Занятие №3. Построение эпюр.

Эпюра - графическая схема решения задачи сопромата при расчете прочностных характеристик и действующих нагрузок на материал. Она отражает зависимость изгибающих моментов от длины нагруженного участка какого-либо элемента. Это может быть балка либо ферма, другая несущая конструкция. Эпюры строить в произвольном масштабе и подписывают размерности.

 

Рис.16 Эпюры сил и моментов, действующих в поперечных сечениях балки

 

Рис.17 Эпюры сил и моментов, действующих поперечных сечениях балки при распределенной нагрузке

 

Необходимо учитывать правила:

1. Сумма сил действующих на систему равна нулю.

2. Сила направлена вверх (+).

3. Сила направлена вниз (-).

4. Если момент поворачивает по часовой стрелке (+), если против (-).

Схема построения эпюр

 

80 * 1 – 100 + 30 * 2 * 3 – 4VB = 0

VB = 40кН

4VA – 80 * 3 – 100 + 30 * 2 * 1 = 0

VA = 100кН

QA = Q2 = 100кН

Q2-3 = 100 – 80 = 20кН

Q = 100 – 80 – 60 = -40кН

 

M1-1 = 0

M2-2 = 100 * 1кН*М

M4-4 = 100 * 2 – 80 * 1 = 120кН*М

М5-5 = 120 – 100 = 20кН*М

МB = 0

 

ЗАНЯТИЕ №4. ФОРМЫ СЕЧЕНИЯ, ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ, МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ И ОММЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ ОСНОВЫНХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ КОНСТРУКЦИЙ.

При растяжении и сжатии, прочность и жесткость стержней зависит от площади поперечных сечений стержней.

При расчете на изгиб, кручение, а также сжатых стержней на устойчивость используют сплошные геометрические характеристики.

-Статический момент

-Момент инерции сечения

-Момент сопротивления сечения

Геометрические характеристики зависят так же от положения осей точек, относительно которых они вычисляются.

Геометрические характеристики простой формы можно определить по специальным формулам. А также в таблицах ГОСТов – таблицы нормального сопротивления. Геометрические характеристики сложного сечения разбивают на ряд простых фигур и пользуются формулами, устанавливающими относительно различного сечения.

Определим площадь сечения, момента инерции и момента сопротивления для квадрата и прямоугольника.

a = 5см, b = 2см, h = 8см.

F 1 = 5² = 25cм², Iz = Iy = 5⁴/12 = 52,1

F2 = 8*2 = 16см², Iz = 2*8³/12 = 85,3

F 1/ F2 = 1,5; I2/I1 = 1,6. Fy = 8*2³/12 = 1,3 Wz = 2*8²/6 = 21,3

Wy = 8*2²/6 = 5,3

Если мы берем прямоугольным ребром, то у него геометрические показатели будут лучше при меньшем мечении.

b = 8 h = 2

F = 8*2 = 16cм²

Iz = 8*2³/12 = 1,3 Wz = bh²/6 = 8*2²/6 = 5,3

Iy = 2*8³/12 = 85,3 Wy = hb²/6 = 2*8²/6 = 21,3

 

Сортамент – совокупность профилей и их размеров. Прокатные профили имеют стандарты, в которых указаны размеры сечения. Допуски на точность проекта.

 

ЗАНЯТИЕ №5. РАСЧЕТОВ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ, МОМНТОВ И РАЗМЕРОВ ФИГУР.

Пример 1.

Найти положения центра тяжести фигуры, имеющей форму тавра (рис.18).

 

 

Решение.

1. Разбиваем изображенную на рис.18 фигуру на простые и присваиваем им номера 1 и 2. Центры тяжести каждой из простых фигур обозначаем соответственно с ₁ и с ₂.

2. Проводим через центры тяжести каждой из фигур оси z₁, z₂ и ось y. Ось y является осью симметрии фигуры, проходит через центры тяжести обеих простых фигур и всей фигуры также и поэтому индексации не имеет.

3. Выбираем в качестве начала координат центр тяжести второй фигуры c ₂ и в качестве оси, относительно которой будем производить все вычисления, ось z ₂.

4. Вычислим статический момент площади фигуры относительно оси z ₂:

В формуле (а) координата центра тяжести второй простой фигуры , так как ось z ₂, относительно которой определялся статический момент площади, проходит через центр тяжести второй фигуры. В соответствии с основным своим свойством статический момент площади относительно любой центральной оси равен нулю. В связи с этим для сокращения арифметических вычислений при определении положения центра тяжести сложных фигур рекомендуется выбирать в качестве начала координат центр тяжести одной из простых фигур.

