Оптимальный приемник полностью известных сигналов

 

Рассмотрим систему связи, в которой передаются два сигнала S₁(t) и S₂(t) одинаковой длительности Т, произвольной (но известной) формы, априорные вероятности передачи Р(S₁) и P(S₂); помехи в канале связи флюктуационные, функция плотности распределения которых имеет гауссовский закон распределения вида

, (4.1)

где s _n ² - дисперсия (мощность) помех.

Задан критерий оптимального приема: идеальный наблюдатель (или наблюдатель В.А.Котельникова), который минимизирует среднюю вероятность ошибки

Р_ош = P(S₁)P(y₂/S₁) + P(S₂)P(y₁/S₂).

Найдем оптимальное правило решения и структурную схему оптимального приемника(оптимального РУ) для указанных выше условий передачи сигналов S₁(t) и S₂(t).

1. Для решения задачи используем общее для приемников двоичных сигналов правило решения (3.7). В рассматриваемом случае

l₀ = P(S₂)/P(S₁), (4.2)

если l(x) > l₀, то принимается решение в пользу сигнала S₁,иначе - S₂.

Для упрощения решения положим вначале, что P(S₁)= P(S₂) = 0,5; тогда l₀= 1. В этом случае критерий идеального наблюдателя совпадает с критерием максимального правдоподобия.

2. Для определения функций правдоподобия w(x/S₁) и w(x/S₂) предположим, что на вход приемника поступает сигнал

x(t) = S₁(t) + n(t), например, вида рис. 4.1.

Возьмем n отсчетов сигнала x(t) через одинаковые интервалы Dt, равные интервалу корреляции помехи t_0n. Рассмотрим отсчетные значения суммы сигнала S₁(t) и помехи n(t) в различных сечениях t _i. Так как расстояние между сечениями равно интервалу корреляции помехи, эти сечения некоррелированы между собой. А так как помеха распределена по гауссовскому закону (4.1), то эти сечения также и независимы.

 

В 1-ом сечении x(t₁) = S₁(t₁) + n(t₁);

в 2 -ом сечении x(t₂) = S₁(t₂) + n(t₂);

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

в k -ом сечении x(t_k) = S₁(t_k) + n(t_k).

Возьмем n отсчетов сигнала x(t) через одинаковые интервалы Dt, равные интервалу корреляции помехи t_0n. Рассмотрим отсчетные значения суммы сигнала S₁(t) и помехи n(t) в различных сечениях t _i. Так как расстояние между сечениями равно интервалу корреляции помехи, эти сечения некоррелированы между собой. А так как помеха распределена по гауссовскому закону (4.1), то эти сечения также и независимы.

Плотность вероятности случайной величины х в k-м сечении при известном сигнале S₁(t_k) определяется выражением

, а k -мерная плотность вероятности, благодаря независимости сечений, будет равна произведению одномерных плотностей вероятности различных сечений

.

Аналогичное выражение можно записать для сигнала S₂, заменив в последнем выражении S₁ на S₂.

Тогда отношение правдоподобияl(x)= и, согласно правилу решения (3.7), если вычисленное значение l(х) > 1 (у нас l₀ = 1), то приемник должен выдать сигнал S₁, в противоположном случае - сигнал S₂. Отсюда получаем оптимальное правило решения в виде неравенства

, то S₁ .

Прологарифмируем это выражение

- [x(t _i) - S₁(t_i)]² + [x(t_i) - S₂(t_i)]² >0, т о S₁

или в другом виде

[x(t_i) - S₁(t_i)]² < [x(t_i) - S₂(t_i)]², то S₁. (4.3)

Таким образом, оптимальный приемник (идеальный приемник Котельникова) работает следующим образом: определяется среднеквадратическое отклонение поступившего на его вход сигнала x(t) от обоих ожидаемых сигналов (S₁(t) и S₂(t)) и выносится решение в пользу того сигнала, где это среднеквадратическое отклонение меньше.

Если при вычислении условных вероятностей расстояние между сечениями Dt устремить к нулю, т. е. сделать Dt меньше интервала корреляции помехи, работа приемника не улучшится, так как соседние сечения будут сильно коррелированы, но и не ухудшится. Поэтому в правиле решения (4.3) можно заменить суммирование интегрированием.

В интегральной форме получим

[x(t_i) - S₁(t_i)]² dt < [x(t_i) - S₂(t_i)]² dt, то S₁

или более компактно (пунктир означает усреднение по времени)

_{_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

[x(t_i) - S₁(t_i)]² < [x(t_i) - S₂(t_i)]², то S₁. (4.4)

В соответствии с полученным правилом решения структурная схема приемника будет иметь вид, приведенный на рис. 4.2. Схема содержит два генератора опорных сигналов S₁(t) и S₂(t), которые генерируют точно такие же сигналы, которые могут поступить на вход приемника, а также два вычитающих устройства, два квадратора, два интегратора и схему сравнения, которая, в соответствии с (4.4), выдает сигналы S₁ или S₂.

При этом следует подчеркнуть, что приемник Котельникова, как и многие другие приемники дискретных сигналов, выдает на выходе сигналы S₁ и S₂, форма которых обычно отличается от формы сигналов в линии связи S₁(t) и S₂(t). Например, в линии связи эти сигналы могут представлять собой импульсы дискретной частотной модуляции, а на выходе приемника получаем импульсы постоянного тока прямоугольной формы.

Если вероятности передачи сигналов S₁(t) и S₂(t) не одинаковы, т.е. P(S₁)¹ P(S₂), то неравенство (4.4) принимает несколько другой вид

_{_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

[x(t_i) - S₁(t_i)]² - 2s²_n lnP(S₁) < [x(t_i) - S₂(t_i)]² - 2s²_n lnP(S₁), то S₁, (4.5)

а в структурной схеме рис.4.2 перед схемой сравнения добавляются выравнивающие устройства - В (показаны пунктиром).

Может показаться, что приведенная на рис.4.2 схема приемника достаточно проста. Однако применяющиеся в схеме местные генераторы S₁(t) и S₂(t) должны выдавать сигналы по форме идентичные передаваемым сигналам, ожидаемым на входе приемника; поэтому эти генераторы должны синхронизироваться приходящими сигналами, а это сделать довольно трудно.