Раздел III. Математический анализ

Тема 11. Функция

Найти области определения функций:

Исследовать на четность и нечетность функции:

Построить графики функций:

11.26. Дана функция

11.27. Даны функции f(x)= и . Составить функции f(x)+g(x), f(x).g(x), f(x)/g(x) и найти их области определения.

11.28. Даны функции . Составить сложную функцию y= и найти ее область определения.

11.29. Даны функции . Составить сложную функцию y=f(x) и найти ее область определения.

Тема 12. Непрерывность. Предел

12.1. Найти приращение функции , соответствующее приращению аргумента .

12.2. Найти приращение функции y=1/x в точке , соответствующее приращению аргумента .

12.3. Доказать непрерывность функции в любой точке ее области определения.

12.4. Доказать непрерывность функции в любой точке ее области определения.

12.5. Найти область определения функции и доказать непрерывность этой функции в любой точке ее области определения.

Вычислить пределы вида с неопределенностью вида . (В этом случае необходимо разложить на множители и числитель и знаменатель дроби, или домножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.)

Вычислить пределы вида с неопределенностью вида , где f(x) и в общем случае – сложные степенные или показательные функции. (В случае степенных функций необходимо выносить за скобку в числителе и знаменателе x с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.)

Вычислить пределы с неопределенностью вида . (Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если упомянутая функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к предыдущему типу пределов путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения).

Вычислить пределы, используя первый замечательный предел:

Вычислить пределы, используя второй замечательный предел:

Исследовать на непрерывность функции, найти точки разрыва и указать характер разрыва:

Тема 13. Производная

13.1. Найти приращение функции y=2x-1 в точке x=2, при:

а)

13.2. Вычислить приращение функции в точке x, если приращение аргумента равно :

13.3. Составить отношение для функций:

13.4. Используя определение, найти производные функций:

Найти производные функций по формулам дифференцирования:

Найти производные второго порядка функций:

Найти производные функций, заданных параметрически:

13.51. Показать, что функция удовлетворяет уравнению:

.

13.52. Показать, что функция удовлетворяет уравнению:

13.53. Найти угловой коэффициент касательной к параболе : а) в точке (0;0); б) в точке (2;4); в) в точках пересечения параболы с прямой y=-x+6.

13.54. Найти угловой коэффициент касательной к гиперболе в точках: а) (0;-1); б) (2;1).

13.55. В какой точке касательная к параболе : а) параллельна оси Оx; б) образует с осью Оx угол ?

13.56. Доказать, что касательная к гиперболе не может быть параллельна оси Оx.

Тема14. Приложение производной

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя (предварительно убедившись в возможности его применения):

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:

Найти наибольшее и наименьшее значение (глобальный максимум и минимум) функции y=f(x) на отрезке [a,b]:

14.25. 14.26.

14.27. f(x)=x ln x на [0,1;1]. 14.28. на [0;3].

14.29. на [-1;1]. 14.30. на [-2;0].

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на интервале (a;b):

14.31. . 14.32. .

14.33. . 14.34. .

14.35. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса r.

14.36. Бак цилиндрической формы должен вместить V литров воды. Каковы должны быть его размеры, чтобы поверхность (без крышки) была наименьшей?

14.37. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 , огородить ее забором и разделить загородкой на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на постройку заборов пошло наименьшее количество материала?

14.38. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функций:

Найти асимптоты графиков функций:

Исследовать функции и построить их графики:

Тема 15. Дифференциал

Найти дифференциалы следующих функций:

Найти дифференциалы второго порядка функций:

Пользуясь понятием дифференциала вычислить приближенно: