Практичні заняття і контрольні роботи

Мета пропонованих практичних занять і контрольних завдань полягає у засвоєнні студентами методів визначення числових значень показників надійності машин, а також параметрів, що характеризують їх експлуатаційні властивості, вивченні розрахунків зносу типових конструкцій деталей машин, а також прищепити майбутньому фахівцеві навички визначати оптимальний строк служби машин з метою своєчасного призначення процедури технічного обслуговування і ремонту.

Для задачі № 1 варіанти завдань знаходяться в таблицях 2.5 та 2.6, для задачі № 2 – у таблицях 2.7 та 2.8, для задачі № 3 – у вигляді таблиці 2.9, а для задачі № 4 – у вигляді таблиць 2.10 та 2.11.

Вибір свого варіанта завдання студент здійснює за двома останніми цифрами залікової книжки. Вказівки щодо вибору початкових даних містяться в кінці даного розділу.

У контрольній роботі студент виконує чотири задачі відповідно до свого варіанта. Контрольна робота для студентів заочної форми навчання виконується на зброшурованих аркушах формату А 4 із дотриманням вимог стандартів для текстових документів. Креслення, графіки і розрахункові схеми мають бути виконані олівцем. На першій сторінці роботи обов'язково вказується шифр залікової книжки студента.

 

Задача № 1

Завдання до задачі № 1

1. За заданою таблицею 2.1 після перетворень емпіричного розподілу термінів служби автомобіля t побудувати графіки:

- розподілу ймовірності безвідмовної роботи Р(t);

- функції розподілу (імовірності виникнення відмови) F(t));

- імовірності безвідмовної роботи P(t).

2. Визначити числові значення показників надійності:

- середнє напрацювання до відмови t_сер;

- інтенсивність відмов для напрацювання ;

- імовірність безвідмовної роботи для напрацювання у ;

- гамма-процентний ресурс .

3. За побудованим многокутником розподілу (імовірності ) установити імовірний вид теоретичного закону розподілу (розподілу щільності ймовірності f(t)), а за емпіричним розподілом термінів служби машини визначити числові значення параметрів теоретичного закону розподілу.

 

Приклад розв’язання задачі

 

У таблиці 2.1 наведено емпіричний розподіл термінів служби автомобілів визначеної марки у тисячах кілометрах пробігу до капітального ремонту. За наведеним емпіричним розподілом розв'язати поставлену задачу.

 

Таблиця 2.1 – Емпіричний розподіл термінів служби автомобілів t (у тисячах кілометрах пробігу) до першого капітального ремонту

Номер інтервалу
Межі інтервалу, тис. км
Кількість машин, що втратили працездатність в інтервалі,

= 100 тис. км; = 70%

Розв'язання

У таблиці 2.1 випадковою дискретною величиною є термін служби автомобіля t у тисячах кілометрах пробігу. З урахуванням цього таблицю 2.1 пере-

творюємо на таблицю 2.2.

У таблиці 2.2 загальна кількість спостережуваних автомобілів визначається за наступною формулою:

, (2.1)

де n_i – кількість об'єктів, що втратили працездатність в i -му інтервалі пробігу;

S – кількість інтервалів, на які розділений пробіг.

Таблиця 2.2

Номер інтервалу										Примітка
Межі інтервалу, тис. км		50 70	70 90	90 110		130 150	150 170		190 210
Середина інтервалу ti, тис. км
Кількість машин, що втратили працездатність в інтервалі, ni
Емпірична ймовірність, pi(t)	0,01	0,04	0,08	0,25	0,28	0,19	0,1	0,04	0,01
Ni(t)										-
Fi(t)		0,01	0,05	0,13	0,38	0,66	0,85	0,95	0,99	-

 

Емпірична ймовірність для певного інтервалу визначається за формулою:

, (2.2)

де n – загальна кількість об'єктів в експерименті.

Наприклад, для першого інтервалу пробігу емпірична ймовірність визначатиметься наступним чином:

Аналогічним чином визначаються числові значення p_i(t) для кожного інтервалу пробігу та отримані результати вносять до таблиці 2.2.

N – теоретична кількість об'єктів, у яких значення випадкової величини t t_i. Числове значення величини визначається за формулою:

N_i=N_i-l+n_i-l. (2.3)

Аналіз умови t < t_i дозволяє зробити висновок, що . Наступні числові значення N визначатимуться за формулою (2.3). Указане дозволяє отримати наступне:

Аналогічним чином визначаються всі наступні значення теоретичного числа об'єктів ,а отримані числові результати заносять до таблиці 2.2.

Емпіричне значення функції розподілу випадкової величини t визначається за формулою:

(2.4)

Отримані чисельні значення функції розподілу випадкової величини вносять до таблиці 2.2.

За даними таблиці 2.2 будують графіки розподілу ймовірності p(t) (рис. 2.1) і функції розподілу F(t) (рис. 2.2).

Аналіз графічної інтерпретації графіка, що наведено на рис. 2.2, дозволяє зробити висновок, що зі збільшенням величини напрацювання імовірність виникнення відмови збільшується.

За даними таблиці 2.2 визначаються чисельні значення показників надійності виробу.

 

Рисунок 2.1 – Розподіл імовірності відмови

1 – багатокутник розподілу; 2 – крива нормального розподілу

 

Рисунок 2.2 – Функція розподілу (імовірність виникнення відмови)

 

Середнє напрацювання до відмови t_сер є математичним очікуванням пробігу автомобіля до першої або наступної відмови аналізованого виду. Статистично цей показник надійності визначається відношенням суми пробігів випробуваних автомобілів, якщо всі вони відмовили за час випробувань до кількості автомобілів :

(2.5)

де t_i – пробіг до відмови 1-го автомобіля (середина інтервалу у тисячах кілометрах пробігу).

Примітка. У розглянутій задачі даний розподіл термінів служби автомобіля у тисячах кілометрах пробігу до першого капітального ремонту і визначається конкретним напрацюванням . Але різна кількість автомобілів може втратити працездатність як до кінця напрацювання , так і продовжувати працювати далі. Середини інтервалів, у котрих деяка кількість машин втрачає працездатність, позначається через .

З урахуванням даних задачі, що будуть наведені нижче, формула для визначення середнього наробітку на відмову набуде наступного вигляду:

. (2.6)

Перетворення формули (2.5) у формулу (2.6) пов'язане з тим, що в наведеній задачі наведено дев’ять інтервалів, у яких в одному інтервалі втрачає працездатність декілька машин, а сума їх за дев’ять інтервалів дорівнює п.

Інтенсивністю потоку відмови називають умовну ймовірність виникнення відмови не відновлюваного об'єкта, зумовлену для аналізованого моменту часу за умови, що до цього моменту відмова не виникла і визначається за наступною формулою:

(2.7)

де (t) – умовна імовірність виникнення відмови в момент пробігу t= за умови, що до цього проміжку часу об'єкт був справний;

n(t) – кількість об'єктів, у яких термін служби t > t_i, тобто кількість технічних об'єктів, що залишилися працездатними до кінця напрацювання;

t – ширина інтервалу у тисячах кілометрах.

Візьмемо, t= = 100 тисяч кілометрів пробігу, а t =20 тисяч кілометрів (табл.. 2.1). Згідно з визначенням n(t),отримаємо наступне:

У цьому випадку:

.

Імовірність безвідмовної роботи визначає ймовірність того, що в межах заданого пробігу автомобіля відмова визначеного виду не виникне. Імовірність безвідмовної роботи статистично оцінюється відношенням працездатних елементів наприкінці n(t) і на початку n цього пробігу:

(2.8)

Наприклад, для середини інтервалу t = 40 тисяч кілометрів значення n(t) визначатиметься наступним чином:

Тоді:

Аналогічно визначаються всі значення P(t) для усіх інтервалів пробігу та за отриманими даними будується графік імовірності безвідмовної роботи P(t), загальний вигляд якого наведено на рис. 2.3.

