В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вер-ть того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

Вироб перевіряється на якість одним з двох товарознавців. Ймовірність того, що вироб попаде до першого товарознавця, дорівнює 0,33, до другого – 0,45. Ймовірність того, що вироб буде признано стандарним першим товарознавцем, дорівнює 0,9, другим – 0,95. Вироб при перевірці було признано стандартним. Знайти ймовірність того, що вироб перевірив другий товарознавець.

Н₁={изделие попало к первому товароведу}

Н₂={изделие попало ко второму товароведу}

Р(Н₁)=0,33; Р(Н₂)=0,45.

А= {изделие признано стандартным}

Р_Н1(А)=Р(изделие признано стандартным первым товароведом)=0,9

Р_Н2(А)=Р(изделие признано стандартным вторым товароведом)=0,95

По формуле Байеса:

Р(А)=0,33*0,9+0,45*0,95=0,297+0,427=0,724

Р_А(Н₂)=0,45*0,95/0,724=0,591

Значит, вероятность того, что изделие проверил второй товаровед равна 59,1%.

 

 

Середня кількість замовлень на таксі, що надходить на диспетчерський пункт за 1 хвилину, дорівнює 4. Знайти ймовірність того, що за 2 хвилини надійде: а) 5 викликів; б) менше 4 викликів.

Решение. Задачу решаем с помощью формулы Пуассона.

, где =np=M(x)=D(x)=4, х – число вызовов за 1 минуту.

а) Р_n(5)=

б) Р_n(x<4)=P_n(3)+ P_n(2)+ P_n(1)+ P_n(0)

Воспользуемся формулой:

Р_n(0)=

Р_n(1)=

Р_n(2)=

Р_n(3)=

Р_n(x<4)=0,195367+0,146525+0,073263+0,018316=0,433471

Відомо, що 4% чоловіків і 21% жінок дальтоніки. А – навмання взята людина - дальтонік. Знайти ймовірність того, що це буде чоловік.

Розв’язок: Будем использовать формулу Байеса

Н₁ – наугад взятый человек – мужчина

Н₂ – наугад взятый человек – женщина

Р(Н_і)=1/2 и составляет полную группу. Выдвинутые события образуют группу событий, т.к. наугад взятый человек может быть либо мужчина либо женщина.

Ответ:0,16

Завод випускає 80% продукції вищої якості. В вибірку взято 200 одиниць. Яке найвірогідніше число виробів вищої якості? Яка ймовірність найвірогіднішого числа? Яка ймовірність того, що продукції вищої якості не менше 150 одиниць?

Розв’язок:

Найдем наивероятнейшее число изделий высшего качества m₀

200*0.8-0.2< m0<200*0.8+0.8

159.8< m0<160.8, отсюда m₀=160

Вероятность наивероятнейшего числа:

,

, тогда =0,3989

А – выпущенная продукция высшего качества. Если вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна, а число испытаний достаточно большое, то вероятность того, что в этих испытаниях соб. А произойдет не менее m₁ и не более m₂ раз, как и в нашей задаче, то надо использовать формулу Лапласа: , где , , - интегральная функция Лапласа

Т.к. - функция непарная и для х>5 можно принимать =0,5.

Ответ:1

Випадкова величина розподілена за законом Пуассона з параметром =1. Знати ймовірність таких подій: а) Р(m>5), б) P(m=4), в) P(10<m<=13).

Решение.

а) Р(m>5) = 1- Р(5)- Р(4)- Р(3)- Р(2)- Р(1)- Р(0).

Воспользуемся формулой Пуассона: .

Р_n(0)= Р_n(1)= Р_n(2)=

Р_n(3)= Р_n(4)= Р_n(5)=

Р(m>5)=1- (е^-1+ е^-1+ 2е^-1+ 6е^-1+ 24е^-1 + 120е^-1)

б) P(m=4)=Р(4)= 24е^-1;

в) P(10<m<=13)= Р(11)+ Р(12)+ Р(13)

Р_n(11)= Р_n(12)= Р_n(13)=

Три студенти йдуть на іспит. Імовірність того, що перший студент складе іспит, дорівнює 0,6; для другого – 0,7; для третього – 0,75. Знайти імовірність того, що хоча б один студент складе іспит.

Решение. Пусть А1, А2 и А3 – события, которые состоят в том, что экзамен будет сдан соответственно первым, вторым и третим студентом. А событие А том, что экзамен сдаст хотя бы один студент. По условию задачи известно, что р1=0,6; р2=0,7 и р3=0,75. Тогда q1=0,4;q2=0,3;q3=0,25.

Итак, вероятность того, что хотя бы один студент сдаст экзамен, равна:

Р(А)=Р(А1+А2+А3)=1-0,4*0,3*0,25=0,97

Пусть нужно найти вер-ть того, что хотя бы два студента сдадут экзамен. Распишем событие А через элементарные:

В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вер-ть того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

Решение. Интересующее нас событие А состоит в том, что среди отобранных 7 человек 3 женщины.

Для каждой тройки женщин (m=4) можно выбрать С₄⁶ четверок мужчин:

 

Стрілець робить 3 постріла. Знайти число потраплень в ціль при трьох вистрілах.

 

№				m	p
	+	+	+		p^3
	+	+	-		p^2q
	+	-	+		p^2q
	-	+	+		p^2q
	-	-	+		pq^2
	-	+	-		pq^2
	+	-	-		pq^2
	-	-	-		q^3

 

На базе 10 автомашин. Чтоб не меньше 8 вышло. Найти вероятность нормальной работы.

Так как n-мало, то нужно применить формулу Бернулли:

Р₁₀(8)=

Р₁₀(9)=

Р₁₀(10)=

 

 

При даному технологічному процесі 80% всієї виготовленої продукції являється продукцією найвищого ґатунку. Яким повинен бути об’єм вибірки, щоб з ймовірністю 0,95 відхилення фактичної частоти m/n від ймовірності 0,8 було не менше чім 4%.

Рішення: , де

 

2Ф(х)=0,95 отсюда х=1,96

Найдем n: n= 400

Ответ:400

 

 

В пачке 20 карт (от 100 до 120) и произвольно расположены. Извлекают 2 карты. Найти вероятность того, что будут извлечены карты с номерами 101 и 120.

Решим по классическому определению вероятности:

Ответ: 1/190.

Вироб перевіряється на якість одним з двох товарознавців. Ймовірність того, що вироб попаде до першого товарознавця, дорівнює 0,33, до другого – 0,45. Ймовірність того, що вироб буде признано стандарним першим товарознавцем, дорівнює 0,9, другим – 0,95. Вироб при перевірці було признано стандартним. Знайти ймовірність того, що вироб перевірив другий товарознавець.

Н₁={изделие попало к первому товароведу}

Н₂={изделие попало ко второму товароведу}

Р(Н₁)=0,33; Р(Н₂)=0,45.

А= {изделие признано стандартным}

Р_Н1(А)=Р(изделие признано стандартным первым товароведом)=0,9

Р_Н2(А)=Р(изделие признано стандартным вторым товароведом)=0,95

По формуле Байеса:

Р(А)=0,33*0,9+0,45*0,95=0,297+0,427=0,724

Р_А(Н₂)=0,45*0,95/0,724=0,591

Значит, вероятность того, что изделие проверил второй товаровед равна 59,1%.

 

 

Середня кількість замовлень на таксі, що надходить на диспетчерський пункт за 1 хвилину, дорівнює 4. Знайти ймовірність того, що за 2 хвилини надійде: а) 5 викликів; б) менше 4 викликів.

Решение. Задачу решаем с помощью формулы Пуассона.

, где =np=M(x)=D(x)=4, х – число вызовов за 1 минуту.

а) Р_n(5)=

б) Р_n(x<4)=P_n(3)+ P_n(2)+ P_n(1)+ P_n(0)

Воспользуемся формулой:

Р_n(0)=

Р_n(1)=

Р_n(2)=

Р_n(3)=

Р_n(x<4)=0,195367+0,146525+0,073263+0,018316=0,433471

Відомо, що 4% чоловіків і 21% жінок дальтоніки. А – навмання взята людина - дальтонік. Знайти ймовірність того, що це буде чоловік.

Розв’язок: Будем использовать формулу Байеса

Н₁ – наугад взятый человек – мужчина

Н₂ – наугад взятый человек – женщина

Р(Н_і)=1/2 и составляет полную группу. Выдвинутые события образуют группу событий, т.к. наугад взятый человек может быть либо мужчина либо женщина.

Ответ:0,16

Завод випускає 80% продукції вищої якості. В вибірку взято 200 одиниць. Яке найвірогідніше число виробів вищої якості? Яка ймовірність найвірогіднішого числа? Яка ймовірність того, що продукції вищої якості не менше 150 одиниць?

Розв’язок:

Найдем наивероятнейшее число изделий высшего качества m₀

200*0.8-0.2< m0<200*0.8+0.8

159.8< m0<160.8, отсюда m₀=160

Вероятность наивероятнейшего числа:

,

, тогда =0,3989

А – выпущенная продукция высшего качества. Если вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна, а число испытаний достаточно большое, то вероятность того, что в этих испытаниях соб. А произойдет не менее m₁ и не более m₂ раз, как и в нашей задаче, то надо использовать формулу Лапласа: , где , , - интегральная функция Лапласа

Т.к. - функция непарная и для х>5 можно принимать =0,5.

Ответ:1

Випадкова величина розподілена за законом Пуассона з параметром =1. Знати ймовірність таких подій: а) Р(m>5), б) P(m=4), в) P(10<m<=13).

Решение.

а) Р(m>5) = 1- Р(5)- Р(4)- Р(3)- Р(2)- Р(1)- Р(0).

Воспользуемся формулой Пуассона: .

Р_n(0)= Р_n(1)= Р_n(2)=

Р_n(3)= Р_n(4)= Р_n(5)=

Р(m>5)=1- (е^-1+ е^-1+ 2е^-1+ 6е^-1+ 24е^-1 + 120е^-1)

б) P(m=4)=Р(4)= 24е^-1;

в) P(10<m<=13)= Р(11)+ Р(12)+ Р(13)

Р_n(11)= Р_n(12)= Р_n(13)=

Три студенти йдуть на іспит. Імовірність того, що перший студент складе іспит, дорівнює 0,6; для другого – 0,7; для третього – 0,75. Знайти імовірність того, що хоча б один студент складе іспит.

Решение. Пусть А1, А2 и А3 – события, которые состоят в том, что экзамен будет сдан соответственно первым, вторым и третим студентом. А событие А том, что экзамен сдаст хотя бы один студент. По условию задачи известно, что р1=0,6; р2=0,7 и р3=0,75. Тогда q1=0,4;q2=0,3;q3=0,25.

Итак, вероятность того, что хотя бы один студент сдаст экзамен, равна:

Р(А)=Р(А1+А2+А3)=1-0,4*0,3*0,25=0,97

Пусть нужно найти вер-ть того, что хотя бы два студента сдадут экзамен. Распишем событие А через элементарные:

В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вер-ть того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

Решение. Интересующее нас событие А состоит в том, что среди отобранных 7 человек 3 женщины.

Для каждой тройки женщин (m=4) можно выбрать С₄⁶ четверок мужчин: