Модель оптимізації стратегії інвестиційної компанії

Інвестиційна компанія планує випускати акції п’яти видів [5]. Випуск 1000 акцій кожного виду може дати прибуток відповідно в розмірі C_i тисяч гривень. Для здійснення даної операції компанія має свої власні фінансові ресурси обсягом Q млн. грн. Крім цього є можливість взяття кредитів в банках під P1% та P2% річних відповідно. Розмір взятих кредитів у банках не повинен перевищувати К ₁ та К ₂ млн. грн. відповідно. Витрати, пов’язані з випуском 1000 акцій кожного виду відповідно складають а_i тис. грн. Враховуючи ринковий попит на договірні зобов’язання акцій і- го виду, необхідно випустити не менше А_i тисяч одиниць.

Розрахувати оптимальну стратегію діяльності інвестиційної компанії.

Математична модель

Для побудови математичної моделі введемо позначення:

і – індекс виду акцій;

j – індекс банку;

х_і – кількість акцій і -го виду, яку банку доцільно випустити ;

y_j – обсяг позики, яку компанії вигідно взяти у j -го банку ;

Z – сумарний прибуток від реалізації випуску акцій.

при виконанні обмежень:

1) по використанню власного капіталу та придбаного кредиту

2) по максимально можливому обсягу кредитів

, та ;

3) по ринковому попиту на випуск акцій

4) по невід’ємності змінних

та

Побудуємо ЕММ задачі при таких даних

Q =220, K ₁=200, K ₂=250, p ₁=50%, p ₂=80%,

a_i =(0,3; 1,2; 0,8; 0,6; 0,5); c_i =(2; 4; 6; 8; 9), A ₂=2500.

Вводимо числові дані і залежності математичної моделі, як показано на рис. 6.9.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

I акц

IІакц

IІІакц

IVакц

V акц

1-б

2-б

ЦФ

напр.

коеф.в ЦФ

-1,5

-1,8

=СУММПРОИЗВ(B3:H3;B2:H2)

мах

Обмеження

всі кошти

0,3

1,2

0,8

0,6

0,5

-1

-1

=СУММПРОИЗВ(B5:H5;$B$2:$H$2)

<=

кр 1

=СУММПРОИЗВ(B6:H6;$B$2:$H$2)

<=

кр 2

=СУММПРОИЗВ(B7:H7;$B$2:$H$2)

<=

ринк попит

=СУММПРОИЗВ(B8:H8;$B$2:$H$2)

>=

Рисунок 6.9. Ввід значень умови задачі в формульному режимі

Аналогічно як в попередній задачі в вікні Поиск решения вводимо напрямок цільової функції, обмежень, як показано на рис. 6.10 (не забуваємо в параметрах встановити лінійну модель, невід’ємні значення).

Рис. 6.10. Вікно Поиск решения

Після натискування Выполнить і вибору звітів отримаємо наступні звіти:

Звіт по результатах

Microsoft Excel 8.0f Отчет по результатам
Рабочий лист: [optim_akc.xls]Лист2
Отчет создан: 03.04.02 17:15:20
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$I$3	ЦФ
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$B$2	I акції
	$C$2	IІ акції
	$D$2	IІІ акції
	$E$2	IV акції
	$F$2	V акції
	$G$2	1-банк
	$H$2	2-банк
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	формула	Статус	Разница
	$I$5	всі кошти ЦФ		$I$5<=$K$5	связанное
	$I$6	кред. 1 ЦФ		$I$6<=$K$6	связанное
	$I$7	кред 2 ЦФ		$I$7<=$K$7	связанное
	$I$8	ринк попит		$I$8>=$K$8	связанное

 

Звіт по стійкості

Microsoft Excel 8.0f Отчет по устойчивости

Рабочий лист: [optim_akc.xls]Лист2

Отчет создан: 03.04.02 17:16:46

Изменяемые ячейки

Результ.

Нормир.

Целевой

Допуст

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

стоимость

Коэфф

Увелич

Уменьшение

$B$2

I акції

-3,4

3,4

1E+30

$C$2

IІ акції

17,6

1E+30

$D$2

IІІ акції

-8,4

8,4

1E+30

$E$2

IV акції

-2,8

2,8

1E+30

$F$2

V акції

1E+30

2,333333

$G$2

1-банк

-1,5

1E+30

16,5

$H$2

2-банк

-1,8

1E+30

16,2

Ограничения

Результ.

Теневая

Огранич

Допуст

Допустимое

Ячейка

Имя

значение

Цена

Правая часть

Увеличение

Уменьшение

$I$5

всі кошти

1E+30

$I$6

кред. 1

16,5

1E+30

$I$7

кред 2

16,2

1E+30

$I$8

ринк попит

-17,6

555833,3

 

Аналіз отриманих результатів

Максимальний прибуток в розмірі 11млрд. 266 млн. грн. інвестиційна компанія одержить, якщо акцій ІІ-го виду випустить 2500 тис. штук і акцій V-го виду 1334000 тис. штук, а акції І,ІІІ,ІV видів випускати недоцільно.

Для випуску акцій доцільно використати крім власних коштів позику у І-му банку у максимально можливому обсязі у розмірі 200 млн. грн. і позику ІІ-го банку також у максимально можливому обсязі – 250 млн. грн.

Нормована вартість показує, на скільки погіршиться значення цільової функції при умові примусового випуску однієї тисячі акцій кожного з видів. Наприклад, якщо банк буде випускати 1000 акцій 1-го виду, то значення максимального прибутку зменшиться на 3,4 тис. грн.

Ресурси (власні кошти, кредити) використані повністю, ринковий попит виконано в мінімальному обсязі, на що вказує “статус” зв’язано і “різниця” - 0. Якщо відбудеться збільшення ресурсів, н-д, кредиту 1-го банку на 1тис. грн., то це призведе до збільшення максимального прибутку на 16,5 тис. грн. (див. “тіньова ціна”). Якщо збільшити ринковий попит, тобто додатково випускати акції 2-го виду, то випуск однієї тисячі акцій призведе до зменшення прибутку на 17,6 тис. грн.

 

Завдання 3

4. Модель оптимального планування

Припустимо, що планується випуск продукції r видів за допомогою m можливих технологій. Для організації даного виробничого процесу є в розпорядженні n виробничих ресурсів, за якими заданий їх об’єм і нормативи витрат на одиницю інтенсивності технології виду j. Для побудови економіко-математичної моделі задачі введемо такі позначення [5]:

і - індекс виду ресурсів, і = 1, 2,..., n;

j - індекс технології, j= 1, 2,..., m;

l - індекс виду продукції;

а_іj - норма затрат і - го виду ресурсу на одиницю інтенсивності технології j - го виду;

b_lj – вихід продукції виду l від одиниці інтенсивності технології j - го виду;

А_і - об’єм запасів і - го виду ресурсів;

k_l – коефіцієнт, що відображає частку продукції виду l у загальному обсязі кінцевої продукції;

х_j – інтенсивність технологічного способу виробництва j - го виду;

Z – загальний обсяг кінцевої продукції.

На основі введених позначень сформулюємо узагальнену модель оптимального планування.

Знайти план { х_j 0}, який забезпечить

(1)

за умов:

1) за наявними ресурсами

(2)

2) за структурою кінцевої продукції

(3)

Розглянемо наступний приклад.

Припустимо, що підприємство планує організувати випуск продукції трьох видів за допомогою чотирьох технологічних способів виробництва на основі чотирьох видів ресурсів, запаси яких обмежені. Запаси ресурсів, а також витрати їх на одиницю інтенсивності відповідних технологій на вихід продукції від них наведено в таблиці. Необхідно розрахувати оптимальний план виробництва кінцевої продукції, якщо частка продукції першого та третього видів становить 0,3; а другого – 0,4.

Показник	Технологічні способи (витрати ресурсів, вихід продукції)	Обсяги ресурсів
І	ІІ	ІІІ	IV
Ре с у р си	Обладнання, машино-год	2,0	3,5	2,5	3,0
Праця, людино-год	3,4	2,3	4,1	2,8
Електроенергія, кВт/год	4,5	3,9	3,2	4,0
Сировина, ц	5,0	8,0	6,0	4,0
Ви хід пр од ук ції	А, шт.			-
В, шт.				-
С, шт.	-

Для побудови математичної моделі введемо позначення: х ₁, х ₂, х ₃, х ₄ – шукані розміри інтенсивності відповідних технологічних способів виробництва; Z – обсяг виробництва кінцевої продукції.

Математична модель матиме наступний вигляд. Знайти такий план { х ₁, х ₂, х ₃, х ₄}, який забезпечить

при виконанні умов

Вводимо числові дані і залежності математичної моделі, як показано на рис. 6.11.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
		I т.с	IІ т.с	IІІ т.с	IV т.с	ЦФ
							ЦФ	напр.
	коеф.в ЦФ						=F3*F2	мах
		Обмеження
	обладн		3,5	2,5			=СУММПРОИЗВ(B5:E5;$B$2:$E$2)	<=
	праця	3,4	2,3	4,1	2,8		=СУММПРОИЗВ(B6:E6;$B$2:$E$2)	<=
	електр	4,5	3,9	3,2			=СУММПРОИЗВ(B7:E7;$B$2:$E$2)	<=
	сиров						=СУММПРОИЗВ(B8:E8;$B$2:$E$2)	<=
	А шт					-0,3	=СУММПРОИЗВ(B9:F9;$B$2:$F$2)	>=
	В шт					-0,4	=СУММПРОИЗВ(B10:F10;$B$2:$F$2)	>=
	С шт					-0,3	=СУММПРОИЗВ(B11:F11;$B$2:$F$2)	>=

