Расстояния в ориентированном графе

С помощью алгоритма фронта волны найти расстояния в ориентированном графе D: диаметр, радиус и центры.

Пусть ориентированный граф с n³2 вершинами и v, w (v ¹ w) – заданные вершины из V.

Алгоритм поиска минимального пути из в в ориентированном графе

(алгоритм фронта волны).

1) Помечаем вершину индексом 0, затем помечаем вершины Î образу вершины индексом 1. Обозначаем их FW ₁ (v). Полагаем k =1.

2) Если или k = n -1, и одновременно то вершина не достижима из . Работа алгоритма заканчивается.

В противном случае продолжаем:

3) Если , то переходим к шагу 4.

В противном случае мы нашли минимальный путь из в и его длина равна k. Последовательность вершин

есть этот минимальный путь. Работа завершается.

4) Помечаем индексом k +1 все непомеченные вершины, которые принадлежат образу множества вершин c индексом k. Множество вершин с индексом k +1 обозначаем . Присваиваем k:= k +1 и переходим к 2).

Замечания

· Множество называется фронтом волны k^го уровня.

· Вершины могут быть выделены неоднозначно, что соответствует случаю, если несколько минимальных путей из в .

Чтобы найти расстояния в ориентированном графе, необходимо составить матрицу расстояний R (D) между его вершинами. Это квадратная матрица размерности , элементы главной диагонали которой равны нулю (, i =1,.., n).

Сначала составляем матрицу смежности. Затем переносим единицы из матрицы смежности в матрицу минимальных расстояний (, если ). Далее построчно заполняем матрицу следующим образом.

Рассматриваем первую строку, в которой есть единицы. Пусть это строка − i -тая и на пересечении с j -тым столбцом стоит единица (то есть ). Это значит, что из вершины можно попасть в вершину за один шаг. Рассматриваем j -тую сроку (строку стоит вводить в рассмотрение, если она содержит хотя бы одну единицу). Пусть элемент . Тогда из вершины в вершину можно попасть за два шага. Таким образом, можно записать . Следует заметить, что если в рассматриваемых строках две или более единиц, то следует прорабатывать все возможные варианты попадания из одной вершины в другую, записывая в матрицу длину наикратчайшего из них.

Примечание. Самый длинный путь найти при помощи алгоритма фронта волны.

Пример

Найдем расстояния в ориентированном графе D, изображенном на рис. 7. В данной задаче количество вершин n= 7, следовательно, матрицы смежности и минимальных расстояний между вершинами ориентированного графа D будут иметь размерность 7×7.

Рис.7.

 

Матрица смежности:

.

Начинаем заполнять матрицу R (D) минимальных расстояний: сначала ставим нули по главной диагоналии r_ij = a_ij, если a_ij =1, (т.е. переносим единицы из матрицы смежности). Рассматриваем первую строку. Здесь есть две единицы, то есть из первой вершины за один шаг можно попасть во вторую и шестую. Из второй вершины можно попасть за один шаг в третью (путь в первую вершину нас не интересует), следовательно, можно записать . Из шестой вершины можем добраться за один шаг в пятую и седьмую, а значит, , . Теперь ищем маршруты, исходящие из первой вершины, состоящие из 3 шагов: за 2 шага идем в третью вершину, оттуда за один шаг попадаем в четвертую, поэтому . В итоге получаем следующую матрицу:

.

Таким образом, диаметром исследуемого ориентированного графа будет .

Для каждой вершины заданного ориентированного графа найдем максимальное удаление (эксцентриситет) в графе G от вершины нее по формуле, которая была приведена выше : r (v_i) − максимальное из расстояний, стоящих в i -той строке. Таким образом,

r (v ₁)=3, r (v ₂)=3, r (v ₃)=5, r (v ₄)=4, r (v ₅)=2, r (v ₆)=2, r (v ₇)=3.

Значит, радиусомграфа G будет

Соответственно, центрами графа G будут вершины v ₅ и v ₆, так как величины их эксцентриситетов совпадают с величиной радиуса .

Опишем теперь нахождение минимального пути из вершины v ₃ в вершину v ₆ по алгоритму фронта волны. Обозначим вершину v ₃ как V ₀, а вершину v ₆ - как W (см. рис. 8).

 

Рис.8.

 

Множество вершин, принадлежащих образу V ₀, состоит из одного элемента - это вершина v ₄, которую, согласно алгоритму, обозначаем как V ₁: FW ₁(v ₃)={ v ₄}. Поскольку искомая вершина не принадлежит фронту волны первого уровня , продолжаем работу алгоритма. Строим фронт волны второго уровня - это множество вершин, принадлежащих образу вершины V ₁: FW ₂(v ₃)={ v ₇}, обозначаем v ₇≡ V ₂. В образ вершины V ₂ входят две вершины - v ₅ и v ₄, но, так как v ₄ уже была помечена как V ₀, то фронт волны третьего уровня состоит из одного элемента: FW ₃(v ₃)={ v ₅}, v ₅≡ V ₃. Из непомеченных вершин в образ вершины V ₃ входят v ₁ и v ₂, соответственно, FW ₄(v ₃)={ v ₁, v ₂}, v ₁≡ V ₄, v ₂≡ V ₄. Теперь помечены все вершины, кроме v ₆, которая входит в образ вершины , то есть FW ₅(v ₃)={ v ₆≡ W }, работа алгоритма закончена. Минимальный путь (5 шагов) из вершины v ₃ в вершину v ₆: v ₃ v ₄ v ₇ v ₅ v ₁ v ₆.