Гамма – процентним ресурсом називається напрацювання, протягом якого об'єкт не досягне граничного стану з даною ймовірністю , заданою у відсотках. Імовірність – відсотків фактично є імовірністю безвідмовної роботи до граничного стану:

(2.9)

Рисунок 2.3 – Імовірність безвідмовної роботи

Наприклад,

Визначивши таким чином значення ,відкладаємо його на вертикальній осі графіка ймовірності безвідмовної роботи (рис. 2.3). Проводиться горизонтальна лінія до перетину з кривою графіка, що дозволяє отримати на графіку точку. Опускаючи із отриманої точки перпендикуляр на горизонтальну вісь знаходиться певне числове значення .

За графіком імовірності безвідмовної роботи (рис. 2.3) знаходиться значення = 95 тис. км, тобто t₇₀ = 95 тис. км.

Таким чином у результаті проведення експериментальних досліджень були визначені наближеним методом показники надійності машин. Для уточнення отриманих показників надійності машин використовують закони розподілу випадкових величин, рекомендації стосовно вибору яких наведено в [4]. У даному випадку для опису розподілу випадкової величини t використовується закон нормального (Гауссового) розподілу випадкової величини, як найбільш поширений і природній закон розподілу.

Закон нормального розподілу щільності ймовірності визначається за наступною формулою:

(2.10)

де f(t) – щільність імовірності випадкової величини t;

– середнє значення (математичне очікування) наробітки на відмову;

– середнє квадратичне відхилення;

e = 2,71 – основа натурального логарифма.

Для використання залежності (2.10) необхідно визначити наступні параметри: середнє напрацювання на відмову t за даними таблиці 2.2 визначається за формулою:

(2.11)

Наприклад:

тис. км.

Після цього проводиться порівняння значення t, отриманого за формулами (2.6) і (2.11). Отримані числові значення t повинні збігатися. Середнє квадратичне відхилення обчислюється за формулою:

(2.12)

тис. км.

Обчислені числові величини t і підставляються до закону нормального розподілу (2.10), за яким виконуються розрахунки для побудови теоретичного розподілу.

Наприклад, для першої середини інтервалу розглянутого пробігу функція щільності ймовірності випадкової величини визначатиметься наступним чином:

Аналогічним чином визначатимуться всі наступні числові значення f_i(t). Отримані результати заносять до таблиці 2.3.

Теоретичне значення ймовірності безвідмовної роботи визначається за формулою:

(2.13)

Наприклад:

Аналогічним чином визначатимуться наступні числові значення . Отримані результати заносяться в таблицю 2.3.

Після визначення теоретичної ймовірності безвідмовної роботи на багатокутник розподілу випадкової величини, графічну інтерпретацію якого зображено на рис. 2.1, наносяться числові значення для кожної середини інтервалу із таблиці 2.3. Отримані точки поєднуються між собою плавною кривою лінією (крива 2 на рис. 2.1).

Значення теоретичного числа об'єктів, що втратили працездатність у кожному конкретному інтервалі, визначається за формулою:

(2.14)

Наприклад:

Аналогічним чином визначаються наступні числові значення для кожного конкретного інтервалу. Отримані результати заносяться до таблиці 2.3.

 

 

Таблиця 2.3 – Дані для побудови теоретичного закону розподілу

№ інтервалу, S										S=9
Середина інтервалу, ti
fi(t)	0,00	0,00	0,00	0,01	0,01	0,01	0,00	0,00	0,00
	0,00	0,03	0,11	0,2	0,2	0,21	0,10	0,0	0,00
	0,74	3,58	11,04	21,62	26,9	21,24	10,64	3,4	0,68
		0,74	4,32	15,36	36,98	63,88	85,12	95,76	99,16

 

Теоретичне число об'єктів (автомобілів), у яких значення випадкової величини t < обчислюється за формулою:

(2.15)

Числові значення визначаються саме таким чином, як і N_i, а саме:

Аналогічно визначаються всі значення . Отримані числові результати заносять до таблиці 2.3.

