Взаимодействие с веществом g- излучения

g-кванты отдают всю или, по крайней мере, большую часть своей энергии при однократном взаимодействии. Однако вероятность этого взаимодействие очень низка, поэтому g-кванты обладают гораздо большей проникающей способностью, чем заряженные частицы.

Проникающая способность излучения характеризуется чаще всего толщиной слоя поглотителя (в г/см2), при которой интенсивность излучения уменьшается наполовину.

Поглощение g-квантов вызывается тремя независимыми друг от друга процессами с различной физической природой:

фотоэффектом;

эффектом Комптона;

образованием электрон-позитронных пар,

53. Взаимодействие рентгеновского и γ-излучений с веществом. Характеристики фотоэффекта, Комптоновского рассеяния и рождения пар. Коэффициент ослабления рентгеновского и γ-излучений, зависимость

от энергии излучения. При прохождении -излучения через вещество происходит ослабление интенсивности пучка -квантов, что является результатом их взаимодействия с атомами вещества.
На рис. 8 показано полное эффективное сечение взаимодействия с веществом фотонов с энергиями от 10 эВ до 100 ГэВ для двух поглощающих материалов - углерода (Z = 6) и свинца (Z = 82). Выделены вклады различных физических процессов в полное сечение поглощения. Вторым по величине вклада в полное сечение в этой же области энергий гамма-квантов является когерентное рассеяние фотонов на атомах вещества (релеевское рассеяние). Ни ионизации, ни возбуждения атомов при релеевском рассеянии не происходит, гамма-квант рассеивается упруго.
При энергиях гамма-кванта выше ~0.1 МэВ в веществе с малыми значениями Z и выше ~1 МэВ в веществах с большим Z главным механизмом ослабления первичного пучка гамма-квантов становится некогерентное рассеяние фотонов на электронах вещества (эффект Комптона).
Если энергия гамма-кванта превышает удвоенную массу электрона 2m_eс² = 1.02 МэВ, становится возможным процесс образования пары, состоящей из электрона и позитрона. Сечение рождения пары в поле ядра ( _np на рис. 8) доминирует в области высоких энергий фотонов. На рис. 8 показано также сечение образования пар в поле атомных электронов ( _ep).
Перечисленные выше механизмы взаимодействия гамма-квантов с веществом не затрагивали внутренней структуры атомных ядер.
При больших энергиях гамма-квантов (Е > 10 МэВ) увеличивается вероятность процесса взаимодействия фотона с ядрами вещества с возбуждением ядерных состояний. Если энергия кванта больше энергии связи нуклона в ядре, поглощение гамма-кванта высокой энергии будет сопровождаться вылетом нуклона из ядра. При энергиях гамма-квантов около 20-25 МэВ для легких ядер (А < 40) и 13-15 МэВ для тяжелых ядер в эффективном сечении ядерного фотопоглощения наблюдается максимум, который называется гигантским дипольным резонансом ( _GDR на графиках рис. 8).
В области энергий гамма-квантов, излучаемых возбужденными ядрами при переходах в основное и низшие возбужденные состояния, т. е. при от 10 кэВ до примерно 10 МэВ наиболее существенны три процесса взаимодействия фотонов с веществом: комптоновское (некогерентное) рассеяние, фотоэффект и образование пар электрон-позитрон. Суммарное эффективное сечение в этой области энергий является суммой эффективных сечений отдельных процессов, участвующих в ослаблении первичного потока:

_tot = _ph + _C + _p.

Эффективное сечение каждого изопроцессов, рассчитанное на один атом поглотителя, является функцией как энергии гамма-излучения, так и атомного номера Z вещества поглотителя.
Уменьшение интенсивности I(x) моноэнергетичного коллимированного пучка гамма-квантов не слишком толстым слоем х однородного вещества происходит экспоненциально:

Фотоэффект. Если энергия -кванта больше энергии связи электрона оболочки атома, происходит фотоэффект. Это явление состоит в том, что фотон целиком поглощается атомом, а один из электронов атомной оболочки выбрасывается за пределы атома. Используя закон сохранения энергии, можно определить кинетическую энергию фотоэлектрона E_е:

E_е = - I_i - E_n,

где I_i - ионизационный потенциал оболочки атома, из которой выбивается электрон; E_n - энергия отдачи ядра, - энергия гамма-кванта. Величина энергии отдачи ядра обычно мала, поэтому ею можно пренебречь. Тогда энергия фотоэлектрона определится соотношением E_е = - I_i, где i = K, L, M,... - индекс электронной оболочки. Хорошо видные на рис. 8 "зубцы" в кривой эффективного сечения являются следствием скачков сечения фотоэффекта при росте энергии фотона выше различных ионизационных потенциалов электронных оболочек атома. Эффективное сечение фотоэффекта является суммой эффективных сечений фотоэффекта на отдельных электронных оболочках атома. Существенной особенностью фотоэффекта является то, что он не может происходить на свободном электроне, т. к. законы сохранения импульса и энергии в случае фотоэффекта на свободном электроне оказываются несовместимыми.
Фотоэффект происходит с наибольшей вероятностью (около 80%) на электронах атомной оболочки, наиболее сильно связанной с ядром атома, т.е. на K-оболочке.
Зависимость сечения фотоэффекта от атомного номера Z вещества поглотителя сильное: _ph ~ Z⁵.Фотоэффект является главным процессом, ответственным за поглощение -квантов в области малых энергий. В области энергий < 0.5 МэВ величина эффективного сечения фотоэффекта очень резко спадает с ростом энергии гамма-квантов:

Комптон-эффект - это рассеяние -квантов на свободных электронах. Электрон можно считать свободным, если энергия -квантов во много раз превышает энергию связи электрона. В результате комптон-эффекта вместо первичного фотона с энергией появляется рассеянный фотон с энергией

< , а электрон, на котором произошло рассеяние, приобретает кинетическую энергию E_е = - .. Кинетическая энергия электрона определяется соотношением

Сечение комптоновского рассеяния убывает с ростом энергии -кванта: _C ~ 1/ .
При комптоновском рассеянии -квантов, возникших в результате переходов атомных ядер из возбужденных состояний в основное и низшие возбужденные, энергии -квантов, как правило, много больше как энергии связи электронов в атоме, так и кинетических энергий этих электронов. Поэтому в формулах (11) - (13) первичный электрон считался покоящимся. Некогерентное рассеяние -кванта приводит в этом случае к передаче части энергии кванта электрону и появлению -кванта с меньшей энергией (и большей длиной волны). Однако этот же процесс некогерентного рассеяния используется в современной физике для получения моноэнергетических пучков -квантов высоких энергий. С этой целью поток фотонов от лазера рассеивают на большие углы на пучке ускоренных электронов высокой энергии, выведенных из ускорителя. Такой источник -квантов высокой энергии и плотности называется L aser- E lectron- G amma- S ource (LEGS). В одном из работающих в настоящее время LEGS лазерное излучение в результате рассеяния на электронах, ускоренных до энергий 3 ГэВ, превращается в поток -квантов с энергиями 400 МэВ

Образование пары электрон–позитрон. Можно показать, что одиночный квант любой энергии не может в вакууме превратиться в электрон-позитронную пару, так как при этом не выполняются одновременно законы сохранения энергии и импульса. Процесс образования пар происходит лишь в кулоновском поле частицы, получающей часть энергии и импульса.
Образование пар в поле ядра может иметь место, если энергия кванта удовлетворяет соотношению

> 2m_ec² + E_я, где первый член справа соответствует энергии покоя пары электрон- позитрон, а второй - энергия отдачи ядра.

Порог рождения пар в поле электрона равен 4m_eс². Это связано с тем, что энергию отдачи получает электрон, имеющий малую массу, и пренебречь ею уже нельзя.

54 Поглощённая и эквивалентная дозы ионизирующего излучения. Коэффициент качества для α-, β-,μ-, рентгеновского и γ-излучений излучений. Радиационный фон.

Независимо от природы ионизирующего излучения его взаимодействие с веществом может быть оценено отношением энергии, переданной элементу к массе этого элемента. Эту дозу называют поглощенной.

Единица измерения-Грей. Можно оценить дозу по ионизирующему действию излучения в воздухе, окружающем тело. В связи с этим вводят понятие экспозиционная доза излучения Х. За единицу принимают кулон Кг. Эквивалентная доза излучения H=kD. K показывает во сколько раз эффективность данного вида излучения больше, чем рентгеновское излучения, при одинаковой дозе излучения в тканях(коэффициент качества). Поглощенная доза(D) в системе си Дж/кг=Гр(Гр=100рад). D=fX. Мощность поглощенной дозы Гр/c, рад/c. Экспозиционной дозы Кл/Кг. Эквивалентная доза дж/кг= Зв(зиверт), 1зв=100 бэр.

Коэффицие́нт ка́чества — в радиобиологии усредненный коэффициент относительной биологической эффективности (ОБЭ). Характеризует опасность данного вида излучения (по сравнению с γ-излучением). Чем коэффициент больше, тем опаснее данное излучение.

