Тема 1. Складання математичних моделей задач лінійного програмування

Загальне завдання для перелічених нижче задач має такий вигляд: скласти математичні моделі задач лінійного програмування; отримати рішення графо-аналітичним методом; дати рекомендації щодо виробництва виробів.

У наведених нижче задачах мається на увазі, що:

§ Кожний студент по можливості повинен отримати індівідуальне завдання. З цією метою використовуються такі позначення: – порядковий номер студента у групі; .

§ Математична модель складається і розв’язується студентом на практичних заняттях. При цьому можливі два варіанти видачі завдань. Згідно з першим варіантом студент самостійно задає об’єм наявних ресурсів та норми витрат ресурсів на виробництво товарів. Згідно з другим – видає викладач, користуючись наведеними нижче таблицями.

§ Одиниці вимірювання ресурсів та норм витрат вважаються однаковими (наприклад: кг; метр; бочка, пачка, комплект, тюк, лист визначеного типу; м²; літр; м³; “у.о.” – умовна одиниця та ін.), а норми витрат відносяться до одного виробу (“кг/1 шт.”, “бочка визначеного типу/1 шт” і т.д.). Тому не вказуються розмірності норм витрат та ресурсів. Іноді в задачах використовується визначення “у.о.” – “умовні одиниці”. Під трудовими ресурсами розглядаються обмеження, пов’язані з витратою часу робітниками на виробництво продукції; трудові ресурси вимірюються у “л.г.” – людино-годинах, а відповідні норми – у “л.г./одиницю виробу”.

§ Наявні ресурси, норми витрат ресурсів на один виріб та ускладнення, які вводяться у задачі, повинні розглядатись як умовні величини та обмеження, які часто використовуються лише для ускладнення задачі з метою кращого опанування студентами методу лінійного програмування та зручності графічного розв’язання задачі. Тобто задачі розглядаються як навчальні. Треба також враховувати, що для кожного підприємства вказані величини є індивідуальними.

§ Гроші як ресурси витрачаються на інші невказані додаткові ресурси (наприклад під час виготовлення страв – на невказані компоненти: спеції, овочі; виготовлення радіоприймачів – на конденсатори, резистори, друковані плати; виготовлення одягу та взуття – на нитки, клей та ін.). Гроші також можуть використовуватись з метою спрощення задач (для вилучення з розгляду другорядних, не основних, численних ресурсів, які не впливають суттєво на процеси, але водночас є необхідним компонентом).

§ Завдання можуть ускладнюватись такими додатковими вимогами: обмеженням по мінімуму, за якого виробництво ще є рентабельним (наприклад, X1>N; Х1+Х2>2N); обмеженням по максимуму, пов’язаному з максимальною виробничою потужністю підприємства (наприклад, X1<30N; X1+X2<50N); плановими обмеженнями (наприклад, X1/X2=А; X1>100N; X1<250N; X1+X2>20A); вимогами ринку (наприклад, X1/X2=A; X1=(120–250)N); обмеженнями по комплектації (наприклад, X1=A*X2); вимогами визначення мінімальної кількості ресурсу, який потрібно додатково закупити, щоб збільшити випуск продукції; вимогами розрахунку функції мети у кожній кутовій точці та по межах багатокутника отриманого графічного рішення та ін.

§ Завдання можуть ускладнюватись викладачем навмисними суперечностями, щоб привчити до реальних умов складання математичних моделей. Наприклад: отриманий план по випуску продукції X1/X2=4 N може суперечити даним попиту на ринку X1/X2=3N (студент повинен прийняти рішення: поставити до відома керівництво, орієнтуватись на задоволення вимог ринку); або одне рівняння повторює інше; або математична модель не має рішення та ін.

§ Завдання можуть ускладнюватись елементами стохастичного програмування. При цьому задача повинна зводитись до задач ЛП. Наприклад, якщо у обмеженні А₁Х₁+А₂Х₂ B_J наявний ресурс є випадковою величиною з рівномірним розподілом у межах B_J=(B_J1–B_J2)=(100–120) кг, то значення змінних X_J (кількість продукції, що випускається) за ймовірності Р=0,8 у забезпеченні наявності потрібних ресурсів розраховується з використанням конкретного значення ресурсу B_J= B_J1+(B_J2–B_J1)(1–Р)= 100 + (120-100)(1–0,8)=104 кг, тобто задача зводиться до задачі ЛП. У обмеженні А₁Х₁+А₂Х₂ B_J (за ймовірності Р=0,8 у забезпеченні даної нерівності щодо наявного ресурсу) значення ресурсу B_J= B_J1+(B_J2–B_J1)Р=100 + (120–100)0,8=116 кг.

§ Кожне завдання завершується рекомендаціями (бо рішення приймає людина), у яких вказується: значення функції мети, кількість виробленої продукції, залишки ресурсів.