Рисунок 6.11. Ввід значень умови задачі в формульному режимі

Аналогічно як в попередній задачі в вікні Поиск решения вводимо напрямок цільової функції, обмеження, як показано на рис. 6.12 (не забуваємо в параметрах встановити лінійну модель, невід’ємні значення). На рис. 6.12 не видно обмеження $G$9>=$I$9.

 

Рис. 6.12. Вікно Поиск решения

Після натискування Выполнить і вибору звітів отримаємо наступні звіти:

 

Звіт по результатах

Microsoft Excel 8.0f Отчет по результатам
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 27.03.02 10:54:47
Целевая ячейка (Максимум)
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$G$3	ЦФ		460,5568445
Изменяемые ячейки
	Ячейка	Имя	Исходно	Результат
	$B$2	I техн сп		54,75638051
	$C$2	IІ техн сп		28,65429234
	$D$2	IІІ техн сп		36,07888631
	$E$2	IV техн сп
	$F$2			460,5568445
Ограничения
	Ячейка	Имя	Значение	формула	Статус	Разница
	$G$5	обладн		$G$5<=$I$5	связанное
	$G$6	праця		$G$6<=$I$6	связанное
	$G$7	електроен	473,6078886	$G$7<=$I$7	не связан.	26,39211137
	$G$8	сиров	719,4895592	$G$8<=$I$8	не связан.	180,5104408
	$G$9	А шт	2,84217E-14	$G$9>=$I$9	связанное
	$G$10	В шт	2,84217E-14	$G$10>=$I$10	связанное
	$G$11	С шт	19,95359629	$G$11>=$I$11	не связан.	19,95359629

 

Звіт по стійкості

Microsoft Excel 8.0f Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Книга1]Лист1
Отчет создан: 27.03.02 10:55:16
Изменяемые ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициен	Увеличение	Уменьшен
	$B$2	I техн сп	54,75638051			1,569767442	1,5625
	$C$2	IІ техн сп	28,65429234			1,020408163	2,420537897
	$D$2	IІІ техн сп	36,07888631			2,490886999	1,162790698
	$E$2	IV техн сп		-2,37819025		2,378190255	1E+30
	$F$2		460,5568445			1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$G$5	обладн		1,148491879		30,0330033	30,4964539
	$G$6	праця		0,290023202		45,26315789	144,6511628
	$G$7	електроен	473,6078886			1E+30	26,39211137
	$G$8	сиров	719,4895592			1E+30	180,5104408
	$G$9	А шт	2,84217E-14	-0,62645011		34,4488189	137,2093023
	$G$10	В шт	2,84217E-14	-2,03016241		182,9457364	18,37606838
	$G$11	С шт	19,95359629			19,95359629	1E+30

З одержаного результату бачимо, що за оптимальним планом випуск кінцевої продукції Z =460.5569 одиниць. При цьому інтенсивність відповідних технологій буде: першої - х ₁ = 54,756380, х ₂ = 28,654290, х ₃=36,078890. Четверту технологію не використовують.

Включення в оптимальний план четвертого технологічного способу виробництва з одиничною інтенсивністю (х ₄ = 1) приведе до зниження випуску кінцевої продукції на величину нормованої вартості (2,37819).

Ресурси “обладнання”, “праця” використані повністю; “електроенергія” і “сировина” є в надлишку 26,39211137 кВт/год, 180,5104408 ц.

Додаткове залучення у виробничий процес 1 людино-год праці приведе до збільшення випуску кінцевої продукції на 0,290023 одиниць, а додаткове використання 1 машино-год обладнання приведе до збільшення випуску кінцевої продукції на 1,148492 одиниць при незмінності інших ресурсів (див. “тіньова ціна”. Чим більше значення двоїстої оцінки, тим ефективнішим є даний ресурс.

Проведемо аналіз випуску продукції А, В, С. Продукції А і В ввійшли в базис в розмірі мінімального гарантованого обсягу виробництва (0,3 Z; 0,4 Z) і подальше збільшення їх приведе до зменшення кінцевої продукції на величину тіньової ціни: -0,62645011, -2,03016241. Продукція С випущена понад мінімальний обсяг на величину 19,95359629 (тобто її випущено в розмірі 0,3 Z +19,95359629 шт.