Природный или естественный радиационный фон (ПРФ / ЕРФ):

первичное космическое излучение

вторичное космическое излучение

радиоактивные семейства

радионуклиды, не входящие в ряды.

радионуклиды земной коры, атмосферы, строительных материалов, пищи и воды

Выделяют также технологически измененный естественный радиационный фон.

 

55.Виды детекторов ионизирующих излучений. Сцинтилляционные детекторы и счётчики Гейгера. Особенности, принцип работы детекторов, технические принципы их работы. Дозиметры. Детекторами ионизирующих излучений называют приборы, регистрирующие α,β,γ-излучения, нейтроны, протоны.

-следовые (позволяют наблюдать траекторию частицы) Камера Вильсона

-счетчики - газоразрядные устройства (пропорциональные счетчики, счетчик Гейгера-Мюллера, импульсные ионизационные камеры), а так же люминесцентные, полупроводниковые.

-интегральные приборы-фотопленки (фиксируется степень почернения после проявления пленки, ионизационные камеры непрерывного действия.

Испускание света некоторыми веществами при прохождении сквозь них быстрых заряженных частиц называют сцинтилляцией. СЦИНТИЛЛЯЦИОННЫЙ СЧЕТЧИК регистрирует частицы по световому излучению, вызываемому ими в кристалле. Часть светового излучения попадает в световод. Свет выбивает из фотокатода фотоэлектронного умножителя электроны, которые ускоряются и умножаются системой его динодов, создавая ток, который дополнительно усиливается.

Гейгера - Мюллера счетчик газоразрядный прибор для обнаружения и исследования различного рода радиоактивных и др. ионизирующих излучений: α- и β-частиц, γ-kвантов, световых и рентгеновских квантов, частиц высокой энергии в космических лучах и на ускорителях.

 

 

Статистика.

1.Случайное событие – это событие, которое при данных условиях может произойти, либо не произойти. Относительная частота событий называется вероятностью и показывает отношение числа ожидаемых событий к числу возможных. Статистическое определение вероятности подразумевает под собой вероятность как предел, к которому стремится относительная частота. При классическом определении отн. частота и вероятность совпадают. В этом случае должно быть известно должны быть известны полное число возможных событий и число ожидаемых событий (орёл-решка, кубики и тп). Совместные события могут происходить параллельно друг другу; несовместные события исключают появление друг друга в ходе проводимого опыта. Зависимым называется событие, на вероятность которого оказывает влияние исход какого-либо иного события. Независимые наоборот.

2.Теорема сложение вероятностей: вероятность появление какого-либо события из нескольких несовместных равна сумме их вероятностей (или то, или другое) Теорема умножения вероятностей: Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей(и то и другое). Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло(опыт с шариками в мешке, которые вытаскивают и не возвращают)

3. Дискретные. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины(возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел). Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Математическое ожидание имеет смысл среднего значения случайной величины. Для дискретных случ. величин оно определяется как сумма произведений случ. величины на вероятность её появления. Дисперсия описывает разброс случ. величин относительно математического ожидания. Дисперсия дискретных случ. величин определяется, как сумма квадратов разности случ. величин и математического ожидания на соответствующие вероятности появления этих случайных величин. Среднее квадратичное отклонение — это квадратный корень из среднего арифметического всех квадратов разностей между данными величинами и их средним арифметическим.

4. Непрерывные случайные величины всегда имеют вероятность равную нулю, поскольку количество её возможных численных значений бесконечно велико. Математическое ожидание имеет смысл среднего значения случайной величины. Для дискретных случ. величин оно определяется как сумма произведений случ. величины на вероятность её появления. Дисперсия описывает разброс случ. величин относительно математического ожидания. Дисперсия дискретных случ. величин определяется, как сумма квадратов разности случ. величин и математического ожидания на соответствующие вероятности появления этих случайных величин. Среднее квадратичное отклонение — это квадратный корень из среднего арифметического всех квадратов разностей между данными величинами и их средним арифметическим.

5. Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Примеры:

1) дискретная случайная величина Бернулли(закон распределения Бернулли). Закон распределения дискретной случайной величины Бернулли имеет следующий вид: 0<p<1

Такому распределению соответствует бросание монеты, на одной стороне которой - 0, а на второй - 1.

2) дискретная биномиальная случайная величина (биномиальное распределение). Закон распределения данной дискретной случайной величины запишется следующим образом:

где

Число успехов в n испытаниях схемы Бернулли имеет биномиальное распределение.

3) дискретная случайная величина Пуассона(пуассоновское распределение с параметром). Закон распределения дискретной случайной величины Пуассона задается следующим образом:

где - параметр.