Наступним етапом виконання досліджень є порівняння теоретичних і практичних результатів. Порівняння можна проводити візуально і за критерієм згоди. При візуальному порівнянні проводиться аналіз збігу багатокутника розподілу ймовірності безвідмовної роботи з теоретичною кривою закону нормального розподілу. Між емпіричним і теоретичним розподілами можливі деякі візуальні розбіжності. Тому для остаточного доведення узгодженості теоретичних і експериментальних результатів використовуються спеціальні критерії згоди. Найбільш поширеним є критерій згоди А.М. Колмогорова. Цей критерій дає завищене значення ймовірності згоди, але він простіше деяких інших критеріїв.

Критерій згоди A.M. Колмогорова – це максимальна різниця розбіжності теоретичних та експериментальних результатів, а саме:

(2.16)

де (2.17)

Критерій згоди D визначається для кожного інтервалу за формулою (2.17) наступним чином:

Аналогічно визначаються всі наступні значення D_і. Із отриманих числових значень D згідно з умовою (2.17) вибирається тільки одне – максимальне.

Визначаємо максимальне значення D_i. Максимальним значенням буде D₄, яке дорівнює:

Визначаємо критерій за формулою (2.16):

За критерієм знаходиться P(), згідно з таблицею 2.4, що дорівнює ймовірності того, що різниця D перевищить отримане значення.

 

Таблиця 2.4

	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	1,00	0,997	0,964	0,864	0,711	0,544^	0,393	0,270

 

Чим більше наближене числове значення P() до одиниці, тим точніше прийнятий теоретичний розподіл описує емпіричний. При P()> 0,5 можна вважати вибраний теоретичний закон таким, що відповідає емпіричному розподілу.

Отже, за даними таблиці 2.4 Р(), тобто Р(0,236) 1. Таким чином, закон нормального розподілу описує емпіричний з імовірністю 100 %.

Середні помилки параметрів і емпіричного розподілу визначаються за наступними формулами:

Відповідно до теоретичного закону розподілу щільності ймовірності (2.10) визначаються значення показників надійності для виробів, що досліджуються, точним методом:

· середнє напрацювання на відмову:

(2.18)

· імовірність безвідмовної роботи до напрацювання :

(2.19)

· інтенсивність відмов:

(2.20)

 

Задача № 2

Завдання до задачі №2

1. Визначити надійність (імовірність безвідмовної роботи) складної машини, що складається з m деталей за умови, що ймовірність безвідмовної роботи всіх m елементів однакова, тобто виконується умова P_i(t)=P(t) для випадків, наведених на рис. 2.4 – 2.7.

2. Розв'язати запропоновану задачу оберненим способом, тобто визначити потрібну ймовірність безвідмовної роботи P_i(t) деталей машин, якщо відоме числове значення сумарної ймовірності безвідмовної роботи .

 

Приклад розв’язання задачі

Дано: m = 10, n = 2, P_i(t) = 0,95, =0,9.

За вихідними даними будуються схеми з'єднань деталей машин таким чином, як це показано на рис. 2.4 – 2.7.

1. Для послідовного з'єднання деталей імовірність безвідмовної роботи складної машини визначається за формулою:

(2.21)

2. Для паралельного з'єднання деталей імовірність безвідмовної роботи складної машини визначається за формулою:

(2.22)

 

Рис. 2.4 – Послідовне з'єднання деталей

Рис. 2.5 – Паралельне з'єднання деталей

 

 

Рис. 2.6 – Змішане з'єднання деталей із загальним резервуванням

Рис. 2.7 – Змішане з'єднання деталей з роздільним резервуванням

 

3. Для змішаного з'єднання деталей із загальним резервуванням імовірність безвідмовної роботи складної машини визначається за формулою:

(2.23)

Наприклад:

4. Для змішаного з'єднання деталей з роздільним резервуванням імовірність безвідмовної роботи складної машини визначається за формулою:

(2.24)

Наприклад:

Для розв’язування оберненої задачі формули (2.21 – 2.24) необхідно перетворити відносно P_i(t) за ними виконати розрахунки.

