Тема 3: Численные методы решения нелинейных уравнений и оптимизация функций.

Цель работы: Изучить вычислительные возможности пакета MathCAD для решения оптимизационных задач.

Используемые программные средства: пакет MathCAD.

Теоретические сведения.

Решение уравнения с одним неизвестным.

Метод простых итераций.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения

f (1)

Уравнение (1) заменим эквивалентным ему уравнением

(2)

Выберем некоторое нулевое приближение и вычислим последующие приближения по формулам:

(3)

Процесс итераций сходится , если выполнено условие на отрезке [ a, b ], содержащем корень .

 

Метод Ньютона.

Пусть дано уравнение f(x) = 0,корень которого отделен. Суть метода состоит в том, что дуга кривой заменяется касательной к ней и за приближение корня берется абсцисса точки пересечения касательной с осью OX.

В методе касательных (n +1)-е приближение вычисляется по формуле , , в которой за нулевое приближение принимается такое значение из отрезка [ a, b ], для которого выполняется условие .

Оценка абсолютной погрешности определяется формулой , где .

 

Средства пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений

Для решения алгебраических уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает по-разному.

- root (f(х),х);

- root(f(х),х,а,b);

где f(х) – скалярная функция, определяющая уравнение;

х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно предварительно присвоить этой переменной некоторое число, в окрестности которого будет производиться поиск корня. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня. Эту Отделить корень можно, построив график функции f(х) и с помощью опции Trace (см.лабораторную работу № 3)определить примерно абсциссу пересечения графиком оси ОХ.

 

Пример 1.

Рассмотрим уравнение sin(x) = 0, корни которого известны заранее.

 

 

Поиск корня алгебраического уравнения в заданном интервале

Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

- внутри интервала [а,b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно какой именно;

- значения f(а) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Пример 2.

 

Поиск мнимых корней уравнения.

Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые, то их также можно найти.

Пример 3.

 

Замечание. Явный вид функции f(х) может быть определен непосредственно в теле функции root.

Корни полинома

Если функция f(х) является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином n -й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из n+1 элемента. Результатом действия функции polyroots является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root.

 

Пример 3.

 

Следует обратить внимание, что численный метод вместо двух из трех действительных единичных корней (иными словами, кратного корня 1) выдает два мнимых числа. Однако малая мнимая часть этих корней находится в пределах погрешности, определяемой константой TOL, и не должна вводить пользователей в заблуждение. В данном случае следует помнить, что корни полинома могут быть комплексными, и ошибка вычислений может сказываться как на действительной, так и на комплексной части искомого корня.

Символьное решение уравнений.

Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора MathCAD. Делается это очень похоже на численное решение уравнений с применением вычислительного блока. Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости.

 

Пример 4.

Вместо знака равенства после функции Find в листингах следует знак символьных вычислений, который можно ввести с панели Symbolic (Символика) или, нажав клавиши <Ctrl>+<.>. При этом уравнения должны иметь вид логических выражений (знаки равенства нужно вводить с помощью панели Booleans (Булевы операторы)).

С помощью символьного процессора решить уравнение с одним неизвестным можно и другим способом:

1. Введите уравнение, пользуясь панелью Booleans (Булевы операторы) или нажав клавиши <Ctrl>+<.> для получения логического знака равенства.

2. Щелчком мыши выберите переменную, относительно которой требуется решить уравнение.

3. Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable/Solve (Переменная/Решить).

После строки с уравнением появится строка с решением или сообщение о невозможности символьного решения этого уравнения.

Символьные вычисления могут производиться и над уравнениями, которые помимо неизвестных содержат различные параметры.