Визначаємо власні (R_II і R₂₂) і взаємний (R₁₂ = R₂₁) опори контурів

 

R₁₁ = R₁+R₀₁+R₃= 5+1+8 = 14, Ом

R₂₂ = R₂+R₀₂+R₃= 10+1+8 =19, Ом

R₁₂ = R₂₁ = R₃ = 8, Ом

Оскільки в кожному із контурів діє тільки одне джерело, то контурні Е.Р.С.

будуть рівні їм, тобто

Е_І = Е₁, Е_ІІ = Е₂

Таким чином для контурних струмів І_І і І_ІІ за другим законом Кірхгофа складаємо два рівняння

І_І•R₁₁− I_II•R₁₂ = E_I

−I_I•R₂₁+I_II•R₂₂ = E_II

Підставляючи значення опорів та Е.Р.С., отримуємо

14I_I−8I_II = 20

−8I_I+19I_II = 10

Розв’язуючи систему рівнянь, знаходимо контурні і дійсні струми

I_I = I₁= 2,28, A

I_II= I₂= 1,43, А

І₃=І₁−І₂ = 0,79, А

Складаємо баланс потужностей. При складанні балансу потужностей у лівій частині рівняння записується алгебраїчна сума потужностей, що розвиваються активними елементами ∑E_kI_k (потужність джерел Р_дж). Доданок E_kI_k (у літерних позначеннях) варто брати зі знаком «плюс», якщо напрямок дії Е.Р.С. і позитивний напрямок струму, що проходить по активному елементі, збігаються. У правій частині рівняння записується сума потужностей, що розсіюються на всіх резистивних елементах (у тому числі і на внутрішніх опорах джерел електричної енергії) кола, ∑R_kI_k² (Р_дж)

Р_дж=Р_сп

Р_дж=Е₁•І₁+Е₂•І₂= 20•2,28+10•1,49=60,5, Вт

Р_сп=І₁²•(R₁+R₀₁)+I₂²•(R₂+R₀₂)+I₃²•R₃=61,93, Вт

Похибка обчислень складає 2,3%, що є прийнятним.

 

Для знаходження струму в одній виділеній гілці кола застосовується метод еквівалентного генератора. При цьому усе коло, крім виділеної гілки замінюємо активним двополюсником із внутрішнім опором R_г і Е.Р.С. Е_г, до якого під’єднана вказана гілка. Визначаючи Е_г і R_г за законом Ома для повного кола знаходимо струм у виділеній гілці.

Мал.1.2.3.

Приклад: треба знайти струм І в гілці АБ, якщо відомо: Е₁=25 В,

R₁=20 Ом, R₂ =5 Ом, R₃ =10 Ом, R₄ =40 Ом, R₅ =8Ом.

 

I₁ I₂

 

 

Мал.1.2.3.

I

 

 

Розв’язання: спочатку від’єднуємо опір R₅ і відносно точок АБ розглядаємо коло, як двополюсник. Внутрішній опір еквівалентного генератора (для спрощення нехтуючи опором джерела живлення) знаходимо за схемою мал..1.2.4, вставляючи замість Е.Р.С. Е₁ перемичку ВГ.

 

	Мал.1.2.4.

R_г=R₁•R₂/(R₁+R₂) + R₃•R₄/(R₃+R₄)

 

Маємо паралельно-послідовне з’єднання опорів R1,R2,R3,R4 і опір R_г буде

R_г=R₁•R₂/(R₁+R₂) + R₃•R₄/(R₃+R₄)= 12 Ом

Е.р.с. еквівалентного генератора знаходимо як різницю потенціалів точок А і Б φ_а−φ_б приймаючи потенціал точки Г φ_г = 0 (мал..1.2.5)

 

І_1х I_2х

	Мал.1.2.5.

 

 

Для визначення потенціалів φ_а і φ_б знаходимо струми холостого ходу І_1х та І_2х із рівнянь:

I_1х= Е₁/(R₁+R₂)= 1 A I_2х=Е₁/(R₃+R₄)= 0,5 А

 

Тоді різниця потенціалів

φ_в−φ_а= І_1х•R₁,

а потенціал

φ_а=φ_в−І_1х•R₁=25−20=5 В

Аналогічно знаходимо потенціал φ_б

φ_б=φ_в−І_2х•R₃=25−5=20 В

Різниця потенціалів

φ_а−φ_б = Е_г= −15 В

Струм у гілці АБ через опір R₅ визначаємо за законом Ома

І = Е_г/(R₅+R_г) = −15/(8+12) = − 0,75 A

Приклад: треба побудувати потенціальну діаграму контуру, що містить два джерела живлення: E₁=18 В, Е₂=32 В, R₁=4 Ом, R₂=3Ом, R₃=5Ом, R₀₁=R₀₂=1 Ом.

Для побудови потенціальної діаграми треба визначити потенціали точок електричного кола, умовно прийнявши потенціал однієї з них рівний нулю.

Розглянемо коло на мал..1.2.6, що являє собою контур з двом джерелами живлення, причому активні елементи представимо їх послідовною схемою заміщення (схемою з джерелом Е.Р.С.). Напрямок струму вказано.

C D

 

	Мал.1.2.6

 

В E

 

I →

А

 

 

Величину струму визначимо за законом Ома для повного кола

І= (Е₂−Е₁) / (R₁+R₂+R₃+R₀₁+R₀₂) = 1 A

Потенціал точки А приймаємо φ_а=0. Потенціал будь-якої точки кола дорівнює напрузі між цією точкою і точкою з нульовим потенціалом. Тоді

φ_в−φ_а=U_ав=І•R₁ і φ_в=I•R₁=4 B

Оскільки напрямок Е.Р.С. Е₁ і напрямок струму не співпадають, це джерело

являється споживачем і напруга U_вc=Е₁+І•R₀₁. Значить потенціал φ_с буде

φ_с=φ_в+Е₁+І•R₀₁=23 В

Продовжуючи далі знаходимо

φ_d=φ_c+I•R₂=26 B

Джерело Е₂ працює в якості генератора, тому U_de=E₂−IR₀₂ і

φ_e=φ_d−E₂+I•R₀₂=−5 B.

Потенціал точки А визначаємо як

φ_а=φ_е+І•R₃=0

Потенціальна діаграма – це графічне зображення розподілу потенціалу в

залежності від опору ділянок кола.

 

 

R, Ом