Закон распределения случайной величины Пуассона носит название закона редких событий, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию, число распавшихся нестабильных частиц и т.д.

4) дискретная геометрическая случайная величина (геометрическое распределение). Закон распределения геометрической дискретной случайной величины имеет вид

Пусть производятся независимые испытания, причем в каждом испытании возможны два исхода - "успех" с вероятностью p или "неуспех" с вероятностью 1 - p, 0 < p < 1. Обозначим через число испытаний до первого появления "успеха", тогда будет дискретной геометрической случайной величиной.

Распределение случайной величины называется непрерывным, а сама случайная величина - непрерывной случайной величиной, если для любого

где - интегрируемая по Лебегу функция. Функция называется плотностью распределения случайной величины.

Примеры

1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение).Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение.

2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение).Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время при условии, что перед этим оно уже прожило время, совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время. Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия.

3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение).Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a;b].

Закон Бернулли: число ожидаемых событий, появляющихся в опытах с n независимыми испытаниями, в которых ожидаемые события характеризуются одинаковой вероятностью p или:

Математическое ожидание

Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда где символ M обозначает математическое ожидание.

6. смотри билет 5

Закон распределения Пуассона: удовлетворяет вероятности появления заданного количества редко происходящих случайных событий, наблюдаемых в серии из большого количества независимых повторных опытов. Вероятность намного меньше 1.

Где m-число ожидаемых событий, а- параметр распределения, совпадающий с математическим ожиданием, е-основание натурального логарифма. Распределению Пуассона удовлетворяют числа редких событий, происходящих за определённый промежуток времени.

7. Непрерывные и дискретные случайные величины. Плотность вероятности. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Графическое представление. Примеры.

Дискретные случайные величины – величины, которые могут принимать счетное количество значений конечное или бесконечное.
пример: количество пассажиров в транспорте.

Непрерывные случайные величины- величины. Которые принимают бесконечное число возможных значений в конечном, или в бесконечном интервалах изменения
пример: время, масса, объем, температура тела.

Плотностью вероятности f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная функции распределения F(X) этой величины: f(x)=F’(X)

Основные свойства плотности:
1). Плотность вероятности является неотрицательной функцией: f(x)>0
2) вероятность того, что в результате испытания непрерыв. Случ. Величина примет какое-либо значение из интервала(а,b), равна определенному интегралу(в пределах от а до b) от плотности вероятности этой случайной величины.

3).определенный интеграл в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности от плоности вероятности непрерывной случайной величины равен единице..

4)определенный интеграл в пределах от «–«бесконечности до х от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ ² — дисперсия.

Графики нормального распределения

 

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. * Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда где символ M обозначает математическое ожидание.

 

8. Стандартное нормальное распределение. Стандартные интервалы. Понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительный интервал — это интервал, построенный с помощью случайной выборки из распределения с неизвестным параметром, такой, что он содержит данный параметр с заданной вероятностью.

Пусть - выборка из некоторого распределения с плотностью , зависящей от параметра , который может изменяться в интервале . Пусть - некоторая статистика и - функция распределения случайной величины , когда выборка имеет распределение с плотностью . Предположим, что есть убывающая функция от параметра . Обозначим квантиль распределения , тогда есть возрастающая функция от . Зафиксируем близкое к нулю положительное число (например, 0,05 или 0,01). Пусть . При каждом неравенства

(1)

выполняются с вероятностью , близкой к единице. Перепишем неравенства (1) в другом виде:

(2)

Обозначим , и запишем (2) в следующем виде:

Интервал называется доверительным интервалом для параметра , а вероятность - доверительной вероятностью.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ ² — дисперсия.

Графики нормального распределения

 

9. Понятие генеральной совокупности и выборки. Объём выборки, репрезентативость. Статистическое распределение (вариационный ряд). Примеры. Характеристики выборки.

Генеральная совокупность – множество каких-либо однородных элементов, которые предстоит изучить статистическими методами; множество всех значений случайной величины, а варианта – одно из значений генеральной совокупности.

Выборка – это некоторая часть элементов, выделяемая по определенному правилу из ген. совокупности.

Объём выборки – это число выделяемых элементов в генеральной совокупности. Минимальным, статистическим допустимым объёмом выборки, считается три элемента.

Выборка производится с целью описания генеральной совокупности. Если это описание является полным и корректным, то выборка является репрезентативной. Результаты повторных измерений какой-либо физической величины х, проводимых в одинаковых условиях, часто называют выборкой из бесконечной генеральной совокупности, поскольку считается, что в опыте теоретически возможно произвести сколь угодно большое число измерений при одинаковых условиях, а множество всех возможных результатов измерений и образуют данную генеральную совокупность. Математическое ожидание такой генеральной совокупности считается истинным значением измеряемой величины.Таким образом, в ходе нескольких повторных измерений физической величины получают набор результатов, являющийся выборкой объёма n:х₁, х₂,…..,х_n, где n-число повторных измерений.Как дискретные, так и непрерывные, случайные величины могут быть получены в результате опыта – наблюдения – то есть в виде вариационнго ряда: 4,67; 5,49; 5351 и так далее. Однако такой способ задания является малоинформативным – требующим дополнительной обработки, для какого-либо даже поверхностного представления о случайной величине.

К выборочным характеристикам отнтсятся:

· среднее значение (Х_ср), как оценка математического ожидания

· выборочное среднеквадратическое отклонение (S_x), как оценка генерального значения среднеквадратического отклонения (σ) выборочная дисперсия (S_x²)

N- число элементов выборки

 

№ 10 Точечные оценки параметров генеральной совокупности.

.Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину

Величина называется относительной частотой значения признака x_i. Если значения признака, полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой .

Естественно считать величину выборочной оценкой параметра M x. Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.

Выборочную дисперсию

можно считать точечной оценкой дисперсии Dx генеральной совокупности.

Приведем еще один пример точечной оценки. Пусть каждый объект генеральной совокупности характеризуется двумя количественными признаками x и y. Например, деталь может иметь два размера – длину и ширину. Можно в различных районах измерять концентрацию вредных веществ в воздухе и фиксировать количество легочных заболеваний населения в месяц. Можно через равные промежутки времени сопоставлять доходность акций данной корпорации с каким-либо индексом, характеризующим среднюю доходность всего рынка акций. В этом случае генеральная совокупность представляет собой двумерную случайную величину x,h. Эта случайная величина принимает значения x, y на множестве объектов генеральной совокупности. Не зная закона совместного распределения случайных величин x иh, мы не можем говорить о наличии или глубине корреляционной связи между ними, однако некоторые выводы можно сделать, используя выборочный метод.

Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где
i -тый отобранный объект (i = 1,2,... n)представлен парой чисел x_i, y_i:

 

x 1	x 2	...	xn
y 1	y 2	...	yn

Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

Здесь

, ,

.

Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции r_xh, характеризующего генеральную совокупность.

Выборочные параметры или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

Пусть выборочный параметр dрассматривается как выборочная оценка параметра D генеральной совокупности и при этом выполняется равенство

M d = D.

Такая выборочная оценка называется несмещенной.

Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценок будем рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных величин x₁,x₂,... x _n, каждая из которых имеет тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина x, представляющая генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными равенства: Mx_i = M x _i = M x;
Dx_i = D x _i = D x для всех k = 1,2,... n.

Теперь можно показать, что выборочная средняя есть несмещенная оценка средней генеральной совокупности или, что то же самое, математического ожидания интересующей нас случайной величины x:

.

Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:

.

Найдем теперь, чему равно математическое ожидание выборочной дисперсии s ². Сначала преобразуем s ² следующим образом:

Здесь использовано преобразование:

Теперь, используя полученное выше выражение для величины s ², найдем ее математическое ожидание.

.

Так как M s ² ¹ D x, выборочная дисперсия не является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на . Тогда получится величина , называемая исправленнойвыборочнойдисперсией.

Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наимень­шую дисперсию, называется эффективной.

Полученная из выборки объема n точечная оценка d _n параметра D генеральной совокупности называется состоятельной, если она сходится по вероятности к D. Это означает, что для любых положительных чисел e и g найдется такое число n_eg, что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > n_eg выполняется условие . и являются несмещёнными, состоятельными и эффективными оценками величин Mx и Dx.

Интервальные оценки.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины x, определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот параметр через D. По сделанной выборке по определенным правилам найдем числа D ₁ и D ₂, так чтобы выполнялось условие:

P (D ₁< D < D ₂) =P (D Î(D ₁; D ₂)) = g

Числа D ₁ и D ₂ называются доверительными границами, интервал (D ₁, D ₂) — доверительным интервалом для параметра D. Число g называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.

Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0,95, 0,99 или 0,999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (D ₁, D ₂) достаточно высока. Число (D ₁ + D ₂) / 2 – середина доверительного интервала – будет давать значение параметра D с точностью (D ₂ – D ₁) / 2, которая представляет собой половину длины доверительного интервала.

Границы D ₁ и D ₂ определяются из выборочных данных и являются функциями от случайных величин x ₁, x ₂,...,