Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Графический метод решения задачи линейного

Поиск

программирования (случай n переменных)

Задачу линейного программирования можно свести к задаче, решаемой графическим методом, если она задана в канонической форме, либо после приведения ее к канонической форме, и разность между количеством переменных n и количеством неизвестных m равна двум.

В этом случае существует возможность выразить m базисных неизвестных через 2 оставшиеся свободные и, учитывая неотрицательность переменных, перейти от системы уравнений к системе неравенств с двумя неизвестными.

Иными словами это означает, что в семействе векторов с координатами, состоящими из коэффициентов при соответствующих переменных, необходимо выделить базис или найти общее решение системы.

Проиллюстрируем применение этого метода на примере.

Пример. Найдите план, минимизирующий значение функции

, при заданных ограничениях хi ³0, i =1, 2,…,5:

Данную задачу можно решить графическим методом, так как выполняется условие nm = 2. Действительно, в системе ограничений число неизвестных 5, число уравнений 3.

Составим расширенную матрицу системы:

.

Выберем в качестве базисных переменных х 1, х 2, х 3. Следовательно, первые три столбца матрицы должны представлять собой единичную матрицу.

Проведем преобразование методом Гаусса: прибавим ко второй и к третьей строкам первую, умноженную на –1.

Þ .

Последняя матрица получена прибавлением к третьей строке второй, умноженной на 5. Разделим третью строку на –12.

.

Для того чтобы первые три столбца образовали единичную матрицу, применим преобразование Гаусса «снизу вверх». Прибавим к первой строке третью, умноженную на –3, а ко второй строке – третью, умноженную на 2.

Þ .

Последняя матрица получена прибавлением к первой строке второй, умноженной на –2.

По преобразованной матрице составим систему уравнений:

Выразим базисные переменные через свободные х 4, х 5.

 

(2.4)

Учтем, что все переменные неотрицательны, следовательно, правые части уравнений так же больше или равны нулю. Получим систему неравенств с двумя неизвестными.

(2.5)

 

Используя соотношения системы (2.4), выразим целевую функцию через свободные переменные.

,

.

Найдем область решений системы (2.5) графически. Построим прямые и определим полуплоскости – решения каждого неравенства (рис. 2.5).

 

Построим опорную прямую z = 5;

Вектор `с на рис. 2.5 направлен по градиенту целевой функции и указывает направление ее роста, следовательно, в противоположную сторону целевая функция будет убывать. Точка «входа» в ОДР – точка О(0,0), точки «выхода» не существует. Подставим координаты точки «входа» в целевую функцию и получим ее минимальное значение z = - 5. Вычислим значения базисных переменных в точке «входа», учитывая (2.4), их значения равны: х 1 = 2; х 2 = 1; х 3 = 2.

Итак, минимальное значение целевой функции z = –5, это значение достигается на оптимальном плане (2; 1; 2; 0; 0).

Продолжим рассмотрение практических задач, для решения которых требуется составление математических моделей.

Пример. Завод производит три типа (I, II, III) некоторого изделия, используя для этого сырье А и В. На изготовление единицы изделия типа I затрачивается в два раза больше рабочего времени, чем на изготовление единицы изделия типа II и в столько же, сколько на изготовление изделия типа III. Рабочие ресурсы завода эквивалентны ресурсам, необходимым на изготовление 1500 шт. изделия типа I. Данные о расходе материалов приведены в таблице. Руководство завода приняло решение ликвидировать склад для хранения сырья А и стремится организовать производство таким образом, чтобы, израсходовав сырье А, полностью получить наибольший доход. Каков должен быть план производства?

  Нормы расхода сырья на 1 изделие  
Тип сырья I II III Запасы сырья
А        
В        
Доход на 1ед.        

Составим математическую модель задачи.

1. Критерием эффективности является доход от производства, стремящийся к максимуму.

2. Параметрами управления являются х 1 – количество изделий типа; х 2 – количество изделий типа II; х 3 – количество изделий типа III.

3. Составим систему ограничений: ограниченными являются ресурсы времени и запасы сырья А и В.

Пусть а – затраты времени на производство одного изделия I, тогда 0,5 а - затраты времени на производство одного изделия II, следовательно, и, следовательно,

.

В связи с тем, что сырье А необходимо израсходовать полностью, ограничение на его запас имеет вид:

.

Ограничение на запас сырья В имеет вид:

.

4. Целевая функция – доход стремится к максимуму на системе ограничений.

5. Выберем метод решения задачи оптимизации по виду математической модели:

Приведем задачу линейного программирования к каноническому виду.

Переменные х 4 играет роль остатка сырья В, а х 5 – роль оставшегося рабочего времени.

Число неизвестных системы на два больше числа уравнений, следовательно, задача может быть решена графически.

Запишем матрицу системы и выберем базисные переменные.

.

В качестве базисных удобно выбрать переменные х 1, х 4, х 5. Преобразуем матрицу, разделив первую строку на 2.

Þ .

Последняя матрица получена прибавлением к третьей строке первой, умноженной на –1, и ко второй – первой, умноженной на –4.

По равносильной расширенной матрице системы составим систему уравнений.

Найдем общее решение системы. Выразим базисные переменные через свободные:

(2.6)

Учитывая неотрицательность левых частей уравнений, можем перейти к системе неравенств с двумя неизвестными.

(2.7)

Подставим в целевую функцию выражения (3.6):

Решим получившуюся задачу графически. Построим ОДР системы (2.7). Проведем опорную прямую L, приравняв F = 60000. Ее уравнение после преобразований х 2 + х 3 = 0, grad F = (- 25; - 25). Все построения приведены на рис. 3.6.

В выделенном многоугольнике решений точкой «выхода» в направлении вектора-градиента целевой функции является точка с координатами х 2 = 500, х 3=0. Значение целевой функции в этой точке:

F = - 25´500 + 60000 = 47500.

Подставим значения переменных в (2.6), получим х 1 = 750, х 4 = 0; х 5 = 0.

Итак, для получения наибольшего дохода в количестве 47500 д.е. при заданных условиях необходимо производить 750 ед. продукции типа I, 500 ед. продукции типа II и не производить продукцию типа III, при этом все ресурсы и сырьевые и временные будут израсходованы полностью.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; просмотров: 228; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.36.106 (0.012 с.)