1. Для послідовного з'єднання деталей імовірність безвідмовної роботи P_i(t) деталей машин визначатиметься за формулою:

(2.25)

Наприклад:

2. Для паралельного з'єднання деталей імовірність безвідмовної роботи P_i(t) деталей машин визначатиметься за формулою:

(2.26)

Наприклад:

3. Для змішаного з'єднання деталей із загальним резервуванням імовірність безвідмовної роботи P_i(t) деталей машин визначатиметься за формулою:

(2.27)

Наприклад:

4. Для змішаного з'єднання деталей із роздільним резервуванням імовірність безвідмовної роботи P_i(t) деталей машин визначатиметься за формулою:

(2.28)

Наприклад:

 

Задача № 3

Завдання до задачі № 3

За експериментальними даними експлуатації автомобіля ГАЗ-24 розрахувати його пробіг до зносу ресурсу накладок зчеплення.

Приклад розв’язання задачі

Пробіг автомобіля до зносу ресурсу накладок щеплення визначається за наступною формулою:

(2.29)

де – допустима величина сумарного зносу накладок, мм;

j_{1 ,2...n} – зносостійкість, отримана експериментальним шляхом, для відповідних умов експлуатації, кгс·м/см²·мм;

а_{экв 1,2… n} – питома робота сили тертя на 1 км пробігу автомобіля у відповідних умовах експлуатації, кгс·м/см²;

d_L - частка пробігу автомобіля за відповідних умов експлуатації у сотих частках відсотка.

Значення допустимої величини сумарного зносу накладок приймається рівним 2,5 мм.

Примітка. Оскільки, згідно з двома останніми цифрами залікової книжки, студент вибирає тільки дві умови експлуатації, то частка пробігу автомобіля d_L складає 50 %, або у відносних одиницях виміру 0,5. Останнє числове значення d_L і буде підставлене до формули (2.29).

Задача № 4

Завдання до задачі № 4

Розрахувати середню величину, зносу U напрямних станин верстатів за задану певну кількість років.

Приклад розв’язання задачі

Верстати працюють на двох режимах - робочому (і=1) та холостому (і=2) ходах. Базовий режим – робочий.

Середня величина зносу розраховується за наступною формулою:

(2.30)

де k₁ і k₂ – коефіцієнти, що враховують режим роботи верстата;

I – питома інтенсивність зносу при базовому режимі роботи, мкм·см²/кгс·км;

P_i, – номінальний середній тиск при i -му режимі, кгс/см²;

₁, ₂, ₃ – поправкові коефіцієнти, які знаходяться за результатами експериментальних спостережень;

L – загальний сумарний шлях тертя.

При розв’язанні задачі беремо, k₁ = k₂ =2.

Загальний сумарний шлях тертя L визначається за наступною залежністю:

(2.31)

де L_Г – сумарний річний шлях тертя;

n – кількість років роботи.

При двозмінній роботі L_Г – 1,1 км/рік.

Поправкові коефіцієнти ₁, ₂, ₃ визначаються за залежностями:

(2.32)

де – відношення коефіцієнта при i -му режимі та базовому режимі;

L₁ та L₂ - шляхи тертя на різних режимах.

При розв’язанні задачі беремо L₁ = L₂ = 0,5.

Вихідні дані до задач

Вихідні дані до задачі №1

Вибір свого варіанта завдання виконується за таблицями 2.5 та 2.6. За передостанньою цифрою шифру за таблицею 2.5 студент вибирає межі інтервалів пробігу і значення наробітку у тисячах кілометрах пробігу.

Таблиця 2. 5

№	Номер інтервалу, i										t
	Межі інтервалу, тис. км
	Межі інтервалу, тис. км
	Межі інтервалу, тис. км
	Межі інтервалу, тис. км
	Межі інтервалу, тис. км
	Межі інтервалу, тис. км
	Межі інтервалу, тис. км					150 170	170 190	190 210	210 230	230 250
	Межі інтервалу, тис. км	70 80	80 90	90 100	100 110	110 120	120 130	130 140	140 150	150 160
	Межі інтервалу, тис. км	80 90	90 100	100 110	110 120	120 130	130 140	140 150	150 160	160 170
	Межі інтервалу, тис, км	90 100	100 110	110 120	120 130	130 140	140 150	150 160	160 170	170 180

 

 

За останньою цифрою шифру за таблицею 2.6 студент вибирає варіант емпіричного розподілу термінів служби (кількість технічних об'єктів, що втратили працездатність в конкретному інтервалі) і значення ресурсу .

