Расстояния в ориентированном графе 





Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Расстояния в ориентированном графе



С помощью алгоритма фронта волны найти расстояния в ориентированном графе D: диаметр, радиус и центры.

Пусть ориентированный граф с n³2 вершинами и v,w (v¹w) – заданные вершины из V.

Алгоритм поиска минимального пути из в в ориентированном графе

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину индексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины индексом 1. Обозначаем их FW1 (v). Полагаем k=1.

2) Если или k=n-1, и одновременно то вершина не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из в и его длина равна k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k+1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k+1 обозначаем . Присваиваем k:=k+1 и переходим к 2).

Замечания

· Множество называется фронтом волны kго уровня.

· Вершины могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если несколько минимальных путей из в .

Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу расстояний R(D) между его вершинами. Это квадратная матрица размерности , элементы главной диагонали которой равны нулю ( , i=1,..,n).

Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний ( , если ). Далее построчно заполняем матрицу следующим образом.

Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i-тая и на пересечении с j-тым столбцом стоит единица (то есть ). Это значит, что из вершины можно попасть в вершину за один шаг. Рассматриваем j-тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент . Тогда из вершины в вершину можно попасть за два шага. Таким образом, можно записать . Следует заметить, что если в рассматриваемых строках две или более единиц, то следует прорабатывать все возможные варианты попадания из одной вершины в другую, записывая в матрицу длину наикратчайшего из них.

Примечание. Самый длинный путь найти при помощи алгоритма фронта волны.

Пример

Найдем расстояния в ориентированном графе D, изображенном на рис. 7. В данной задаче количество вершин n=7, следовательно, матрицы смежности и минимальных расстояний между вершинами ориентированного графа D будут иметь размерность 7×7.

Рис.7.

 

Матрица смежности:

.

Начинаем заполнять матрицу R(D) минимальных расстояний: сначала ставим нули по главной диагоналии rij=aij, если aij=1, (т.е. переносим единицы из матрицы смежности). Рассматриваем первую строку. Здесь есть две единицы, то есть из первой вершины за один шаг можно попасть во вторую и шестую. Из второй вершины можно попасть за один шаг в третью (путь в первую вершину нас не интересует), следовательно, можно записать . Из шестой вершины можем добраться за один шаг в пятую и седьмую, а значит, , . Теперь ищем маршруты, исходящие из первой вершины, состоящие из 3 шагов: за 2 шага идем в третью вершину, оттуда за один шаг попадаем в четвертую, поэтому . В итоге получаем следующую матрицу:

.

Таким образом, диаметром исследуемого ориентированного графа будет .

Для каждой вершины заданного ориентированного графа найдем максимальное удаление (эксцентриситет) в графе G от вершины нее по формуле, которая была приведена выше : r(vi) − максимальное из расстояний, стоящих в i-той строке. Таким образом,

r(v1)=3, r(v2)=3, r(v3)=5, r(v4)=4, r(v5)=2, r(v6)=2, r(v7)=3.

Значит, радиусомграфа G будет

Соответственно, центрами графа G будут вершины v5 и v6 , так как величины их эксцентриситетов совпадают с величиной радиуса .

Опишем теперь нахождение минимального пути из вершины v3 в вершину v6 по алгоритму фронта волны. Обозначим вершину v3 как V0, а вершину v6 - как W (см. рис. 8).

 

Рис.8.

 

Множество вершин, принадлежащих образу V0, состоит из одного элемента - это вершина v4, которую, согласно алгоритму, обозначаем как V1: FW1(v3)={v4}. Поскольку искомая вершина не принадлежит фронту волны первого уровня , продолжаем работу алгоритма. Строим фронт волны второго уровня - это множество вершин, принадлежащих образу вершины V1: FW2(v3)={v7}, обозначаем v7V2. В образ вершины V2 входят две вершины - v5 и v4, но, так как v4 уже была помечена как V0, то фронт волны третьего уровня состоит из одного элемента: FW3(v3)={v5}, v5V3. Из непомеченных вершин в образ вершины V3 входят v1 и v2, соответственно, FW4(v3)={v1, v2}, v1V4, v2V4. Теперь помечены все вершины, кроме v6, которая входит в образ вершины , то есть FW5(v3)={v6W}, работа алгоритма закончена. Минимальный путь (5 шагов) из вершины v3 в вершину v6: v3 v4 v7 v5 v1 v6.

 





Последнее изменение этой страницы: 2016-06-28; просмотров: 424; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.225.48.56 (0.008 с.)