4. Находим координату центра тяжести всей фигуры, используя выражение (7):

Найденное значение координаты центра тяжести отложим вдоль оси y вверх от точки c ₂, так как это значение положительное. Полученную точку обозначим буквой C. Ось z _C, проведенная через центр тяжести всей фигуры будет одной из центральных осей фигуры. Вторая центральная ось фигуры в данном примере не определяется, так как этой осью является ось симметрии y. Статические моменты S _y простых фигур и всей фигуры относительно этой оси равны нулю. В соответствии с выражением (7) координата центра тяжести всей фигуры z _C = 0.

Анализируя полученное решение, можно сделать вывод о том, что при определении центра тяжести для сложных фигур очень важно удачно выбрать начало координат и, соответственно, оси, относительно которых производятся все вычисления. Как уже отмечалось выше, начало координат следует помещать в центр тяжести одной из простых фигур.

 

Пример 2.

Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка 160 100 10 (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 19). Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ 8510-57.

Решение.

Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 19. Для первого (1) прямоугольника

Для второго (2) прямоугольника

Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам:

По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны z_c= 2,28см; y_c= 5,23см.

Для проверки правильности вычислений определим статические моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:

Графическая проверка: точка С должна находиться на отрезке С ₁ С ₂.

 

Пример 3.

Определить осевые моменты инерции фигуры, приведенной на рис.20, относительно центральных осей z _c и y _c.

 

Решение:

В примере 3 для изображенной на рис.20 фигуры было определено положение центра тяжести С. Координата центра тяжести откладывалась от оси z ₂ и составила y _c =3,5 см. Вычислим расстояния a ₁ и a ₂ между осями z ₁ и z _c и осями z ₂ и z _c. Эти расстояния составили соответственно a ₁ =3,5 см и a ₂ = -3,5 см. Так как исходные оси z ₁ и z ₂ являются центральными осями для простых фигур в виде прямоугольников, для определения момента инерции фигуры относительно оси z _c воспользуемся формулой.

Момент инерции относительно оси y _c получим путем сложения моментов инерции простых фигур относительно этой же оси, так как ось y _c является общей центральной осью для простых фигур и для всей фигуры.

Центробежный момент инерции относительно осей z_c и y _c равен нулю, так как ось инерции y _c является главной осью (осью симметрии фигуры).

 

Пример 4.

Определить момент инерции сечения, показанного на рис. 21, относительно оси симметрии, a =10 см.

 

Решение.

Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг.

Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле:

Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов:

Для равнобедренного треугольника:

для прямоугольника согласно формуле:

для круга согласно формуле:

Окончательно получим:

I _z= 4,0 a ⁴ + 10,67 a ⁴ - 0,0491 a ⁴ = 14,6 a ⁴ = 14,6×10⁴ = 1,46×10⁵ см⁴.

 

Пример 5.

Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. 22, относительно вертикальной оси симметрии y. Двутавр №10 (ГОСТ 8239-56). Швеллер №5 (ГОСТ 8240-56).

Решение.

Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I - двутавр, II и III - швеллеры.

По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем:

Для двутавра №10 (ГОСТ 8239-56): H =10 см, B =7 см, F =14,2 см², I _x=244 см⁴, I _y=35,3 см⁴.

Для швеллера №5 (ГОСТ 8240-56): h =5 см, b =3,7 см, F =6,90 см², I _x=26,1 см⁴, I _y=8,41 см⁴, x ₀=1,35 см.

Момент инерции сечения относительно оси y согласно

т.к. оба швеллера расположены идентично относительно оси y.

Для двутавра

Для швеллера

Окончательно имеем:

 

Пример 6.

Чему равен размер b (в см)фигуры, изображенной на рис. 23, если момент инерции фигуры относительно оси z₁ равен 1000 см⁴?

Решение.

Выразим момент инерции относительно оси z через неизвестный размер сечения b, воспользовавшись формулами, учитывая, что расстояние между осями z и z ₁ равно 7 см:

Решая выражение (а) относительно размера сечения b, получим:

 

Пример 7.

Какая из фигур, изображенных на рис.24, имеет больший момент инерции относительно оси z, если обе фигуры имеют одинаковую площадь A =400 см²?

 

Решение.

1. Выразим площади фигур через их размеры и определим:

а) диаметр сечения для круглого сечения:

Откуда

б) размер стороны квадрата:

A = a ².

Откуда

2. Вычисляем момент инерции для круглого сечения:

3. Вычисляем момент инерции для сечения квадратной формы:

Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшим моментом инерции будет обладать сечение квадратной формы по сравнению с сечение круглой формы при одинаковой у них площади.