Таблиця 2.6

№	Номер інтервалу, і										, %
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n
	Частота в інтервалі, n

 

 

Вихідні дані до задачі № 2

Вибір свого варіанта завдання виконується за даними, що наведені таблицях 2.7 та 2.8. За передостанньою цифрою шифру за таблицею 2.7 студент вибирає значення ймовірності безвідмовної роботи Р(t) деталей машини. За останньою цифрою шифру за таблицею 2.8 студент вибирає числові значення показників m і n.

 

Таблиця 2.7

№
Pi(t)	0,95	0,80	0,90	0,85	0,75	0,95	0,80	0,90	0,85	0,75
	0,90	0,80	0,70	0,75	0,85	0,95	0,98	0,60	0,65	0,75

Таблиця 2.8

№
Кількість деталей m
Кількість паралельних гілок n

 

Вихідні дані до задачі № 3

Відповідно до передостанньої та останньої цифри шифру студент, за даними таблиці 2.9, вибирає два варіанти умов експлуатації автомобіля. При цьому для кожного варіанта експлуатації беремо d₁ = 50% (d₁ = 0,5). Розрахунок пробігу ведеться для певних умов експлуатації.

Таблиця 2.9 – Дані експлуатації автомобіля у різних умовах

№	Умови експлуатації	z	az	aекв	j
	Москва	4,45	1,86	8,26
	Київ	4,19	1,73	7,25
	Мінськ	3,68	1,59	5,85
	Обласний центр	2,99	1,42	4,26
	Районний центр	1,84	1,54	2,83
	Шосе приміське	0,92	1,12	1,03
	Шосе за містом	0,2	1,56	0,31
	Гірська дорога	середньої складності	0,47	1,56	0,71
	дорога	підвищеної складності	0,89	2,70	2,40
	Селищна дорога	0,58	1,22	0,71

 

 

Вихідні дані до задачі № 4

Відповідно до передостанньої цифри шифру студент за даними, що наведені в таблиці 2.10 вибирає тип верстата. За останньою цифрою шифру студент за даними, що наведені в таблиці 2.11, вибирає кількість років роботи n і співвідношення коефіцієнтів тертя f₂/f₁.

Таблиця 2.10

№	Тип верстата	І	Рі
1/6	Токарний	2,5/3,8
2/7	Токарний	50/70
3/8	Координатно-розточувальний	1,1/1,6
4/9	Токарний	1,4/2,2
5/0	Токарний	2,5/3,5

 

Таблиця 2.11

№
	2,2		2,5	1,5	2,7	1,8	2,2	2,8	1,6	2,3
	0,5	0,47	0,52	0,55	0,4	0,51	0,48	0,53	0,46	0,54

ПИТАННЯ ДО САМОПІДГОТОВКИ ТА ТЕСТИ З ДИСЦИПЛІНИ

 

Наведені питання є теоретичною основою для вивчення організації, експлуатації, технічного обслуговування і ремонту машин різного призначення в спеціальних курсах.

Питання, що наведені тут, охоплюють повний програмний курс дисципліни. На кожне питання подано три правдоподібні відповіді, але правильною є одна. Правильні відповіді наводяться в окремому розділі. Така методика дозволяє глибше і надійніше освоїти матеріал при самостійному його вивченні.

На основі питань складено тести трьох рівнів. Перший рівень – це тест за першу половину курсу, другий – це тест за другу половину курсу і третій – це тест за весь курс. Білети тестів 1-го і 2-го рівнів мають три питання, а білети 3-го рівня – шість питань. Правильні відповіді на питан